2022-2023學(xué)年湖北省荊荊襄宜四地七校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  一條弦的長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓心角為(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知在復(fù)平面內(nèi)，是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，則(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，為單位向量，當(dāng)向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為(    )A.  B.  C.  D. 5.  設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的，滿(mǎn)足且，則不等式的解集為(    )A.  B.
C.  D. 6.  宜昌奧林匹克體育中心為了迎接月日湖北省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式，將中心內(nèi)一塊平面四邊形區(qū)域設(shè)計(jì)燈帶已知燈帶米，米，米，且，則(    )
A.  B.  C.  D. 7.  在中，已知，，外接圓半徑為，點(diǎn)，分別是，的三等分點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知在上的最小值為，則的解有個(gè)．(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  已知平面內(nèi)四點(diǎn)，，，可構(gòu)成平行四邊形，其中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(    )A.  B.  C.  D. 10.  下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(    )A.  B.  C.  D. 11.  在所在的平面上存在一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(    )A. 若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的外心
B. 若，則點(diǎn)的軌跡不可能經(jīng)過(guò)的垂心
C. 若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過(guò)的重心
D. 若，則點(diǎn)的軌跡可能經(jīng)過(guò)的內(nèi)心12.  已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面內(nèi)有兩動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足若，則的值可能為(    )A.  B.  C.  D. 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知，，則 ______ ．14.  若平面內(nèi)不共線(xiàn)的三個(gè)向量兩兩的夾角相等，且，則 ______ ．15.  在中，已知，是的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，則 ______ ．16.  已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
已知．
若，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，求的值．
當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，與垂直？18.  本小題分
要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過(guò)圖象變換得到，也可以用“五點(diǎn)法”列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)得到． __________________________________________________________________________________________由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫(xiě)出變換的步驟和函數(shù)；
用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖．
19.  本小題分
已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．
求常數(shù)的值；
求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．20.  本小題分
已知函數(shù)為奇函數(shù)，．
求實(shí)數(shù)；
求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；21.  本小題分
宜昌卷橋河濕地公園是一幅美麗的田園濕地畫(huà)卷，它將自然山體、陽(yáng)光草坪、親水草灘、芒草濕地、溪谷密林等有機(jī)融合，設(shè)計(jì)的十分精致優(yōu)美為了迎接年的春天，公園里開(kāi)辟了一塊等腰直角三角形農(nóng)田種植七彩油菜，其斜邊米為了方便游客觀光，欲在上選擇一點(diǎn)，修建兩條觀賞小徑，，點(diǎn)，分別在邊，上，且小徑，與邊的夾角都是區(qū)域和區(qū)域種植粉色油菜，區(qū)域種植黃色油菜．
隨著春天到來(lái)，油菜均已開(kāi)花，為了游客深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在種植黃色油菜區(qū)域內(nèi)修建小徑，當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，三條小徑的長(zhǎng)度之和最?。?/span>
種植粉色油菜的成本是元平方米，求種植粉色油菜的最少費(fèi)用．22.  本小題分
定義非零向量的“伴隨函數(shù)”為，非零向量為函數(shù)的“伴隨向量”其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．
設(shè)，求出與的“伴隨向量”共線(xiàn)的單位向量；
已知點(diǎn)滿(mǎn)足，向量的“伴隨函數(shù)”在處取得最小值，求的取值范圍；
向量，其“伴隨函數(shù)”為，已知，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意：作出如下圖形，

，
則為等邊三角形，故，
則這條弦所對(duì)的圓心角為．
故選：．
如圖所示，根據(jù)弦長(zhǎng)得到為等邊三角形，得到答案．
本題主要考查圓心角的求解，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，
則，，
，
故向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，其虛部為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量的線(xiàn)性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故選：．
利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解．
本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，向量在向量上的投影向量，．
故選：．
根據(jù)題意，由投影向量的計(jì)算公式直接計(jì)算可得答案．
本題考查投影向量的計(jì)算，涉及向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，，
是定義在上的奇函數(shù)，即，
故，函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
又由對(duì)任意的，滿(mǎn)足，此時(shí)，必有，
則有，函數(shù)在上為減函數(shù)，
又由為偶函數(shù)，則在上為增函數(shù)，
又由，則，同時(shí)，
或，必有或，
即的取值范圍為．
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)，，分析的奇偶性和單調(diào)性，而或，由此分析可得答案．
本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，連接．
在中，由余弦定理有：，
在中，由余弦定理有：，
由得：，
又，，
，
又，
，
或．
，，
若，則舍，
．
故選：．
在和分別用余弦定理得到，的等量關(guān)系，再由和平方關(guān)系將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角方程，求出的三角函數(shù)值即可．
本題考查平面幾何圖形中的解三角形問(wèn)題，還考查了計(jì)算能力，屬中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：在中，，外接圓半徑為，
，，
在中，由余弦定理可得，
，解得舍去或，
建立以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，過(guò)作的垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，，
，
，
，，
，，．
故選：．
由題意建立以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，過(guò)作的垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，利用向量法可求的余弦值．
本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查向量法在解三角形中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，而，顯然不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，
要使在上的最小值為，
則有，所以，
此時(shí)在處取得最小值，
即，
令，
因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，
又在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?/span>，，
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，此時(shí)函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，
也即當(dāng)，函數(shù)在上的最小值為時(shí)，則的解只有一個(gè)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，
所以，
要使在上的最小值為，
則有，解得，
當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知，
函數(shù)在上的最小值為，解得，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)在處取得最小值，即，
從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖像有多少個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
則與的大致圖像如下，

所以與的圖像有唯一交點(diǎn)，
即當(dāng)，函數(shù)在上的最小值為時(shí)，則的解只有一個(gè)；
綜上可知，的解有個(gè)．
故選：．
分類(lèi)討論，和三種情況，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)一步縮小的范圍，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理，以及數(shù)形結(jié)合即可得解．
本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：因?yàn)槠矫鎯?nèi)四點(diǎn)，，，可構(gòu)成平行四邊形，其中，，，
則，
可設(shè)，
則，，
則，即，
選項(xiàng)中符合條件的有．
故選：．
根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算即可．
本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：對(duì)于：函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于：函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于：函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上先減后增，故D錯(cuò)誤．
故選：．
直接利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題主要考查了三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：對(duì)于，若，則，，三點(diǎn)共線(xiàn)，即在直線(xiàn)上，
在中，若，的中點(diǎn)為三角形外心，則有可能為外心，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于，若三角形為鈍角三角形，且，則點(diǎn)在的重心上，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于，若為的重心，由重心性質(zhì)知，與矛盾，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于，由選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，過(guò)的重心，當(dāng)為正三角形時(shí)，重心與內(nèi)心重合，故D正確．
故選：．
根據(jù)題意，運(yùn)用向量與三角形的“五心”知識(shí)依次分析選項(xiàng)即可．
本題考查向量與三角形之間的代數(shù)與幾何問(wèn)題，涉及平面向量的基本定理、向量的線(xiàn)性運(yùn)算，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
所以，即，
因?yàn)?/span>，，，，所以，所以點(diǎn)在的內(nèi)部或者邊上，
取的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?/span>，所以，即，所以，
所以，即，
所以，，，
故選：．
由條件式化簡(jiǎn)變形得，根據(jù)，的取值范圍可確定點(diǎn)的位置，再由轉(zhuǎn)化思想得，求出的取值范圍，即可得出結(jié)論．
本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積的最值問(wèn)題的綜合，還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：，
則．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合二倍角公式，以及將弦化切，即可求解．
本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 14.【答案】 【解析】解：的夾角兩兩相等且不共線(xiàn)，則兩兩夾角為，且，
，
．
故答案為：．
根據(jù)題意可得出兩兩夾角為，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式即可求出的值，然后即可得出的值．
本題考查了向量夾角的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，是的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，
所以，
則在中，，
所以．
故答案為：．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由正切的和角公式可得的值，進(jìn)而得解．
本題主要考查三角函數(shù)的求值問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，則由得，
若，作出函數(shù)的圖象如圖：
當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，由，得只有一個(gè)解且，此時(shí)，最多有個(gè)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
故，不成立，
當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如圖：．
則，
由，得方程有個(gè)不同的根，其中，
其中，，，
當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根，
要使函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，
則必有，有個(gè)零點(diǎn)，
由，得，即，
此時(shí)只要，即可，
得，即，
得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
利用換元法，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 17.【答案】解：，，
則，，
因?yàn)?/span>，，三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，整理得，
所以，解得，
故的值為；
，，
因?yàn)?/span>與垂直，
所以，解得． 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解；
根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查向量共線(xiàn)、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：步驟：把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；
步驟：把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象；
步驟：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．
因?yàn)?/span>，列表如下： 在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的部分圖象，如圖所示． 【解析】把圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，最后把圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍即可．
根據(jù)題意填寫(xiě)數(shù)表，在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的部分圖象即可．
本題考查了三角函數(shù)圖象平移變換問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：由函數(shù)，
即：，因?yàn)?/span>，所以，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故，即分
的單調(diào)遞減區(qū)間需要滿(mǎn)足：，
解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為：分 【解析】利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出函數(shù)角對(duì)應(yīng)的范圍，進(jìn)而求解結(jié)論；
利用整體的思想，借助于正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解決本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：為奇函數(shù)，，
，在定義域內(nèi)恒成立，
即，，解得，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則非奇非偶，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
且，符合題意，
綜上可得：；
，，令，
則函數(shù)化為，又，則對(duì)稱(chēng)軸，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，則；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的最小值為；
當(dāng)時(shí)，的最小值為；
當(dāng)時(shí)，的最小值為． 【解析】根據(jù)奇函數(shù)定義，可判斷求；通過(guò)換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值的問(wèn)題，要注意分類(lèi)討論．
本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．
 21.【答案】解：在中，，由正弦定理得：，
解得，
中，，由正弦定理得：，
解得，
所以；
在中，由余弦定理可得：，
即，
所以，即，
又因?yàn)?/span>，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．
所以當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑的長(zhǎng)度之和最小，最小為．
由知，所以，
同理可得：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
所以最少費(fèi)用為 【解析】中由正弦定理求得，中由正弦定理求得，中由余弦定理求得，利用基本不等式求出取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的條件，即可得出點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，三條小徑的長(zhǎng)度之和最小．
求出、的面積和，利用基本不等式求最小值，即可得出結(jié)論．
本題考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>

，
故的“伴隨向量”，，
所以與的“伴隨向量”共線(xiàn)的單位向量為，坐標(biāo)為．
的“伴隨函數(shù)”，
因?yàn)橄蛄?/span>的“伴隨函數(shù)”在處取得最小值，
所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，
解得，，
從而可得，
又由于，
所以，即，解得，
可得，
令，可得，
又由于均為上的單調(diào)遞減函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，
所以，
可得，
又由于，
令，在上單調(diào)遞增，
可得，
故的取值范圍為．
由題意可知，，
又，
所以可得，
所以，
從而有，
從而有，
當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，
故． 【解析】由題意知，再計(jì)算單位向量即可；
由題意可求，可求，令，則，利用二倍角的正切公式，雙勾函數(shù)的性質(zhì)可求，進(jìn)而利用兩角差的正切公式以及正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解的取值范圍．
由題意可知，當(dāng)分類(lèi)討論利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握輔助角公式，二倍角公式，向量的模，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．
 

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2022-2023學(xué)年湖北省荊荊襄宜四地七校考試聯(lián)盟高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案：

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湖北省荊荊襄宜四地七校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

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