2023年江蘇省南京市鼓樓區(qū)樹人學校中考三模數(shù)學試題（含解析）

這是一份2023年江蘇省南京市鼓樓區(qū)樹人學校中考三模數(shù)學試題（含解析），共26頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2023年江蘇省南京市鼓樓區(qū)樹人學校中考三模數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．（??）
A． B． C． D．
2．截止5月中旬，某公司產(chǎn)品訂單已經(jīng)排到了年底，預(yù)計年開票收入90億元，用科學記數(shù)法表示數(shù)據(jù)90億是（????）
A． B． C． D．
3．如圖是由8個完全相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（????）

A． B． C． D．
4．用配方法將變形，結(jié)果是（????）
A． B．
C． D．
5．如圖，在半圓中，，將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，則弧的長是（ ）
??
A． B． C． D．
6．某同學在用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．﹣4

二、填空題
7．若分式的值為0，則的值為________．
8．計算的結(jié)果是________．
9．如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是________．
??
10．已知扇形的半徑為4，面積為4，則該扇形的弧長為________．
11．一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，且，則________．
12．數(shù)據(jù)，，，，的方差是________．
13．分解因式：______．
14．如圖，、是的切線，A、為切點，點、在上．若，則的度數(shù)是________．
??
15．以下對一次函數(shù)的圖像進行變化的方案中正確的是________（只填序號）．
①向下平移4個單位長度得到一次函數(shù)的圖像；
②向左平移4個單位長度得到一次函數(shù)的圖像；
③繞原點旋轉(zhuǎn)得到一次函數(shù)的圖像；
④先沿軸對稱，再沿軸對稱得到一次函數(shù)的圖像．
16．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜邊AB=2，動點P在AB邊上，動點Q在AC邊上，且∠CPQ=90°，則線段CQ長的最小值=__________ .


三、解答題
17．計算：
(1)．
(2)．
18．解不等式組：．
19．解方程：．
20．如圖，為正方形對角線上一點（不與、重合），于，于，連接．
??
求證：
(1)；
(2)．
21．某運動會期間，甲、乙、丙三位同學參加乒乓球單打比賽，用抽簽的方式確定第一場比賽的入選．
(1)若已確定甲參加第一場比賽，求另一位選手恰好是乙同學的概率；
(2)求選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的概率．
22．北京市共青團團委為弘揚“奉獻、友愛、互助、進步”的志愿精神，鼓勵學生積極參加志愿活動，為了解九年級未入團學生參加志愿活動的情況，從A、B兩所學校九年級未入團學生中，各隨機抽取20名學生，在“志愿北京”上查到了他們參加志愿活動的時長，部分數(shù)據(jù)如下：
a.兩校志愿活動時長（小時）如下：
A校：17??39??39??2??35??28??26??48??39??19
46??7??17??13??48??27??32??33??32??44
B校：30??21??31??42??25??18??26??35??30??28
12??40??30??29??33??46??39??16??33??27
b.兩校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）：

c.兩校志愿活動時長的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下：
學校
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
A校
29.55
m
32
B校
29.55
30
n
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)補全A校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖；
(2)直接寫出表中m，n的值；
(3)根據(jù)北京市共青團團委要求，“志愿北京APP”上參加志愿活動時長不夠20小時不能提出入團申請，若B校九年級未入團學生有180人，從志愿活動時長的角度看，估計B校有資格提出入團申請的人數(shù)．
23．已知二次函數(shù)的圖像頂點坐標是．
(1)________，________；
(2)點，點在函數(shù)圖像上，且，比較與的大??；
(3)若該二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像有2個公共點，結(jié)合圖像，直接寫出的取值范圍．
24．如圖，公園內(nèi)有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．
??
25．如圖，為⊙O的直徑，，為上兩點，，連接，，，，過點作交的延長線于點．
????
(1)求證：直線是⊙O的切線；
(2)若，，求，的長．
26．（1）已知：如圖，、是內(nèi)兩點，求作：的直徑，使．
（2）已知：如圖，、是的半徑，求作：弦，使其與、的交點是的三等分點．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）
??
27．課本呈現(xiàn)：
直覺的誤差
有一張的正方形紙片，面積是．把這張紙片按圖1所示剪開成四小塊，其中兩塊是三角形，另外兩塊是四邊形．把剪出的4個小塊按圖2所示重新拼合，這樣就得到了一個的長方形，面積是，面積多了，這是為什么？
小明給出如下證明：如圖2，可知，，，
∵，∴．
∵，∴，∴．
因此、、三點不共線．同理、、三點不共線，所以拼合的長方形內(nèi)部有空隙，故面積多了．
????????
問題探究：
(1)小紅給出的證明思路為：以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，證明三點不共線．請你幫小紅完成證明；
(2)如圖，將正方形沿圖中虛線剪成①②③④四塊圖形（其中），用這四塊圖形恰能拼成一個矩形（非正方形），求的值．


參考答案：
1．A
【分析】是4的算術(shù)平方根，據(jù)此即可求解．
【詳解】∵22=4,
∴2.
故選A.
【點睛】考查了二次根式的化簡，理解算術(shù)平方根的意義是關(guān)鍵．
2．D
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)．據(jù)此可得出結(jié)果．
【詳解】解：90億，
故選：D．
【點睛】此題主要考查科學記數(shù)法的表示方法．正確確定的值以及的值是本題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【詳解】解：從正面看得到圖形有3列，左邊列1個正方形，中間列2個正方形，右邊列1個正方形，下對齊．
故選B
【點睛】此題考查簡單組合體的三視圖，解題關(guān)鍵在于識別圖形，掌握三視圖的定義．
4．C
【分析】按配方法步驟進行配方一般先把常數(shù)項移到等式右邊，二次項系數(shù)化1，兩邊都加一次項系數(shù)一半的平方，利用公式寫成平方形式，常數(shù)項合并即可．
【詳解】解：二次項系數(shù)化1得，
加一次項系數(shù)一半的平方得，
整理得．
故選擇C．
【點睛】本題考查配方法把一元二次方程變形，掌握配方法把一元二次方程變形的方法與步驟是解題關(guān)鍵．
5．C
【分析】過點O作，連接，根據(jù)題中條件可得，，即可得到弧長弧長，用弧長公式求解即可．
【詳解】解：過點O作，連接，如圖所示，
??
∵將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧長2弧長，
∵，
∴，
∵，
∴
故選：C．
【點睛】本題考查了圓的幾何問題，涉及到圓的性質(zhì)、弧長公式等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．
6．A
【分析】假設(shè)三點（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求得解析式，然后判斷其他兩點即可得答案．
【詳解】解：假設(shè)三點（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，
把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函數(shù)解析式，得，
解得，
函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
當x＝﹣1時，y＝0，
當x＝﹣2時，y＝5，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是能正確求出二次函數(shù)的解析式．
7．
【分析】根據(jù)分式的值為0，得到，求解即可得到答案．
【詳解】解：分式的值為0，
，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，還要注意分式的分母不能為零．
8．
【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，然后再合并同類二次根式即可解答．
【詳解】解：．
故答案為．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡計算，掌握二次根式的性質(zhì)及運算法則是解題的關(guān)鍵．
9．6
【分析】由平行線所截線段對應(yīng)成比例可知，然后代入求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關(guān)鍵．
10．2
【分析】先由扇形的面積公式求圓心角度數(shù)，然后再由弧長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為，由題意可得，
解得，
扇形的弧長為，
故答案為：2．
【點睛】本題考查的是扇形面積及弧長的計算，熟記扇形的面積和弧長公式是解答此題的關(guān)鍵．
11．
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出，，根據(jù)，進而求出的值即可．
【詳解】一元二次方程的兩個實數(shù)根是，，
，，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程，的兩個根，，則，，是解答本題的關(guān)鍵．
12．
【分析】根據(jù)方差公式進行計算即可求解．
【詳解】解：數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為
方差為
故答案為：．
【點睛】本題考查了求方差，熟練掌握方差的計算公式是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】先提取公因式2，再根據(jù)平方差公式進行二次分解即可求得答案．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．
14．/100度
【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出，根據(jù)，得出，即，根據(jù)切線長定理得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出．
【詳解】解：連接，如圖所示：
??
∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵、是的切線，A、為切點，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出．
15．①②④
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的平移，判斷①②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)，分別畫出圖形判斷③④即可求解．
【詳解】解：一次函數(shù)
①向下平移4個單位長度得到一次函數(shù)，即的圖像，故①正確，符合題意；
②向左平移4個單位長度得到一次函數(shù)，即的圖像，故②正確，符合題意；
③如圖所示，繞原點旋轉(zhuǎn)得到一次函數(shù)或的圖像；故③不正確，不符合題意；
????
④如圖所示，先沿軸對稱得到，再沿軸對稱得到一次函數(shù)的圖像，故④正確，符合題意；
????
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的平移，軸對稱與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．2
【分析】以CQ為直徑作⊙O，當⊙O與AB邊相切動點P時，CQ最短，根據(jù)切線的性質(zhì)求得OP⊥AB，進而根據(jù)已知求得△POQ為等邊三角形，得出∠APQ=30°，設(shè)PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°?AB==3，從而求得CQ的最小值為2．
【詳解】以CQ為直徑作⊙O，當⊙O與AB邊相切動點P時，CQ最短，

∴OP⊥AB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠POA=60°，
∵OP=OQ，
∴△POQ為等邊三角形，
∴∠POQ=60°，
∴∠APQ=30°，
∴設(shè)PQ=OQ=AP=OC=r，3r=AC=cos30°?AB==3，
∴CQ=2，
∴CQ的最小值為2．
故答案為2．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形函數(shù)等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
17．(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，零指數(shù)冪，進行計算即可求解；
（2）先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡即可求解．
【詳解】（1）解：原式．
．
（2）原式．



．
【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，分式的混合運算，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，零指數(shù)冪，分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
18．
【分析】分別求得每一個不等式的解集，后確定不等式組的解集即可．
【詳解】解：原不等式組為
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式組的解集為．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握解一元一次不等式組的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
19．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】解：去分母，得
．
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
所以原方程的解是．
【點睛】本題考查解分式方程，掌握解方程的步驟正確計算是解題關(guān)鍵，注意分式方程的結(jié)果要進行檢驗．
20．(1)見解析
(2)見解析

【分析】（1）連接，先證明，得，再證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）延長交于，先證明，再根據(jù)余角的定理即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接，
??
∵四邊形是正方形，
∴，，平分即，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴．
（2）證明：延長交于，則即．
??
∵，
∴，
在矩形中，，，
∴
∴，
∴
在中，，則，即，
∴在中，，即，
∴，即．
【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
21．(1)另一位選手恰好是乙同學的概率
(2)選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的概率為

【分析】（1）利用列舉法進行求解即可；
（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，甲參加第一場比賽時，有（甲，乙）、（甲，丙）兩種可能，
∴另一位選手恰好是乙同學的概率；
（2）解：畫樹狀圖如下：
??
由樹狀圖知共有6種等可能結(jié)果，其中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的情況有2種，
∴選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的概率為．
【點睛】本題主要考查了列舉法，樹狀圖法或列表法求解概率，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
22．(1)見解析
(2)，
(3)153人

【分析】（1）求出A校中和的學生人數(shù)，然后補全頻數(shù)分布直方圖即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行解答即可；
（3）用乘以B校時長大于等于20小時的學生百分比，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：A校中的學生人數(shù)為4人，的學生人數(shù)為7人，則補全A校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖如下：

（2）解：A校中活動時長出現(xiàn)次數(shù)最多的是39小時，因此；
將B校學生的活動時長從小到大進行排序，排在第10和第11的都是30小時，因此中位數(shù)．
（3）解：（人），
答：B校有資格提出入團申請的人數(shù)為153人．
【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分步直方圖，求中位數(shù)，眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義．
23．(1)，3．
(2)當時，即；當時，即
(3)且

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標求解即可；
（2）利用作差法求解即可．
（3）將二次函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立得到一元二次方程，然后令判別式大于零求解即可．
【詳解】（1）∵次函數(shù)的圖像頂點坐標是
∴
∴，
故答案為：，3；
（2）∵
∴



∵，
∴，
∴當時，即；
當時，即；
（3）由題意得，，即
整理得，
∵該二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像有2個公共點，
∴
∴解得且．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
24．(170+60)cm
【分析】延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計算即可．
【詳解】解：延長AD交BN于點E，過點D作DF⊥BN于點F，
??
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），
由題意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
則=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度為(170+60)cm．
【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算．
25．(1)見詳解
(2)長為，長為.

【分析】（1）連接，根據(jù)已知易得根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出即可解答.
（2）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得從而求出然后再利用等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及同弧所對的圓周角相等證明再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可得最后利用相似三角形的性質(zhì)計算即可解答.
【詳解】（1）證明：連接，

??????



????
∵是⊙O的半徑，
∴直線是⊙O的切線.
（2）????
如圖，連接，
∵為⊙O的直徑，
????









∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，



????



∴長為，長為.
【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.
26．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）連接，，，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，即可得到．
（2）令與的交點為，與的交點為，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)等角的補角相等可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可推得．
【詳解】（1）作法：連接并延長，以為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；連接，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，分別交于點，，連接，在的右側(cè)與交于點；連接并延長，與交于點，即為所求．
??
理由：連接，，，如圖，
??
根據(jù)作法可知，點與點關(guān)于點對稱，是的垂直平分線，
∵，，，
∴，
∴，
∵是的垂直平分線，
∴，
∴．
（2）作法：延長，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；延長，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；連接，，分別于交于點，點，連接，即為所求．
??
理由：令與的交點為，與的交點為，如圖，
????
根據(jù)作法可知，，,
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，，
∴，
故．
【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線和線段，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，等角的補角相等，平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握尺規(guī)作垂線和線段是解題的關(guān)鍵．
27．(1)見解析
(2)

【分析】（1）以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖2，則，，待定系數(shù)法求得直線的解析式為：，當時，，可知點在直線的下方，當時，，可知點在直線的上方，進而可得拼合的長方形內(nèi)部有空隙；
（2）如圖3，由拼圖前后的面積相等得：，整理得：，由，可得，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖2，

∵，，
設(shè)直線的解析式為：，
將代入，解得，
∴直線的解析式為：，
當時，，
∴點在直線的下方，
當時，，
∴點在直線的上方，
∴拼合的長方形內(nèi)部有空隙；
（2）解：如圖3，

由拼圖前后的面積相等得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：或（負值不合題意，舍去）．
∴的值為．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，一次函數(shù)解析式，完全平方公式，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意以及對知識的靈活運用．