2022-2023學(xué)年廣東省珠海市斗門重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為(    )A.
B.
C.
D.
 4.  已知是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的點(diǎn)，且，則向量在向量上的投影向量為(    )A.  B.  C.  D. 5.  磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣．如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形截去同心扇形所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為．(    )
 A.  B.  C.  D. 6.  如圖，在平面內(nèi)放置兩個(gè)相同的直角三角板，其中，且，，三點(diǎn)共線，則下列結(jié)論不成立的是(    )
 A.  B.
C. 與共線 D. 7.  已知復(fù)數(shù)，是關(guān)于的方程的兩根，則下列說法中不正確的是(    )A.  B.
C.  D. 若，則8.  趙爽是我國古代著名的數(shù)學(xué)家，大約在公元年，趙爽為周髀算經(jīng)一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”亦稱“趙爽弦圖”如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形我們通過類比得到圖，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，若圖中，，則(    )
A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，10.  如圖，，是單位圓上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)以的角速度、點(diǎn)以的角速度均按逆時(shí)針方向開始在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則(    )A. 時(shí)，的弧度數(shù)為
B. 時(shí)，扇形的弧長為
C. 時(shí)，扇形的面積為
D. 時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上第一次重合
 11.  已知曲線：，曲線，曲線的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(    )
A. 將曲線的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍得到曲線的圖象
B. 將曲線的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍得到曲線的圖象
C. 將曲線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)先伸長為原來的倍，再將圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線的圖象
D. 將曲線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)先縮短為原來的倍，再將圖象向右平移個(gè)單位長度得到曲線的圖象12.  歐拉公式其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中正確的是(    )A. 的模為 B. 的共軛復(fù)數(shù)為
C. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 D. 復(fù)數(shù)的虛部為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知向量，，若，則 ______ ．14.  一游客在處望見在北偏東的方向上有一塔，在南偏東的方向上有一塔，測得、間的距離為公里，，兩點(diǎn)間的距離為公里，則塔與塔間的距離為______ 公里．15.  復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ______ ．16.  設(shè)，則 ______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)．
求的值；
若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.  本小題分
某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： ____________________請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；
將圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象若圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值．19.  本小題分
在中，，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．
求；
若，求的取值范圍．20.  本小題分
已知向量，，函數(shù)．
求的最小正周期；
求的單調(diào)增區(qū)間，對(duì)稱軸；
求在區(qū)間上的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值．21.  本小題分
已知，，，．
求的值；
求的值．22.  本小題分
已知向量，，且，且，．
若與夾角，求；
記，是否存在實(shí)數(shù)，使，對(duì)任意恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則，
故．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以．
故選：．
由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)小正方形的邊長為，向量，的夾角為，
則，，
則，，，
則，
則，
故選：．
根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，求出、的坐標(biāo)，即可得、以及的值，由向量夾角公式可得的值，結(jié)合的范圍分析可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：設(shè)，
則，
是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的點(diǎn)，
由圓的性質(zhì)可知，，
，
，
為的內(nèi)角，
，
向量在向量上的投影向量為：．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合圓的性質(zhì)，以及投影向量的公式，即可求解．
本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由題意得該扇環(huán)形磚雕的面積．
故選：．
由已知結(jié)合扇形的面積公式即可求解．
本題主要考查了扇形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了直角三角形的性質(zhì)，向量線性運(yùn)算，屬于中檔題．
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算，即可判定．
【解答】
解：設(shè)，，且，，三點(diǎn)共線，
則，，
，，
，，故A、、成立；
故選：．  7.【答案】 【解析】解：，，
不妨設(shè)，，
，故A正確；
，故C正確；
，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
時(shí)，，
，
，，同理，故D正確．
故選：．
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得，，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．
本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：，且，，
在中，設(shè)，則，由題知，，
，
由正弦定理：，即，，
由余弦定理：，
，
，，
，
．
故選：．
設(shè)，根據(jù)題意知，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正、余弦定理即可求出，，再由面積公式即可求得．
本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：兩向量不共線，則能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底．
選項(xiàng)，，與不共線；
選項(xiàng)，，與不共線；
選項(xiàng)，，與不共線；
選項(xiàng)，，與共線，
綜上，，，中兩個(gè)向量能作為基底，
故選：．
由基底定義，需判斷選項(xiàng)中兩個(gè)向量是否共線，由向量共線的坐標(biāo)關(guān)系即可判斷．
本題考查基底的概念，向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：時(shí)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的弧度數(shù)為，故A不正確；
時(shí)，的弧度數(shù)為，故扇形的弧長為，故B正確；
時(shí)，的弧度數(shù)為，故扇形的面積為，故C正確；
設(shè)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上第一次重合，則，解得，故D不正確．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合弧長公式及扇形面積公式，逐項(xiàng)分析即可求解．
本題主要考查了弧長公式及扇形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：因?yàn)閳D象過，故，而，故．
又圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心為，故，即，
因此，曲線，
選項(xiàng)，將向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，則可得的圖象，故正確；
選項(xiàng)，將向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，則可得的圖象，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向右平移個(gè)單位，則可得的圖象，故正確；
選項(xiàng)，將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)先縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向右平移個(gè)單位，則可得的圖象，故錯(cuò)誤．
故選：．
先求對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可得兩者之間的變化過程．
本題考查了由圖象求解析式以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬簡單題．
 12.【答案】 【解析】解：對(duì)于，，其模為，故A正確；
對(duì)于，，其共軛復(fù)數(shù)為，故B正確；
對(duì)于，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故C正確；
對(duì)于，
，
所以虛部為，故D錯(cuò)誤．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合歐拉公式，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查歐拉公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，向量，，
若，則，解可得；
故答案為：．
根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式可得，解可得的值，即可得答案．
本題考查向量垂直的判斷，涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：依題意可得，，，

由余弦定理，
即，所以，即塔與塔間的距離為公里．
故答案為：．
利用余弦定理計(jì)算可得．
本題考查了余弦定理的應(yīng)用計(jì)算，屬于中檔題．
 15.【答案】 【解析】解：，，
復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，，
則，，
設(shè)，，
則，，
故，
故．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，先求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再結(jié)合正切函數(shù)的兩角和公式，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：，



，
設(shè)，
則，
，．
故答案為：．
根據(jù)題意可得，從而易得，再根據(jù)倒序相加法，即可求解．
本題考查三角恒等變換，函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，利用倒序相加法求和，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 17.【答案】解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，
則，解得；
由可知，，
故復(fù)數(shù)，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為； 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解；
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：依題可得，，，所以函數(shù)， 將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，
得到，又圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，
所以，所以，，又，
所以，且，所以時(shí)取到最小值是． 【解析】根據(jù)五點(diǎn)法，計(jì)算即可填表，寫出解析式；先寫出的解析式，用代入法求出的最小值．
本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，五點(diǎn)法，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：在中，，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，
由正弦定理得，，
，，
，
，
，，
，又，
；
由正弦定理得，，
所以，，，
所以，
故的取值范圍為 【解析】利用正弦定理和三角公式得到，即可求出；
利用正弦定理表示出，，利用三角函數(shù)求出最值．
本題主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】解：，
，
的最小正周期為；
令，
，
的單調(diào)增區(qū)間為，，
令，，，
的對(duì)稱軸為；
，，
當(dāng)，即時(shí)，有最大值；
當(dāng)，即時(shí)，有最小值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，． 【解析】用向量的數(shù)量積和三角恒等變換知識(shí)將化為即可得到答案；
解不等式和方程即可；
由復(fù)合函數(shù)的值域及正弦函數(shù)的值域即可求出．
本題考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于中檔題．
 21.【答案】解：，
，
又，，
，

；
由知，又，
，
，，
，又，
，


． 【解析】根據(jù)及誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系．即可求解；
根據(jù)及同角關(guān)系，即可求解．
本題考查三角函數(shù)求值問題，三角函數(shù)公式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>，
所以，
又，與夾角，
即，
即，
即，
即；
由可得，
即，
設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，對(duì)任意恒成立，
即對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，
設(shè)，，
由已知可得對(duì)恒成立，
即，
即，
即，
即存在實(shí)數(shù)，使，對(duì)任意恒成立，且實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【解析】由平面向量的模的運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可；
由可得，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，對(duì)任意恒成立，對(duì)恒成立，設(shè)，，即對(duì)恒成立，即，然后求解即可．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了不等式恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．
 

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