高三數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、學號和姓名；考場號、座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題紙.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 若集合，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式求集合A、由冪函數(shù)的性質得集合B，再求并集即可.【詳解】由題意可得，易知在定義域單調遞增，故，故.故選：B2. 若，則（    ）A.  B.  C. 3 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算及求模公式計算即可.【詳解】由，故選：A3. 已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求值即可.【詳解】因為單位向量滿足，所以，由投影向量計算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故選：D4. 《九章算術?商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑，”陽馬，是底面為長方形或正方形，有一條側棱垂直底面的四棱錐.在底面，且底面為正方形的陽馬中，若，則（    ）A. 直線與直線所成角為B. 異面直線與直線的距離為C. 四棱錐的體積為1D. 直線與底面所成角的余弦值為【答案】B【解析】【分析】把陽馬補形成正方體，求出異面直線夾角判斷A；求出線面距離判斷B；求出四棱錐體積判斷C；求出線面角的余弦判斷D作答.【詳解】由底面，底面為正方形，而，則陽馬可補形成正方體，如圖，  對于A，由底面，底面，則，因此直線與所成角為，A錯誤；對于B，連接，平面，平面，則有平面，從而異面直線與直線的距離等于直線與平面的距離，取的中點，連接，則，而平面，平面，于是，又平面，因此平面，所以直線與平面距離為，B正確；對于C，四棱錐的體積，C錯誤；對于D，連接，則是直線與底面所成的角，而，因此，D錯誤.故選：B5. 臨近高考，同學們寫祝?？ㄆS美好愿望.某寢室的5位同學每人寫一張祝?？ㄆ旁谝黄?，打亂后每人從中隨機抽取一張卡片，已知有同學拿到自己寫的祝?？?，則至少有3位同學摸到自己寫的祝?？ㄆ母怕蕿椋?/span>    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率作答.【詳解】恰有1位同學拿到自己寫的祝?？ㄓ?/span>種，恰有2位同學拿到自己寫的祝?？ㄓ?/span>種，恰有3位同學拿到自己寫的祝福卡有種，恰有4位（5位）同學拿到自己寫的祝?？ㄓ?/span>1種，因此有同學拿到自己寫的祝?？ǖ氖录械幕臼录?shù)為個，至少有3位同學摸到自己寫的祝?？ǖ氖录?/span>個基本事件，所以至少有3位同學摸到自己寫祝?？ㄆ母怕?/span>.故選：C.6. 定義設函數(shù)，可以使在上單調遞減的的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分段寫出函數(shù)解析式，并確定單調遞減區(qū)間，再借助集合的包含關系求解作答.【詳解】依題意，，函數(shù)的遞減區(qū)間是，，，于是或，，即，，解得，由，得，無解；或，，解得，由，得，則或，當時，，當時，，選項C滿足，ABD不滿足.故選：C7. 已知點是雙曲線右支上一點，分別是的左、右焦點，若的角平分線與直線交于點，且，則的離心率為（    ）A. 2 B.  C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合雙曲線定義證明點是的內心，再借助三角形面積公式求解作答.【詳解】作的平分線交的平分線于，過作軸，垂足分別為，如圖，    則點為的內心，有，設，，則，于是直線與直線重合，而的角平分線與直線交于點，即與重合，則點為的內心，因此令，由，得，因此，即有，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B8. 已知，且滿足，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】變形給定的等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調性，借助單調性比較大小作答.【詳解】由，得，由，得，由，得，令函數(shù)，顯然，求導得，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，于是，即有，而，所以.故選：B【點睛】思路點睛：某些數(shù)或式大小關系問題，看似與函數(shù)的單調性無關，細心挖掘問題的內在聯(lián)系，抓住其本質，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調性解題，它能起到化難為易、化繁為簡的作用.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9. 下列說法正確的是（    ）A. 樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為9.5B. 若隨機變量服從兩點分布，若，則C. 若隨機變量服從正態(tài)分布，且是偶函數(shù)，則D. 若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則樣本相關系數(shù)的值越接近于1【答案】AC【解析】【分析】求出上四分位數(shù)判斷A；求出兩點分布的方差判斷B；利用正態(tài)分布的對稱性求出u判斷C；利用相關系數(shù)與相關性強弱的關系判斷D作答.【詳解】對于A，樣本數(shù)據(jù)，由，得上四分位數(shù)為，A正確； 對于B，，B錯誤；對于C，由是偶函數(shù)，得，又，因此，C正確；對于D，兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則樣本相關系數(shù)的絕對值越接近于1，D錯誤.故選：AC10. 直三棱桂中，為棱上的動點，為中點，則（    ）A. B. 三棱錐的體積為定值C. 四面體的外接球表面積為D. 點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】由題意補直三棱柱為正方體，結合正方體的特征可判定A，利用等體積法轉化可判斷B，利用正方體的外接球及球的表面積公式可判斷C，利用三角形中位線判斷D即可.【詳解】由題意可知：直三棱柱為正方體ABCD-A1B1C1D1的一半，如圖所示.對于A，連接AB1，A1B，結合正方體的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，故AB1⊥面A1BE，面A1BE，則，即A正確；對于B，由題意可知F到上下底面的距離均為0.5，故是定值，即B正確；對于C，四面體的外接球即正方體的外接球，故其直徑為，所以其表面積為,即C錯誤；對于D，連接A1C，取其中點O，連接OF，易知OF為的中位線，故E從B運動到C的過程中F的運動軌跡長度為BC一半，即D正確.綜上ABD三項正確.故選：ABD11. 拋物線的準線方程為，過焦點的直線交拋物線于，兩點，則（    ）A. 的方程為B. 的最小值為C. 過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有且僅有2條D. 過點分別作的切線，交于點，則直線的斜率滿足【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線方程判斷A；設出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結合拋物線定義及均值不等式計算判斷B；設出過點M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C；求導并結合選項B的信息求解判斷D作答.【詳解】對于A；依題意，，解得，的方程為，A錯誤；對于B，由選項A知，，設直線的方程為，由消去y得，設，則有，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，過點且與拋物線僅有一個公共點的直線不垂直于y軸，設此直線方程為，由消去y得：，當時，，直線與拋物線僅只一個交點，當時，，解得，即過點且與拋物線相切的直線有2條，所以過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，C錯誤；對于D，由求導得，由選項B知，，，，由兩式相減得：，即，則，于是，，即點，所以，D正確.故選：BD  12. 已知，則（    ）A. 對于任意的實數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線B. 對于給定的實數(shù)，存在，使得成立C. 在上的最小值為0，則的最大值為D. 存在，使得對于任意恒成立【答案】ABC【解析】【分析】對于A，對兩函數(shù)求導，再求出導函數(shù)的值域，由兩值域的關系分析判斷，對于B，由可得，從而可判斷，對于C，令，再由可得，由題意設為的極小值點，然后列方程表示出，從而可用表示，再構造函數(shù)，利用導數(shù)可證得結論，對于D，根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.【詳解】對于A，，當時，，當時，，綜上，，所以對于任意的實數(shù)，存在，使與有交集，所以對于任意的實數(shù)，存在，使得與有互相平行的切線，所以A正確，對于B，由于給定的實數(shù)，當給定時，則為定值，由，得，，所以存在使上式成立，所以B正確，對于C，令，而，由題意可知，當時，恒成立，所以，所以，即，若在上遞增，因為在上的最小值為0，所以，得，所以，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以在上單調遞增，所以，所以，所以，若在上不單調，因為在上的最小值為0，所以設為的極小值點，則，解得，所以令，則由，得，或，解得，或（舍去），或（舍去），或，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，綜上，所以C正確，對于D，，當時，，所以D錯誤，故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：此題考導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，對于選項C解題的關鍵是由題意設為的極小值點，則，求出，則可表示出再構造函數(shù)，利用導數(shù)可得結果，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于難題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知的展開式中常數(shù)項為120，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項即可得到關于的方程，解出即可.【詳解】的展開式通項為，的展開式中的常數(shù)項為,解得.故答案為：.14. 已知圓和圓，則過點且與都相切的直線方程為__________.（寫出一條即可）【答案】或（寫出一條即可）【解析】【分析】由直線與圓的位置關系通過幾何法計算即可.【詳解】若過M的切線斜率不存在，即為，此時顯然與兩圓都相切；若過M的切線斜率存在，不妨設為，則到的距離分別為，即.綜上過M與兩圓都相切的直線為：或故答案為：或（寫出一個即可）15. 已知等差數(shù)列的公差為，前項和記為，滿足，若數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則公差的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定恒成立，再分析判斷，結合已知等式求解作答.【詳解】因為數(shù)列為單調遞增數(shù)列，則當時，，而等差數(shù)列的公差，若，由知，數(shù)列單調遞減，存在正整數(shù)，當時，，與數(shù)列為單調遞增數(shù)列矛盾，因此，由，得，即，解得，則，所以公差的取值范圍為.故答案為：16. 若函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，其中交點的橫坐標成等差數(shù)列，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】把兩個函數(shù)圖象有三個交點轉化為三次方程有三個根的問題，設出三個根，利用恒等式建立關系并求解作答.【詳解】依題意，方程，即有三個不等實根，設兩個函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標，即方程的三個根為，于是，整理得，因此，則，即有，解得或，所以的取值范圍是..故答案：【點睛】思路點睛：涉及給定兩個函數(shù)圖象交點橫坐標問題，可以等價轉化為方程實根問題，再結合方程思想求解即可.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項的性質得到方程，求出，即可求出的通項公式，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即可得解；（2）由（1）可得，利用分組求和法求出，令，利用作差法判斷的單調性，即可求出，從而得到關于的對數(shù)不等式，解得即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，且成等比數(shù)列，，即，解得或（舍去），所以.數(shù)列的前項和，當時，，當時，，，即數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）可得，.令，，單調遞增，.，，.18. 在現(xiàn)實生活中，每個人都有一定的心理壓力，壓力隨著現(xiàn)代生活節(jié)奏的加快、社會競爭日趨激烈等逐漸增大.某市研究組為了解該市市民壓力的情況，隨機邀請本市200名市民進行心理壓力測試評估，得到一個壓力分值，繪制如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.  （1）求的值，并估計該市市民壓力分值位于區(qū)間的概率；（2）估計該市市民壓力分值的平均值；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（3）若市民的壓力分值不低于70，則稱為“高壓市民”.研究組對“高壓市民”按年齡段進行研究，發(fā)現(xiàn)年齡在30歲到50歲的“高壓市民”有35人，年齡在30歲到50歲的“非高壓市民”有25人，剩余“高壓市民”的年齡分散在其它年齡段.為研究方便，記年齡在30歲到50歲為年齡段，其余為年齡段.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關.壓力高壓市民非高壓市民年齡段A  年齡段B  附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】（1），；    （2）58；    （3）列聯(lián)表見解析，有的把握認為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1求出a，再由頻率估計概率作答.（2）利用頻率分布直方圖估計壓力分值的平均值作答.（3）由（1）及已知完善列聯(lián)表，求出的觀測值，與臨界值比對作答.【小問1詳解】依題意，，解得，記“該市市民的壓力分值在區(qū)間”為事件，則.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及（1）知，壓力分值在各分組區(qū)間內的頻率依次為：，所以.【小問3詳解】由（1）知，高壓市民有人，年齡段的人數(shù)有35人，年齡段的人數(shù)為35人，所以列聯(lián)表為：壓力高壓市民非高壓市民合計年齡段A352560年齡段B35105140 70130200零假設：該市高壓市民與其年齡在在30歲到50歲無關，，所以有的把握認為該市“高壓市民”與其年齡在30歲到50歲有關.19. 已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面平面.  （1）若為的中點，證明：平面；（2）若，求平面與平面所夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；    （2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質及線面垂直的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，作出平面與平面所成二面角的平面角，再結合對應三角形計算作答.【小問1詳解】在四棱錐中，為的中點，又，則，而，因此平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內過點作交直線于，連接，如圖，  因為平面平面，平面平面，則平面，而平面，則有，又，平面， 于是平面，平面，則，有，得，平面，平面，則平面，平面與平面的交線為，因此，有，從而為平面與平面所成二面角的平面角，顯然，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20. 記銳角內角的對邊分別為.已知.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用三角形內角和定理，兩角和的余弦公式的得到，進而求解；（2）利用正弦定理和三角函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】由，故，故，，故，因是銳角三角形，故，.故，故，所以.【小問2詳解】由正弦定理可知，故，..由是銳角三角形，可知，故，故.21. 已知橢圓的離心率為，拋物線的準線與相交，所得弦長為.（1）求的方程；（2）若在上，且，分別以為切點，作的切線相交于點，點恰好在上，直線分別交軸于兩點.求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得曲線過點，然后根據(jù)曲線的離心率和之間的關系即可求解；（2）設直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立，用韋達定理，利用切線方程求出兩點的坐標，然后將面積的表達式求出來，再根據(jù)函數(shù)的性質即可求解.【小問1詳解】由題知過點，則，解得，.【小問2詳解】設直線的方程為，  聯(lián)立，得，，則，而，則，故以為切點的切線為，即，同理以為切點的切線為，則，由，故兩式作差得：，所以，兩式求和得：，所以點由在橢圓上，即.點到直線的距離，所以，，，而、在上遞增且恒正，則在上遞增，.22. 己知函數(shù)有三個極值點，其中.（1）求的取值范圍；（2）求證：；（3）求證：【答案】（1）    （2）證明見解析    （3）證明見解析【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，將問題等價轉化為有兩個不等實根，令，根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，進而求解；（2）根據(jù)題意，是的兩個根，將問題等價轉化為證明，令，利用函數(shù)的單調性進而求證；（3）根據(jù)題意可得，將要問題等價轉化為，令，利用導數(shù)與函數(shù)的單調性得到，令，，根據(jù)函數(shù)的單調性進而求證.【小問1詳解】有兩個不等根令，則在單調遞增，上單調遞減，且.【小問2詳解】由（1）知，是的兩個根先證令，則在上單調遞增又得證【小問3詳解】因為，所以，，所以要證，即證：，又因為，即證：.令，所以單調遞減，單調遞增，，即.令，時，單調遞減，所以所以，即，即成立.【點睛】利用導數(shù)證明不等式要考慮構造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性或最值解決不等式的證明問題.對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后再去證明.
 
 

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