洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟5月聯(lián)考高一數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：人教版必修第二冊(cè)第六章~第十章10.1.3。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知復(fù)數(shù)z 滿足(1+i)z=2(i為虛數(shù)單位)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限             B.第二象限             C.第三象限            D.第四象限2. 在某中學(xué)高一年級(jí)的300名學(xué)生中，男生有120名，女生有180名.學(xué)校想了解學(xué)生對(duì)選修課程的看法，以便開設(shè)有關(guān)課程，現(xiàn)準(zhǔn)備從高一學(xué)生中按性別用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為A.24                  B.36              C.40               D.483. 如圖,在正方體ABCD-A?B?C?D?中,E,F分別為棱BC 和棱CC?的中點(diǎn),則異面直線AC和EF 所成的角為A.30°                                B.45°C.60° D.90°4. “雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多，某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表.借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的第25 百分位數(shù)是A.5                   B.5.5                 C.6                  D.6.55. 在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,若PA⊥平面ABC,PA=4,則點(diǎn)P到BC 的距離是A.5                    B.4               C.3                D. 6. 設(shè)l，m是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是A.若l∥α,m∥β,α∥β,則l∥m                  B.若l∥m,m⊥β,l⊥α,則α∥βC.若α⊥β,l∥α,m∥β,則l⊥m                   D.若α⊥β,l∥α,m∥β,則l∥m7. 紫金山位于江蘇省南京市玄武區(qū)境內(nèi)，是江南四大名山之一，三峰相連形如巨龍，山、水、城渾然一體，古有“鐘山龍?bào)?，石城虎?/span>”之稱.建筑師在高度接近200米的峰頂測(cè)得一建筑物頂部的仰角為30°，底部的俯角為45°，那么該建筑的高度接近 米                            B.200(1+   )米 米                          米8. 已知e?,e?是單位向量,且e?,e?的夾角為θ,若  則θ的取值范圍為                                       二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9. 在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且  若△ABC有唯一解，則a的值可以是A.1                                                      D.  10. 某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A一結(jié)伴步行，B一自行乘車，C一家人接送，D一其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是A.扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的占比最小                      B.條形統(tǒng)計(jì)圖中A和C一樣高C.無法計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的占比                   D.估計(jì)該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送11. 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是A.“至少有一個(gè)紅球”和“至少有一個(gè)黑球”是互斥事件B.“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事件D.“至少有一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事件12. 如圖所示,在四棱錐P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD 為正方形,PA=AB=1,E,F為線段PD 上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，則A. AC⊥EFB. PB∥平面AECC.二面角E-BD-C的大小為定值D. AE+CE 的最小值為   三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 在△ABC中,    若 則λ=               .14. 某廠有A，B 兩條生產(chǎn)線制造同一型號(hào)可充電電池.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機(jī)抽取20件成品，測(cè)試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結(jié)果如下表：項(xiàng)目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A生產(chǎn)線產(chǎn)品82101B生產(chǎn)線產(chǎn)品122001則20個(gè)產(chǎn)品組成的總樣本的方差為               .15. 在某次國(guó)際圍棋比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為         .16. 已知等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=BC=4，若球O上的點(diǎn)到平面ABC 的最大距離為4,則球O的體積為            .四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17. (本小題滿分10分)已知向量=(1,3), =(-2,1).(1)求·;(2)若向量+與-k互相垂直,求k的值.18. (本小題滿分12分)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且  (1)求A;(2)若a=2,且△ABC的面積為  ,求b,c.19. (本小題滿分12分)學(xué)校對(duì)甲、乙兩人的學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績(jī)及活動(dòng)參與三個(gè)方面做了一個(gè)初步的評(píng)估，成績(jī)(單位：分)如下表所示. 學(xué)習(xí)態(tài)度考試成績(jī)活動(dòng)參與甲989695乙909998(1)如果以學(xué)習(xí)態(tài)度、考試成績(jī)及活動(dòng)參與三個(gè)方面的平均分來計(jì)算他們的成績(jī)，并以此作為評(píng)優(yōu)的依據(jù)，你認(rèn)為誰會(huì)被評(píng)為優(yōu)秀?(2)如果以20%，60%，20%依次作為三項(xiàng)成績(jī)的比例來計(jì)算他們的成績(jī)，結(jié)果又會(huì)如何?20. (本小題滿分12分)如圖，△ECD所在平面與等腰梯形ABCD所在平面互相垂直， F為ED的中點(diǎn).(1)求證:AF∥平面EBC; (2)求證:BD⊥平面EBC.21. (本小題滿分12分)《青年大學(xué)習(xí)》是共青團(tuán)中央組織的，以“學(xué)習(xí)新思想，爭(zhēng)做新青年”為主題的黨史團(tuán)課學(xué)習(xí)行動(dòng)，2023年已開展到第7期.某市團(tuán)市委為了解全市青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名青年進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)(單位：分鐘)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；(2)市宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會(huì).辦法是：采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60，70)和[70，80)的青年中共抽取5人，且從參會(huì)的5人中又隨機(jī)抽取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60，70)中至少有1人被抽中發(fā)言的概率.22. (本小題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,△ABD為等邊三角形,BC=CD=1,∠ABC=90°,M是PB上一點(diǎn),且PB=3MB,N是PC的中點(diǎn).(1)求證:PC⊥BD;
(2)若二面角P-BC-A 的大小為45°,求三棱錐C-AMN的體積. 洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟5月聯(lián)考·高一數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1. D  因?yàn)?1+i)z=2,所以 所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，-1)，位于第四象限.故選D.2.  B    由題意得，男、女生的比例為120：180=2：3，故用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為 60=36.故選B.3.  C   連接BC?,A?C?,A?B,如圖所示:根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征,可得EF∥BC?,AC∥A?C?,則∠A?C?B即為異面直線AC和EF所成的角,BC?=A?C?=A?B,所以△A?C?B為等邊三角形,故∠A?C?B=60°.故選C.4.  C    由50×25%=12.5,故第25百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第13人,又5+8=13,故第25百分位數(shù)是6. 故選C.5.  A    如圖,取BC中點(diǎn)D,連接PD,AD.∵AB=AC,∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC. CB⊥平面PAD,∴PD⊥BC.在△ACD中,AC=5,CD=4,∴AD=3.在Rt△PAD中,PA=4,AD=3, 故選A. 6.  B    由于l,m是不同的直線,α,β是不同的平面,若l∥α,m∥β,α∥β,則l與m 的位置關(guān)系不定,故A錯(cuò)誤;若l∥m,m⊥β,l⊥α,則α與β平行,故B正確;若α   ⊥β,l∥α,m∥β,則l與m的位置關(guān)系不定,故C,D錯(cuò)誤.故選B.7.  A 作出示意圖,過點(diǎn)A作AE⊥CD,其中AB=200,∠CAE=30°,∠DAE=45°,可得DE =AB=200,在直角△ADE中,因?yàn)镈E=200,∠DAE=45°,則AE=200,在直角△ACE 中,因?yàn)锳E=200,∠CAE=30°,可得     則DC=DE   米，所以建筑的高度接近 米.故選A. 8. D 又θ∈[0,π], 所以

故選D.9. CD    因?yàn)椤鰽BC有唯一解,所以 或a≥b=2.故選CD.10.  ABD    由條形統(tǒng)計(jì)圖知，B—自行乘車上學(xué)的有42人，C—家人接送上學(xué)的有30人，D—其他方式上學(xué)的有18人，采用B，C，D三種方式上學(xué)的共90人，設(shè)A—結(jié)伴步行上學(xué)的有x人，由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，A—結(jié)伴步行上學(xué)與B—自行乘車上學(xué)的學(xué)生占60%，所以   解得x=30，故條形圖中A，C一樣高；扇形圖中A類占比與C一樣都為25%，A和C共占50%，故D也正確.扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的占比最小，A正確.故選ABD.11.  BD 從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，可能的結(jié)果有：兩個(gè)紅球，一個(gè)紅球一個(gè)黑球，兩個(gè)黑球.對(duì)于A，“至少一個(gè)紅球”和“至少有一個(gè)黑球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故B正確；對(duì)于C，“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是可以同時(shí)都不發(fā)生，是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是一定有一個(gè)要發(fā)生，是對(duì)立事件，故D正確.故選BD.12. CD    對(duì)于A,∵PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴PA⊥AC,假如AC⊥EF,又PA∩EF=P,∴AC⊥平面PAD,又AD?平面PAD,∴AC⊥AD,而四邊形ABCD為正方形,與AC⊥AD矛盾,故AC⊥EF不正確,故A不正確;對(duì)于B,設(shè)AC∩BD=O,連接OE,若PB∥平面AEC,又平面PBD∩平面AEC=OE,則PB ∥OE，在△PBD中，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，則E必為PD的中點(diǎn)，這與E為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)矛盾，故B不正確；對(duì)于C，∵E為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，∴二面角E-BD-C的大小即為二面角P-BD-C的大小，故二面角E-BD-C的大小為定值，故C正確；對(duì)于D，如圖，將側(cè)面△PAD和△PCD展開在一個(gè)平面內(nèi)，連接AC，當(dāng)E處在AC與PD 的交點(diǎn)處時(shí),AE+CE取得最小值,此時(shí),在△ACD中,由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2×AD×CD×cos∠ADC=1+1-2×1×1×cos135°=2+             ,故AE+CE的最小值為 故D正確.故選CD.13.    因?yàn)樵凇鰽BC中.    所以 即 １４． ２５   依題意得，總樣本平均數(shù) [1+ ( 200-204)2]}=25.15.     這5名棋手分別記為:甲,乙,A,B,C,則樣本空間Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共含有10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件E表示“甲和乙分在不同小組”，則n(E)=6，所以甲和乙分在不同小組的概率為     16. 36π因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形且AB=BC=4,所以AB⊥BC且   如圖，過AC的中點(diǎn)M作平面ABC的垂線MN，則球心O在直線MN上. 設(shè)OM=h，球的半徑為R，不妨設(shè)點(diǎn)D是球O上的一點(diǎn)，則球O上的點(diǎn)D到平面ABC的最大距離為R+h.所以R+h=4.由勾股定理得     OA2=OM2+CM2,      即   得  R2=( 4-R)2+8，解得R=3.所以球O的體積為      17. 解:(1)由a=(1,3),b=(-2,1),∴a·b=1×(-2)+3×1=-2+3=1………………………………………………………………………………………4分(2)若向量a+b與a-kb互相垂直,則(a+b)·(a-kb)=a2-kb2+(1-k)a·b=10-5k+1-k=0,           ??????????????????8分所以    ……………………………………………………………………………………………………10分18. 解:(1)在△ABC中,由正弦定理及     得 又sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,    代入上式，得 ………………………………………………………………………………3分     ………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知    又a=2,∴由余弦定理得    4=b2+c2-2bccos A,      即 b2+c2-bc=4,      ①????????????????????8分又∵△ABC的面積為         ,∴有  即   ∴bc=4,②解由①②組成的方程組得b=2,c=2         ……………………………………………………………………12分19. 解:(1)甲的平均分:   (分).乙的平均分：  (分).甲的平均分較高,甲被評(píng)為優(yōu)秀……………………………………………………………………………6分(2)甲的平均分:98×20%+96×60%+95×20%=96.2(分).乙的平均分:90×20%+99×60%+98×20%=97(分).乙的平均分較高,乙被評(píng)為優(yōu)秀………………………………………………………………………12分20. 證明:(1)如圖,取EC 的中點(diǎn)G,連FG,BG,∵F為ED的中點(diǎn),G為EC的中點(diǎn),              …………………………………………………2分又  …………………………………………………………3分∴四邊形ABGF為平行四邊形,∴AF∥BG……………………………………………………………………………………4分又AF?平面EBC,BG?平面EBC,∴AF∥平面EBC.?????????????????????????5分(2)如圖,在等腰梯形ABCD中,取CD的中點(diǎn)T,連AT,BT. ∴四邊形ABTD為平行四邊形…………………………………6分又AB=AD,∴四邊形ABTD為菱形,∴AT⊥BD.同理,四邊形ABCT 為菱形,∴AT∥BC………………………………………………………………………8分∵AT⊥BD,∴BC⊥BD………………………………………………………………………………………………9分∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,CE⊥CD,CE?平面ECD,∴CE⊥平面ABCD………………………………………………………………………………………………10分又BD?平面ABCD,∴CE⊥BD………………………………………………………………………………………11分∵BC⊥BD,BC∩CE=C,BC,CE?平面EBC,∴BD⊥平面EBC.……………………………………………………12分21. 解:(1)由頻率分布直方圖得(0.005+0.010+0.020+m+0.025+0.010)×10=1,解得m=0.03,…………………2分[40,70)的頻率為:(0.005+0.010+0.020)×10=0.35,[70,80)的頻率為:0.03×10=0.3,所以被抽取的青年每周利用“青年大學(xué)習(xí)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為    ????????6分(2)由頻率分布直方圖知,學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60,70)和[70,80)的頻率之比為2:3,5人中,學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60,70)的有2人,學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[70,80)的有3人,記學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60,70)的2人分別為a,b,學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[70,80]的3人分別為A,B,C,樣本空間Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C)},共含有10個(gè)樣本點(diǎn),……8分設(shè)事件E為“從這5人中抽取2人發(fā)言，且這2人中至少有一人學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[60，70)中”，則E={(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C)},共7個(gè)樣本點(diǎn),………………………………………10分由古典概型的概率計(jì)算公式得     ????????????????????????12分22. (1)證明:因?yàn)椤鰽BD為正三角形,所以AB=AD,又BC=CD,所以AC⊥BD.……………………………………………2分又PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.………………………………………………………………3分AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,所以BD⊥平面PAC,又PC?平面PAC,所以BD⊥PC.………………………5分(2)解:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BC?平面ABCD, 所以PA⊥BC,又已知AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB平面PAB,所以BC⊥平面PAB,PB平面PAB,所以BC⊥PB,所以∠PBA即為二面角P-BC-A 的平面角.因二面角P-BC-A的大小為45°,所以∠PBA=45°.………………………………………………6分又△ABD為等邊三角形，所以∠BAC=∠DAC=30°.在Rt△ABC中, …………………………………………………………………………7分因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB平面ABCD, 由題意,可證△ABC≌△ADC,所以PA⊥AB.知  所以△PBC的面積     ??????????????8分因?yàn)镻B=3MB,所以   又因?yàn)镹為PC中點(diǎn)，所以  …………………………………………………………9分設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，由   得   解得  即點(diǎn)A到平面CMN的距離為  

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