上海市進(jìn)才中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

上海市進(jìn)才中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、填空題1．若集合，則實(shí)數(shù)可取的值的全體所構(gòu)成的集合為 __．2．已知，則的取值范圍是__________.3．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，寫出函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心______.4．已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，常數(shù)的取值范圍為______.5．已知，實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.6．已知集合，且為奇函數(shù)，則集合的子集個(gè)數(shù)為______.7．函數(shù)，的反函數(shù)為______.8．函數(shù)的單詞遞增區(qū)間是_________.9．要建造一個(gè)高為3米，容積為48立方米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體蓄水池.已知池底的造價(jià)為每平方米1500米，池壁的造價(jià)為每平方米1000元.該蓄水池的總造價(jià)（元）關(guān)于池底一邊的長(zhǎng)度（米）的函數(shù)關(guān)系為：______.10．若函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.11．商品批發(fā)市場(chǎng)中，某商品的定價(jià)每天隨市場(chǎng)波動(dòng)，甲乙兩名采購(gòu)員在每月的同一天去該市場(chǎng)購(gòu)買同一種商品，甲每次購(gòu)買公斤，乙每次購(gòu)買元（，互不相等），該方案實(shí)施2次后______的購(gòu)買方案平均價(jià)格更低.（填“甲”或“乙”）12．已知函數(shù)為，其中，若對(duì)任意的恒成立，且函數(shù)存在零點(diǎn)，則的最小值為______. 二、單選題13．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則命題“是偶函數(shù)”是命題“對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既不充分也不必要14．“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立”的一個(gè)充分必要條件是（）A． B．C． D．15．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，則的值是(　　)A．4 B．3 C．2 D．116．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有下界，為其一個(gè)下界.類似的，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).對(duì)于下列4個(gè)命題：①若函數(shù)有下界，則函數(shù)有最小值；②若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)是有界函數(shù)；③對(duì)于函數(shù)，若函數(shù)有最大值，則該函數(shù)是有界函數(shù)；④若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù).其中真命題的序號(hào)為（）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 三、解答題17．設(shè)全集，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>，函數(shù)的值域?yàn)榧?/span>．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知關(guān)于的不等式.(1)當(dāng)時(shí)，解該不等式；(2)若該不等式的解集為，求常數(shù)的取值范圍.19．某條貨運(yùn)線路總長(zhǎng)2000千米，交通法規(guī)定，在該線路上貨車最低限速50千米/時(shí)（含），最高限速100千米/時(shí)（含）.汽油的價(jià)格是每升8元，汽車在該路段行駛時(shí)，速度為千米/時(shí)，每小時(shí)油耗為升.（假設(shè)汽車保持勻速行駛）(1)求該線路行車油費(fèi)（元）關(guān)于行車速度（千米/時(shí)）的函數(shù)關(guān)系；(2)車速為何值時(shí)，行車油費(fèi)達(dá)到最低？并求出最低的行車油費(fèi)；(3)運(yùn)營(yíng)該條線路的劉師傅接到某公司的貨運(yùn)派單，要求在24小時(shí)內(nèi)送達(dá)，否則將少支付50元費(fèi)用作為超時(shí)補(bǔ)償.請(qǐng)寫出此時(shí)劉師傅駕駛的最優(yōu)車速.20．已知函數(shù)滿足且為奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．對(duì)于函數(shù),,設(shè)區(qū)間是上的一個(gè)子集,對(duì)于區(qū)間上任意的,,,當(dāng)時(shí),如果總有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的函數(shù).(1)判斷下列函數(shù)是否是定義域上的函數(shù):①,②;(2)已知定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)也是定義域上的函數(shù),試問(wèn):是否是定義域上的函數(shù)?若是,請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若函數(shù)為區(qū)間上的函數(shù),證明:對(duì)于任意的,和任意的,總有.
參考答案：1．【分析】根據(jù)集合元素的互異性求解即可.【詳解】解：∵ ，∴且；所以，實(shí)數(shù)可取的值的全體所構(gòu)成的集合為；故答案為：2．【分析】化成積為定值的形式后,利用基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?/span>,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最小值,屬于基礎(chǔ)題.3．【分析】由奇函數(shù)的定義可得的1個(gè)對(duì)稱中心為，由函數(shù)圖象的變換規(guī)律分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，其對(duì)稱中心為，將的圖象向右平移1個(gè)單位得，再向下平移2個(gè)單位可得的圖象，所以函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為；故答案為：.4．【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可解決問(wèn)題.【詳解】∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，∴，∴，故答案為：.5．【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得到，從而判斷得的單調(diào)性，由此即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以在上單調(diào)遞減，則，得，即.故答案為：.6．4【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得集合，進(jìn)而分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，集合，且為奇函數(shù)，則，則集合有2個(gè)元素，所以集合的子集有個(gè)，故答案為：4.7．，【分析】先由二次函數(shù)的性質(zhì)求得，即為反函數(shù)的定義域，再由，解得，從而求出反函數(shù).【詳解】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，由可得，解得，又∵，∴，∴函數(shù)，的反函數(shù)為，.故答案為：，8．【分析】先求的定義域，再通過(guò)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單詞遞增區(qū)間．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，在區(qū)間內(nèi)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的單詞遞增區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，是基礎(chǔ)題．9．，【分析】根據(jù)條件便可得到池底面積為4平方米，底面的另一邊長(zhǎng)，從而便可得到總造價(jià)與的解析式.【詳解】根據(jù)條件，該蓄水池的總造價(jià)元，池底一邊的長(zhǎng)度米，底面另一邊長(zhǎng)為米,∴長(zhǎng)方體的底面積為16，側(cè)面積為，由題意得：，,故答案為：，.10．【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】是上的嚴(yán)格減函數(shù)，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．乙【分析】設(shè)每次購(gòu)買時(shí)商品的價(jià)格分別為元/公斤、元/公斤，可將甲乙2次購(gòu)買的平均價(jià)格用，表示出來(lái)，再用基本不等式比較即可得答案.【詳解】設(shè)每次購(gòu)買時(shí)商品的價(jià)格分別為元/公斤、元/公斤，則甲的平均價(jià)格為：；乙的平均價(jià)格為：，因?yàn)?/span>，所以；,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)），故乙的平均價(jià)格更低，故答案為：乙.12．【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得，由此可得，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足對(duì)任意的恒成立，且函數(shù)存在零點(diǎn)，必有，則有，則，又由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為；故答案為：.13．C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析兩個(gè)命題的關(guān)系，結(jié)合充分必要條件的定義可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，若是偶函數(shù)，即，必有成立，反之，若，當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)為偶函數(shù)，故題“是偶函數(shù)”是命題“對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立”的充分必要條件，故選：C．14．D【分析】將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，因此利用分類討論法求得的最小值，即可求得答案.【詳解】對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，，由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，,綜上，，.，“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立”的一個(gè)充分必要條件是，.故選：.15．C【分析】運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合配方法，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，可得，則故選C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及二次方程根的韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查配方法，屬于基礎(chǔ)題．16．B【分析】舉特例說(shuō)明①、④不正確；由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知，可判斷②；根據(jù)已知推導(dǎo)出，即可判斷③；【詳解】根據(jù)函數(shù)上界，下界，有界的定義分別進(jìn)行判斷即可.對(duì)于①，設(shè)，則恒成立，即函數(shù)有下界，但函數(shù)沒有最小值，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若定義在上的奇函數(shù)有上界，設(shè)上界為，則，根據(jù)題意有，，有成立.所以當(dāng)，成立，則當(dāng)時(shí)，有，則，即，則；當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，則，即，則；當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，所以.所以，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，顯然滿足.所以，都有成立，所以函數(shù)是有界函數(shù)，故②正確；對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)，若函數(shù)有最大值，設(shè)，則，該函數(shù)是有界函數(shù)，故③正確；對(duì)于④，令，則函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則只有下界，沒有上界，即該函數(shù)不是有界函數(shù).故④錯(cuò)誤；所以真命題的序號(hào)為②③.故選：B.17．(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)解不等式，再求即可；（2）先求函數(shù)的值域得到集，根據(jù)可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，從而分類討論即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，解得或，故.（2）由對(duì)勾函數(shù)的值域可得，又因?yàn)?/span>，所以，即當(dāng)時(shí)，恒成立，①當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，②當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?/span>，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)；(2) 【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，原不等式等價(jià)為，分類討論求解或由絕對(duì)值幾何意義求解均可；（2）不等式的解集為，則恒成立，求最小值即可.【詳解】（1），則當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式，∴，解集為；（2）若該不等式的解集為，則恒成立，即，，則常數(shù)的取值范圍為.19．(1)，(2)，元(3)50千米/時(shí) 【分析】（1）行車所用時(shí)間為，汽車每小時(shí)油耗升，然后求解行車總費(fèi)用.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，然后求解函數(shù)的最小值.（3）求出行車總費(fèi)用，通過(guò)分段函數(shù)，求解函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）行車所用時(shí)間為，根據(jù)汽油的價(jià)格是每升8元，而汽車每小時(shí)油耗升，則行車總費(fèi)用為，.（2）由（1）知，令，設(shè)，則因?yàn)?/span>，故，所以所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，則當(dāng)時(shí)，行車油費(fèi)最低，最低為元.（3）在24小時(shí)內(nèi)送達(dá)行駛速度為，由題意知行車總費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格增，，所以綜上所述，最優(yōu)車速為50千米/時(shí).20．(1)(2)答案見解析(3) 【分析】（1）先由是奇函數(shù)得到，從而由不恒為求得即可；（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，先判斷得在上單調(diào)遞減，再通過(guò)討論的范圍即判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合（2）中結(jié)論判斷得的單調(diào)性，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，即，則，得，則，由于不恒為，故，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，由得或，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又有，故是奇函數(shù)，滿足題意；綜上：.（2）由（1）知，令，易知其在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（3）對(duì)于任意的，總有成立，即恒成立，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由（2）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又易知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即.21．(1)①是;②不是(2)不是,理由見解析(3)證明見解析【分析】(1)利用作差法,結(jié)合函數(shù)的定義即可逐個(gè)判定;(2)不是定義域上的函數(shù),由反函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義即可證明;(3)假設(shè),則,利用函數(shù)的定義化簡(jiǎn)即可得證.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),，所以①是定義域上的函數(shù); ②當(dāng)時(shí),,所以②不是定義域上的函數(shù).（2）不是定義域上的函數(shù),理由如下:因?yàn)?/span>是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,即,若原函數(shù)為增函數(shù),則反函數(shù)也是增函數(shù),即若,則,又因?yàn)?/span>是定義域上的函數(shù),即當(dāng)時(shí),總有,所以,即當(dāng)時(shí),,綜上所述,不是定義域上的函數(shù).（3）證明:若對(duì)于任意的,和任意的,假設(shè),則,因?yàn)楹瘮?shù)為區(qū)間上的函數(shù),所以,化簡(jiǎn)得,∵,∴,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是對(duì)新函數(shù)定義的理解與應(yīng)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

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