?上海市高考數(shù)學模擬試卷
一、填空（本大題共54分，1-6每題4分，7-12每題5分）
1．關于x，y的二元一次方程的增廣矩陣為．若Dx=5，則實數(shù)m=　　．
2．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為　　石．
3．已知復數(shù)z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正實數(shù)，則復數(shù)z2=　　．
4．在的二項式展開式中，x3的系數(shù)是，則實數(shù)a=　?。?br /> 5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜邊BC上一點，且BD=2DC，則?（+）=　　．
6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠?”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是　　．
7．已知M是球O半徑OP的中點，過M做垂直于OP的平面，截球面得圓O1，則以圓O1為大圓的球與球O的體積比是　　．
8．從集合{，，2，3}中任取一個數(shù)記做a，從集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一個數(shù)記做b，則函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限的概率是　?。?br /> 9．已知m＞0，n＞0，若直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，則m+n的取值范圍是　?。?br /> 10．如圖，在地上有同樣大小的5塊積木，一堆2個，一堆3個，要把積木一塊一塊的全部放到某個盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一塊，則不同的取法有　　種（用數(shù)字作答）．

11．定義Hn=為數(shù)列{an}的均值，已知數(shù)列{bn}的均值，記數(shù)列{bn﹣kn}的前n項和是Sn，若Sn≤S3對于任意的正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是　　．
12．已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若對于任意的實數(shù)x不等式f（x）≥2恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣5或a≥5}，則所有滿足條件的m的組成的集合是　?。?br /> 　
二、選擇題（本大題滿分20分，每題5分）
13．已知兩點O（0，0），Q（a，b），點P1是線段OQ的中點，點P2是線段QP1的中點，P3是線段P1P2的中點，┅，Pn+2是線段PnPn+1的中點，則點Pn的極限位置應是（　?。?br /> A．（，） B．（） C．（） D．（）
14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，若|α﹣β|的最小值為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．[﹣+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[﹣+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
C．[π+2kπ， +2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ， +3kπ]，k∈Z
15．已知m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ
B．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β
C．若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β
D．平面α內有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β
16．若點P是△ABC的外心，且++λ=，∠C=120°，則實數(shù)λ的值為（　?。?br /> A． B．﹣ C．﹣1 D．1　
三、解答題（本大題滿分76分）
17．如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四邊形ABCD是正方形．
（1）《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，若是，寫出其每一個面的直角，并證明；若不是，請說明理由．
（2）求四面體EABC的體積．

18．一棟高樓上安放了一塊高約10米的LED廣告屏，一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的C處測得廣告屏頂端A處的仰角為31.80°．再向大樓前進20米到D處，測得廣告屏頂端A處的仰角為37.38°（人的高度忽略不計）．
（1）求大樓的高度（從地面到廣告屏頂端）（精確到1米）；
（2）若大樓的前方是一片公園空地，空地上可以安放一些長椅，為使坐在其中一個長椅上觀看廣告屏最清晰（長椅的高度忽略不計），長椅需安置在距大樓底部E處多遠？已知視角∠AMB（M為觀測者的位置，B為廣告屏底部）越大，觀看得越清晰．
19．已知雙曲線C經過點（2，3），它的漸近線方程為y=±x，橢圓C1與雙曲線C有相同的焦點，橢圓C1的短軸長與雙曲線C的實軸長相等．
（1）求雙曲線C和橢圓C1的方程；
（2）經過橢圓C1左焦點F的直線l與橢圓C1交于A、B兩點，是否存在定點D，使得無論AB怎樣運動，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D點坐標；若不存在，請說明理由．
20．已知函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)h（x）的反函數(shù)；
（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
21．若存在常數(shù)k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得無窮數(shù)列{an}滿足an+1=，則稱數(shù)列{an}為“段差比數(shù)列”，其中常數(shù)k、d、t分別叫做段長、段差、段比，設數(shù)列{bn}為“段差比數(shù)列”．
（1）已知{bn}的首項、段長、段差、段比分別為1、2、d、t，若{bn}是等比數(shù)列，求d、t的值；
（2）已知{bn}的首項、段長、段差、段比分別為1、3、3、1，其前3n項和為S3n，若不等式對n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）是否存在首項為b，段差為d（d≠0）的“段差比數(shù)列”{bn}，對任意正整數(shù)n都有bn+6=bn．若存在，寫出所有滿足條件的{bn}的段長k和段比t組成的有序數(shù)組（k，t）；若不存在，說明理由．
　
上海市高考數(shù)學模擬試卷試題解析　
一、填空（本大題共54分，1-6每題4分，7-12每題5分）
1．關于x，y的二元一次方程的增廣矩陣為．若Dx=5，則實數(shù)m=　﹣2?。?br /> 【考點】矩陣變換的性質．
【分析】由題意，Dx==5，即可求出m的值．
【解答】解：由題意，Dx==5，∴m=﹣2，
故答案為﹣2．　
2．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為　168　石．
【考點】簡單隨機抽樣．
【分析】根據(jù)254粒內夾谷28粒，可得比例，即可得出結論．
【解答】解：由題意，這批米內夾谷約為1524×≈168石，
故答案為：168．　
3．已知復數(shù)z1=1+i，|z2|=3，z1z2是正實數(shù)，則復數(shù)z2=　z2=?。?br /> 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．
【分析】設復數(shù)z2=a+bi（a，b∈R），求出z1z2，再根據(jù)已知條件列出方程組，求解即可得答案．
【解答】解：設復數(shù)z2=a+bi（a，b∈R），
z1z2=，
∵|z2|=3，z1z2是正實數(shù)，
∴，解得：．
則復數(shù)z2=．
故答案為：z2=．　
4．在的二項式展開式中，x3的系數(shù)是，則實數(shù)a=　4?。?br /> 【考點】二項式系數(shù)的性質．
【分析】利用二項式展開式的通項公式即可得出．
【解答】解：在的二項式展開式中，通項公式Tr+1==，
令﹣9=3，解得r=8．
∴=，解得a=4．
故答案為：4．　
5．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜邊BC上一點，且BD=2DC，則?（+）=　3?。?br /> 【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】由題意畫出圖形，把轉化為含有的式子求解．
【解答】解：如圖，

∵BD=2DC，
∴=．
∴?（+）===．
故答案為：3．　
6．已知集合A={x|}，集合B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣3”是“A∩B≠?”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是　b＞﹣1?。?br /> 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
【分析】分別求出關于A、B的不等式，通過A∩B≠?”，求出b的范圍即可．
【解答】解：A={x|}={x|x＞﹣1}，
B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}=（﹣3，b）或（b，﹣3），
由“A∩B≠?”，得b＞﹣1，
故答案為：b＞﹣1．　
7．已知M是球O半徑OP的中點，過M做垂直于OP的平面，截球面得圓O1，則以圓O1為大圓的球與球O的體積比是　?。?br /> 【考點】球的體積和表面積．
【分析】由題意，設出圓M的半徑，球的半徑，二者與OM構成直角三角形，求出半徑關系，然后可求以圓O1為大圓的球與球O的體積比．
【解答】解：由題意，設出圓M的半徑r，球的半徑R，
由勾股定理得R2=r2+（）2，r=R．
∴以圓O1為大圓的球與球O的體積比是．
故答案為：．　
8．從集合{，，2，3}中任取一個數(shù)記做a，從集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一個數(shù)記做b，則函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限的概率是　?。?br /> 【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．
【分析】先求出基本事件（a，b）的個數(shù)n=4×4=16，再利用列舉法求出函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限的情況，由此能求出函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限的概率．
【解答】解：從集合{，，2，3}中任取一個數(shù)記做a，從集合{﹣2，﹣1，1，2}中任取一個數(shù)記做b，
基本事件（a，b）的個數(shù)n=4×4=16，
∵函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限有：
①當a=3、b=﹣1時，②當a=3、b=﹣2時，③當a=4、b=﹣1時，
④當a=4、b=﹣2時，⑤當a=，b=﹣2 時，⑥當a=，b=﹣2 時，共6種情況，
∴函數(shù)y=ax+b的圖象經過第三象限的概率是p=．
故答案為：．　
9．已知m＞0，n＞0，若直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，則m+n的取值范圍是　[2+2，+∞）?。?br /> 【考點】直線與圓的位置關系．
【分析】由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后利用基本不等式變形，設m+n=x，得到關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．
【解答】解：由圓的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圓心坐標為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d==1，
整理得：m+n+1=mn≤（）2，
設m+n=x（x＞0），則有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
解得：x≥2+2，
則m+n的取值范圍為[2+2，+∞）．
故答案為[2+2，+∞）．
10．如圖，在地上有同樣大小的5塊積木，一堆2個，一堆3個，要把積木一塊一塊的全部放到某個盒子里，每次只能取出其中一堆最上面的一塊，則不同的取法有　10　種（用數(shù)字作答）．

【考點】排列、組合的實際應用．
【分析】根據(jù)題意，假設左邊的積木從上至下依次為1、2、3，右邊的積木從上至下依次為4、5，分析可得必須先取1或4，據(jù)此分2種情況討論，分別列舉2種情況下的取法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，假設左邊的積木從上至下依次為1、2、3，右邊的積木從上至下依次為4、5，
分2種情況討論：
若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6種取法；
若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4種取法；
則一共有6+4=10中不同的取法；
故答案為：10．　
11．定義Hn=為數(shù)列{an}的均值，已知數(shù)列{bn}的均值，記數(shù)列{bn﹣kn}的前n項和是Sn，若Sn≤S3對于任意的正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是　[，]?。?br /> 【考點】數(shù)列的求和．
【分析】由題意，b1+2b2+…+2n﹣1bn=n?2n+1，b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）?2n，從而求出bn=2（n+1），可得數(shù)列{bn﹣kn}為等差數(shù)列，從而將Sn≤S5對任意的n（n∈N*）恒成立化為b5≥0，b6≤0；從而求解．
【解答】解：由題意，
Hn==2n+1，
則b1+2b2+…+2n﹣1bn=n?2n+1，
b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=（n﹣1）?2n，
則2n﹣1bn=n?2n+1﹣（n﹣1）?2n
=（n+1）?2n，
則bn=2（n+1），
對b1也成立，
故bn=2（n+1），
則bn﹣kn=（2﹣k）n+2，
則數(shù)列{bn﹣kn}為等差數(shù)列，
故Sn≤S5對任意的n（n∈N*）恒成立可化為：
b5≥0，b6≤0；
即，
解得，≤k≤，
故答案為：[，]．　
12．已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若對于任意的實數(shù)x不等式f（x）≥2恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣5或a≥5}，則所有滿足條件的m的組成的集合是　{}?。?br /> 【考點】絕對值三角不等式．
【分析】根據(jù)絕對值的性質得到2m|a|≥2，解出a，得到關于m的方程，解出即可．
【解答】解：f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤﹣或a≥，
∵數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣5或a≥5}，
故=5，解得：m=，
∴實數(shù)m的集合是{}．
故答案為{}．　
二、選擇題（本大題滿分20分，每題5分）
13．已知兩點O（0，0），Q（a，b），點P1是線段OQ的中點，點P2是線段QP1的中點，P3是線段P1P2的中點，┅，Pn+2是線段PnPn+1的中點，則點Pn的極限位置應是（　?。?br /> A．（，） B．（） C．（） D．（）
【考點】中點坐標公式；極限及其運算．
【分析】由中點坐標公式求得部分中點的坐標，再尋求規(guī)律，求極限得之．
【解答】解：∵點Pn的位置應是（
∴點Pn的極限位置應是（）．
故答案選C．　
14．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，若|α﹣β|的最小值為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．[﹣+2kπ，π+2kπ]，k∈Z B．[﹣+3kπ，π+3kπ]，k∈Z
C．[π+2kπ， +2kπ]，k∈Z D．[π+3kπ， +3kπ]，k∈Z
【考點】正弦函數(shù)的圖象．
【分析】根據(jù)f（a）=﹣，f（β）=求出α、β的值，再根據(jù)|α﹣β|的最小值求出ω的值，
寫出f（x）的解析式，從而求出f（x）的單調增區(qū)間．
【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）+（ω＞0），且f（a）=﹣，f（β）=，
∴f（α）=sin（ωα﹣）+=﹣，可得ωα﹣=2k1π﹣，k1∈Z，
解得：α=，k1∈Z；
f（β）=sin（ωβ﹣）+=，可得ωβ﹣=k2π，k2∈Z，
解得：β=，k2∈Z；
∵|α﹣β|的最小值為，
∴|α﹣β|=||=|2k1﹣k2﹣|≥，k1∈Z，k2∈Z，
可解得：ω≤|2k1﹣k2﹣|，k1∈Z，k2∈Z，
取k1=1．k2=2，可得ω=；
∴f（x）=sin（x﹣）+，
由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，
解得3kπ﹣≤x≤3kπ+π，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：[3kπ﹣，3kπ+π]，k∈Z．
故選：B．　
15．已知m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ
B．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β
C．若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β
D．平面α內有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β
【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．
【分析】在A中，α與γ相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α∥β；在D中，α與β相交或平行．
【解答】解：由m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，知：
在A中，若α⊥β，β⊥γ，則α與γ相交或平行，故A錯誤；
在B中，若m?α，n?β，m∥n，則α與β相交或平行，故B錯誤；
在C中，若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則由面面平行的判定定理得α∥β，故C正確；
在D中，平面α內有不共線的三點到平面β的距離相等，則α與β相交或平行，故D錯誤．
故選：C．　
16．若點P是△ABC的外心，且++λ=，∠C=120°，則實數(shù)λ的值為（　?。?br /> A． B．﹣ C．﹣1 D．1
【考點】向量的線性運算性質及幾何意義．
【分析】如圖所示，利用點P是△ABC的外心，∠C=120°，可得||=||=||=R，∠APB=120°．由于++λ=，可得+=﹣λ．兩邊做數(shù)量積可得（+）2=λ22，展開相比較即可得出λ．
【解答】解：如圖所示，

∵++λ=，
∴+=﹣λ．，
∴（+）2=λ22，展開為2+2+2||||cos∠APB=λ2||2．
∵點P是△ABC的外心，∠C=120°，∴||=||=||=R，∠APB=120°．
∴2R2﹣R2=λ2R2，化為λ2=1．
∵++λ=，∴λ=﹣1．
故選：C．　
三、解答題（本大題滿分76分）
17．如圖所示為一名曰“塹堵”的幾何體，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=，四邊形ABCD是正方形．
（1）《九章算術》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，判斷四面體EABC是否為鱉臑，若是，寫出其每一個面的直角，并證明；若不是，請說明理由．
（2）求四面體EABC的體積．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質．
【分析】（1）推導出AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，從而BC⊥AB，再上BC⊥面ABE，知BC⊥BE，從而得到四面體EABC是鱉臑．
（2）AE是三棱錐A﹣BCE的高，求出正方形ABCD的邊長，由此能求出四面體EABC的體積．
【解答】解：（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，
∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB，
∴BC⊥面ABE，又BE?面ABE，∴BC⊥BE，
∴四面體EABC是鱉臑．
（2）由（1）得AE是三棱錐A﹣BCE的高，
設正方形ABCD的邊長為x，則AB=BC=x，BE==，EC=，
在Rt△BEC中，EC2=BE2+BC2，
即（）2=x2+x2﹣1，解得x=2，
∴，
∴四面體EABC的體積=．
　
18．一棟高樓上安放了一塊高約10米的LED廣告屏，一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的C處測得廣告屏頂端A處的仰角為31.80°．再向大樓前進20米到D處，測得廣告屏頂端A處的仰角為37.38°（人的高度忽略不計）．
（1）求大樓的高度（從地面到廣告屏頂端）（精確到1米）；
（2）若大樓的前方是一片公園空地，空地上可以安放一些長椅，為使坐在其中一個長椅上觀看廣告屏最清晰（長椅的高度忽略不計），長椅需安置在距大樓底部E處多遠？已知視角∠AMB（M為觀測者的位置，B為廣告屏底部）越大，觀看得越清晰．
【考點】解三角形的實際應用．
【分析】（1）由正弦定理可得AD=≈101.2，即可求大樓的高度；
（2）tanα=tan（∠AME﹣∠BME）==≤，即可得出結論．
【解答】解：（1）由題意，∠ACD=31.80°，∠ADE=37.78°，
∠CAD=5.98°，CD=20，
由正弦定理可得AD=≈101.2，
∴AE=ADsin∠ADE≈62m；
（2）設∠AMB=α，，EM=x，x＞0，
tan∠AME=，tan∠AME=，
tanα=tan（∠AME﹣∠BME）==≤
當且僅當x=≈57m時，tanα取得最大值，此時α也最大．
　
19．已知雙曲線C經過點（2，3），它的漸近線方程為y=±x，橢圓C1與雙曲線C有相同的焦點，橢圓C1的短軸長與雙曲線C的實軸長相等．
（1）求雙曲線C和橢圓C1的方程；
（2）經過橢圓C1左焦點F的直線l與橢圓C1交于A、B兩點，是否存在定點D，使得無論AB怎樣運動，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D點坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】橢圓的簡單性質；雙曲線的簡單性質．
【分析】（1）雙曲線C和橢圓C1的方程為：3x2﹣y2=λ，則λ=3×22﹣32=3．
設橢圓C1的方程；
橢圓C1的短軸長與雙曲線C的實軸長相等，橢圓C1與雙曲線C有相同的焦點（±2，0）
即即可得b、c、a
（2）直線l垂直x軸時，A、B兩點關于x軸對稱，要使∠ADF=∠BDF，則點D必在x軸上，
設D（a，0），直線l不垂直x軸時，l的方程設為：y=k（x+2），
設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．
要使∠ADF=∠BDF，即直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，即，求得a
【解答】解：（1）雙曲線C和橢圓C1的方程為：3x2﹣y2=λ，則λ=3×22﹣32=3．
∴雙曲線C的方程為．
設橢圓C1的方程；
橢圓C1的短軸長與雙曲線C的實軸長相等，
∴橢圓C1的短軸長為2b=2，橢圓C1與雙曲線C有相同的焦點（±2，0），
即c=2，∴a=，橢圓C1的方程為：；
（2）直線l垂直x軸時，A、B兩點關于x軸對稱，
∵F（﹣2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，則點D必在x軸上，
設D（a，0），直線l不垂直x軸時，l的方程設為：y=k（x+2），
設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立得（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0．
∴．
∵∠ADF=∠BDF，∴直線AD、BD的斜率互為相反數(shù)，
即，
k=0時恒成立．
k≠0時，a=；
∴存在定點D（﹣，0），使得無論AB怎樣運動，都有∠ADF=∠BDF．　
20．已知函數(shù)F（x）=ex滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)h（x）的反函數(shù)；
（2）已知φ（x）=g（x﹣1），若函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若對于任意x∈（0，2]不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】反函數(shù)；指數(shù)函數(shù)的圖象與性質．
【分析】（1）由題意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），聯(lián)立解得：g（x），h（x）．由y=，化為：（ex）2﹣2yex﹣1=0，ex＞0，解得ex=y+．可得h﹣1（x）．
（2）φ（x）=g（x﹣1），函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），轉化為：函數(shù)g（x）在[﹣2，2]上滿足：g（2a）＞g（﹣﹣1），由于函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調遞增，且函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，可得|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a范圍．
（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，令t=ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，不等式轉化為：t2+2﹣at≥0，a≤t+，利用基本不等式的性質即可得出．
【解答】解：（1）由題意可得：ex=g（x）+h（x），e﹣x=g（﹣x）+h（﹣x）=g（x）﹣h（x），
聯(lián)立解得：g（x）=，h（x）=．
由y=，化為：（ex）2﹣2yex﹣1=0，ex＞0，解得ex=y+．
∴h﹣1（x）=ln（x∈R）．
（2）φ（x）=g（x﹣1），函數(shù)φ（x）在[﹣1，3]上滿足φ（2a+1＞φ（﹣），
轉化為：函數(shù)g（x）在[﹣2，2]上滿足：g（2a）＞g（﹣﹣1），
由于函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調遞增，且函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
∴|2a|＞|﹣﹣1|，﹣2≤2a≤2，﹣2≤﹣﹣1≤2，解得a∈∪．
（3）不等式g（2x）﹣ah（x）≥0，即﹣≥0，
令t=ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，
不等式轉化為：t2+2﹣at≥0，∴a≤t+，∵t+≥2，當且僅當t=時取等號．
∴a≤2．　
21．若存在常數(shù)k（k∈N*，k≥2）、d、t（d，t∈R），使得無窮數(shù)列{an}滿足an+1=，則稱數(shù)列{an}為“段差比數(shù)列”，其中常數(shù)k、d、t分別叫做段長、段差、段比，設數(shù)列{bn}為“段差比數(shù)列”．
（1）已知{bn}的首項、段長、段差、段比分別為1、2、d、t，若{bn}是等比數(shù)列，求d、t的值；
（2）已知{bn}的首項、段長、段差、段比分別為1、3、3、1，其前3n項和為S3n，若不等式對n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）是否存在首項為b，段差為d（d≠0）的“段差比數(shù)列”{bn}，對任意正整數(shù)n都有bn+6=bn．若存在，寫出所有滿足條件的{bn}的段長k和段比t組成的有序數(shù)組（k，t）；若不存在，說明理由．
【考點】數(shù)列的應用．
【分析】（1）{bn}的前4項依次為1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，先求出t，再代入驗證，可得結論；
（2）由{bn}的首項、段長、段比、段差，?b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，?{b3n﹣1}是等差數(shù)列，又b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n，從而求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）k取2，3，4時存在，有序數(shù)組可以是（2，），（3，），（3，﹣1），（6，）．
【解答】解：（1）{bn}的前4項依次為1，1+d，t（1+d），t（1+d）+d，
由前三項成等比數(shù)列得（1+d）2=t（1+d），
∵1+≠0，∴t=1+d，
那么第2，3，4項依次為t，t2，t2+t﹣1，∴t4=t（t2+t﹣1），∴t=±1．
t=1時，d=0，bn=1，滿足題意；
t=﹣1時，d=﹣2，bn=（﹣1）n﹣1，滿足題意；
（2）∵{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，
∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，
∴{b3n﹣1}是以b2=4為首項、6為公差的等差數(shù)列，
又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，
∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=3（b2+b5+…+b3n﹣1）=3[4n+]=9n2+3n，…
∵，∴，
設cn=，則λ≥（cn）max，
又cn+1﹣cn=，
當n=1時，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；當n≥2時，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，
∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…
∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…
（3）k取2，3，4時存在，有序數(shù)組可以是（2，），（3，），（3，﹣1），（6，）．
　


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