2023年山東省濟(jì)南市市中區(qū)育英中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的絕對值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖是由幾個小正方體組成的幾何體，它的左視圖是(    )A.
B.
C.
D. 3.  年月日，李克強(qiáng)總理在政府工作報告中指出，我國脫貧攻堅成果舉世矚目，萬農(nóng)村貧困人口實現(xiàn)脫貧．萬，用科學(xué)記數(shù)法將表示為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，，，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 5.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  兩數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列各式子正確的是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖顯示了用計算機(jī)模擬隨機(jī)拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果

下面有三個推斷：
當(dāng)拋擲次數(shù)是時，計算機(jī)記錄“正面向上”的次數(shù)是，所以“正面向上”的概率是；
隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是；
若再次用計算機(jī)模擬此實驗，則當(dāng)拋擲次數(shù)為時，“正面向上”的頻率一定是．
其中合理的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，在中，，，以為圓心，為半徑畫弧交于，分別以，為圓心，大于為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接交于，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  點(diǎn)為二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一個動點(diǎn)不與點(diǎn)重合，連結(jié)，過點(diǎn)作，交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)不與點(diǎn)重合，連結(jié)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，作垂直于直線于，則的最大值為(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  因式分解：           ．12.  一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機(jī)地停留在某塊方磚上，則小球停留在黑色區(qū)域的概率是______．
 13.  方程的解是______ ．14.  運(yùn)城市位于山西省南部，生產(chǎn)水果自然條件得天獨(dú)厚，是世界上優(yōu)質(zhì)蘋果生產(chǎn)最佳生態(tài)區(qū)某農(nóng)村合作社年蘋果儲存量為噸，預(yù)計年蘋果儲存量達(dá)到噸，這兩年蘋果的儲存量的年平均增長率為______ ．15.  如圖，中，，，的斜邊在軸的正半軸上，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，隨著頂點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿軸的正半軸方向滑動，點(diǎn)也沿著軸向點(diǎn)滑動，直到與點(diǎn)重合時運(yùn)動結(jié)束，在這個運(yùn)動過程中，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是______ ．
 三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）16.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上，軸，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．
求的值及雙曲線的解析式；
經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)，且的面積為．
求直線的解析式；
過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)．若將以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
四、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算：．18.  本小題分
解不等式組，并寫出該不等式組的最大整數(shù)解．19.  本小題分
如圖，在?中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交、延長線于點(diǎn)、求證：．
20.  本小題分
某學(xué)校九年級共名男生，為了解實心球訓(xùn)練情況，從中隨機(jī)抽取名學(xué)生的實心球成績作為樣本，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下單位：米：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如下的表格和統(tǒng)計圖：換算為體考分?jǐn)?shù)成績米頻數(shù)合計
根據(jù)上面提供的信息，回答下列問題：
統(tǒng)計表中的 ______ ， ______ ；
請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
在扇形統(tǒng)計圖中，“分”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是______ ；
根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計該校九年級學(xué)生實心球體考分?jǐn)?shù)不低于分的有多少人？21.  本小題分
我國的無人機(jī)水平位居世界前列，“大疆”無人機(jī)更是風(fēng)靡海外小華在一條東西走向的筆直寬闊的沿江大道上玩無人機(jī)航拍已知小華身高，無人機(jī)勻速飛行的速度是，當(dāng)小華在處時，測得無人機(jī)處的仰角為；兩秒后，小華沿正東方向小跑到達(dá)處，此時測得迎面飛來的無人機(jī)處的仰角為，平行于地面直線設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為．
請用含的代數(shù)式表示點(diǎn)與點(diǎn)的鉛垂距離：______ ；
求點(diǎn)離地面的距離參考數(shù)據(jù)：，，，，，，結(jié)果精確到
22.  本小題分
如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)的直線與相切，與延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，連接并延長交射線于點(diǎn)．
求證：；
若，，求的長．
23.  本小題分
衛(wèi)龍辣條是現(xiàn)市場上銷售的一種品牌休閑食品，在學(xué)生中很受歡迎林祥南街某便利店批發(fā)一部分該食品進(jìn)行銷售，已知每包衛(wèi)龍辣條的進(jìn)價是每包普通辣條進(jìn)價的倍，用元購進(jìn)的衛(wèi)龍辣條比用元購進(jìn)的普通辣條多包．
求衛(wèi)龍辣條和普通辣條每包的進(jìn)價分別是多少元？
該便利店每月計劃購進(jìn)衛(wèi)龍辣條、普通辣條共包，并分別按元包、元包的價格全部售出若普通辣條的數(shù)量不少于衛(wèi)龍辣條數(shù)量的倍，請你幫該便利店設(shè)計進(jìn)貨方案，使得每月所獲總利潤最大．24.  本小題分
平面內(nèi)，先將一個多邊形以自身的一個頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱例如：如圖，先將以點(diǎn)為位似中心縮小，得到，再將沿過點(diǎn)的直線翻折，得到，則和成自位似軸對稱．

如圖，在中，，，，垂足為下列對三角形：和；和；和其中成自位似軸對稱的是______ ；填寫所有符合要求的序號
在答案最大序號圖形中，，，設(shè)自位似軸對稱變換的對稱軸與交于點(diǎn)，求；
如圖，在中，是的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，，，連接，求證：．25.  本小題分
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．
求二次函數(shù)的表達(dá)式；
點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
如圖，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，連接；點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，求的最小值______ 直接寫出答案．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
根據(jù)絕對值的定義即可解答．
 2.【答案】 【解析】解：從左邊看，是一列個小正方形．
故選：．
根據(jù)左視圖是從左邊看所得到的圖形，可直接得到答案．
本題考查了三視圖的知識，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
 3.【答案】 【解析】解：，
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：如圖，

，，，
，
，
．
故選：．
由平行線的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求得的度數(shù)．
本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)合并同類項法則，，那么A錯誤，故A不符合題意．
B.根據(jù)完全平方公式，，那么B錯誤，故B不符合題意．
C.根據(jù)積的乘方與冪的乘方，，那么C正確，故C符合題意．
D.根據(jù)同底數(shù)冪的除法，，那么D錯誤，故D不符合題意．
故選：．
根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、積的乘方與冪的乘方法法則、同底數(shù)冪的除法法則解決此題．
本題主要考查合并同類項、完全平方公式、積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握合并同類項法則、完全平方公式、積的乘方與冪的乘方、同底數(shù)冪的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：、圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意．
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解．
本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此題考查有理數(shù)與數(shù)軸以及有理數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的意義等知識解答．
從數(shù)軸上可以看出、都是負(fù)數(shù)，且，由此逐項分析得出結(jié)論即可．
【解答】解：因為、都是負(fù)數(shù)，且，，
A.是錯誤的；
B.，即，故是錯誤的；
C.，即，故是正確的；
D.是錯誤的．
故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解答】
解：當(dāng)拋擲次數(shù)是時，計算機(jī)記錄“正面向上”的次數(shù)是，
“正面向上”的概率不一定是，故錯誤；
隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在附近擺動，
顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“正面向上”的概率是，故正確；
若再次用計算機(jī)模擬此實驗，
則當(dāng)拋擲次數(shù)為時，“正面向上”的頻率不一定是，故錯誤．
故選：．  9.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，交的延長線于．

，，，
≌，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故選：．
如圖，過點(diǎn)作于，交的延長線于首先證明：：：，想辦法求出，證明，即可解決問題．
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)，，直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，
直線的解析式為，
如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，

，，，，
，
，
，
∽，
，即，整理得，，
，
當(dāng)時，，
直線過定點(diǎn)，如圖，
，，
當(dāng)與重合時，最大，值為，
故選：．
設(shè)，，直線的解析式為，待定系數(shù)法求解得直線的解析式為，如圖，過作軸，過作于，過作于，則，，，，，，證明∽，則，即，整理得，，，當(dāng)時，，可知直線過定點(diǎn)，如圖，由，，可知當(dāng)與重合時，最大，值為，計算求解即可．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理等知識，確定直線所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：．
直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解．
本題考查了平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．平方差公式：．
 12.【答案】 【解析】解：由圖可知：黑色方磚在整個地板中所占的比值，
小球最終停留在黑色區(qū)域的概率，
故答案為：．
求出黑色方磚在整個地板中所占的比值，再根據(jù)其比值即可得出結(jié)論．
此題考查了幾何概率問題，其中概率相應(yīng)的面積與總面積之比．
 13.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得：，
檢驗：當(dāng)時，，
分式方程的解為．
故答案為：．
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)年平均增長率為，
，
，
年蘋果儲存量增加，
增長率是正數(shù)，
，即增長率為，
故答案為：．
根據(jù)增長率的計算方法，設(shè)年平均增長率為，列方程求解即可．
本題主要考查一元二次方程的實際運(yùn)用，掌握增長率的計算方法，方程的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：由題意可知，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)運(yùn)動的路徑是當(dāng)的斜邊在軸的正半軸上，點(diǎn)與原點(diǎn)重合的邊線段上，如圖所示：

在中，，，則有勾股定理可得，
當(dāng)從到如圖所示的點(diǎn)處時：

此時軸，則點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是的長，
，
，
，
，即，
，
，
；
當(dāng)再繼續(xù)向上移動，直到點(diǎn)與重合時，如圖所示：

此時點(diǎn)運(yùn)動的路徑是從到，則點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是，
；
綜上所述，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是，
故答案為：．
根據(jù)題意分析，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)運(yùn)動的路徑是初始位置時線段，分為兩種情況：當(dāng)從到如圖所示的點(diǎn)處時，此時軸，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是的長；當(dāng)再繼續(xù)向上移動，直到點(diǎn)與重合時，如圖所示，此時點(diǎn)運(yùn)動的路徑是從到，長是；分別計算并相加即可得到答案．
本題考查軌跡問題、解直角三角形等知識，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊位置解決問題，難度較大，搞懂動點(diǎn)軌跡是解決問題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：點(diǎn)在直線上，
，解得，
則，
軸，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
，
反比例函數(shù)的解析式為；
設(shè)，
，，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
把，代入得，
解得，
直線的解析式為；
當(dāng)時，，解得，則，
直線為直線向下平移個單位得到，
直線與軸的夾角為，
而軸，
，
當(dāng)為等腰直角三角形時，以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，
若，則點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，此時，
若，則軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，此時，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或 【解析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和正方形的判定方法．
根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得到，解得，則，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后把點(diǎn)坐標(biāo)代入中求出的值即可得到反比例函數(shù)的解析式；
設(shè)，根據(jù)三角形面積公式得到，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求直線的解析式；
先確定，根據(jù)直線解析式的特征可得直線與軸的夾角為，而軸，于是得到，根據(jù)正方形的判定方法，只有為等腰直角三角形時，以它的一邊為對稱軸進(jìn)行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，分類討論：若，則點(diǎn)在的垂直平分線上，易得此時；若，利用軸，易得此時．
 17.【答案】解：


． 【解析】首先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開方和特殊角的三角函數(shù)值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．
此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．
 18.【答案】解：
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式組的解集為．
不等式組的最大整數(shù)解為， 【解析】先解不等式，去括號，移項，系數(shù)化為，再解不等式，取分母，移項，然后找出不等式組的解集．
此題是一元一次不等式組的整數(shù)解題，主要考查了不等式得解法和不等式組的解集的確定及整數(shù)解的確定，解本題的關(guān)鍵是不等式的解法運(yùn)用．
 19.【答案】證明：?的對角線，交于點(diǎn)，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，再利用求出≌，即可得出答案．
此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】     【解析】解：由樣本可知，符合的有，，，，，共有個，
，
符合的有，，共個，
，
故答案為：，；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如圖：

，
“分”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是，
故答案為：；
人
該校九年級學(xué)生實心球體考分?jǐn)?shù)不低于分的有人．
結(jié)合數(shù)據(jù)統(tǒng)計即可；
根據(jù)中的結(jié)果，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；
“分”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)等于乘以它所對應(yīng)的百分比；
用乘以不低于分所占的百分比即可．
本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體等．理解統(tǒng)計圖表中的數(shù)量關(guān)系是正確計算的前提．
 21.【答案】 【解析】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，
根據(jù)題意得：，，
在中，，
即點(diǎn)與點(diǎn)的鉛垂距離為；
故答案為：；

過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則，，

根據(jù)題意得：，
，
在中，，
，
解得：，
．
即點(diǎn)離地面的距離為．
連接，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解；
過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，則，，根據(jù)題意得：，可得，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得的值，即可求解．
本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：如圖所示，連接，，
，
，
，
，
，
為的切線，
，
．
解：，
設(shè)，則，
，
設(shè)的半徑為，則，，，
由可知，，
∽，
，
，
，
的半徑為，
，，
∽，
，
． 【解析】如圖所示，連接，可證，根據(jù)為的切線，，即可求證；
根據(jù)中，設(shè)的半徑為，可證∽，可算出的半徑，再根據(jù)三角形相似即可求解．
本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握圓的切線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)普通辣條進(jìn)價為元，則衛(wèi)龍辣條的進(jìn)價為元，
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是方程的解，
普通辣條的進(jìn)價為元，衛(wèi)龍辣條的進(jìn)價為元；

設(shè)購買衛(wèi)龍辣條包，則普通辣條：包，
普通辣條的數(shù)量不少于衛(wèi)龍辣條數(shù)量的倍，
，解得：，
設(shè)購進(jìn)的辣條全部出售后獲得的總利潤為元，
，

，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時，最大，
答：購進(jìn)衛(wèi)龍辣條包，普通辣條包時，每個月的總獲利最大． 【解析】設(shè)普通辣條進(jìn)價為元，則衛(wèi)龍辣條的進(jìn)價為元，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；
設(shè)購買衛(wèi)龍辣條包，則普通辣條：包，根據(jù)題意列出不等式，求得的范圍，進(jìn)而根據(jù)題意列出一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程、不等式、一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】 【解析】解：如圖，中：可知和；和是成自位似軸對稱．

故答案為：
解：由題可知，≌，為對稱軸所在直線，


是公共角，，
，
∽，
．
，，，
，
，
．
，
．
將、、代入得
，
解得．
證明：如圖，

延長，交于，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
．
利用自位似軸對稱概念，確定兩個三角形成立的兩個條件，共頂點(diǎn)其中一個三角形做軸對稱前后三角形位似．
如圖，根據(jù)軸對稱性質(zhì)得出≌，再證得∽，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，算出結(jié)果．
延長，交于，得出∽，利用三角形的外角定理得出∽，兩次相似得出對應(yīng)線段成比例，再根據(jù)三角形中位線定理得出答案．
本題屬于相似形綜合題，考查了位似、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形等知識，其中對軸對稱的性質(zhì)的理解是解題的關(guān)鍵，相似三角形對應(yīng)邊成比例是易錯點(diǎn)．
 25.【答案】 【解析】解：把，代入得：
，
解得，
二次函數(shù)的表達(dá)式為；
如圖：

由，得直線解析式為，
，
拋物線對稱軸為直線，
設(shè)，則，，
，，
，
，
解得或或或；
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或；
過作交軸于，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，如圖：
，，關(guān)于軸對稱，
，
在中，令得或，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
的最小值為．
故答案為：．
用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為；
由，得直線解析式為，由，得拋物線對稱軸為直線，設(shè)，可得，，故，即可解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或；
過作交軸于，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，，，由，，關(guān)于軸對稱，得，在中，可得，，由，，即可求得，，而，有，因，故D，又，根據(jù)，，可求得，即得，從而可求得的最小值為．
本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及解絕對值方程，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．
 

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