(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)設Q為雙曲線C右支第一象限上的一個動點，F為雙曲線C的右焦點，在x軸的負半軸上是否存在定點M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
假設存在點M(t,0)(t0)的焦點為F，點M(2，m)在拋物線C上，且|MF|＝2.(1)求實數m的值及拋物線C的標準方程；
由題意得，因為點M(2，m)在拋物線上，所以22＝2pm，
所以拋物線C的標準方程為x2＝4y.
(2)不過點M的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若直線MA，MB的斜率之積為－2，試判斷直線l能否與圓(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此時直線l的方程；若不能，請說明理由.
由(1)得M(2,1)，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；設直線AB方程為y＝kx＋b，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直線AB的方程為y＝kx＋2k＋9，即直線AB恒過拋物線內部的定點N(－2,9)，又圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好經過點N(－2,9)，當且僅當直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切，
(1)求拋物線C1和橢圓C2的方程；
所以拋物線C1的方程為y2＝8x，
(2)過A點作直線l交C1于C，D兩點，射線OC，OD分別交C2于E，F兩點，記△OEF和△OCD的面積分別為S1和S2，問是否存在直線l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
由題設知直線l的斜率不為0，設直線l的方程為x＝my＋4.
得y2－8my－32＝0.設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
要使S1∶S2＝3∶13，
解得m＝±1，所以存在直線l：x±y－4＝0符合條件.
圓與圓錐曲線綜合問題中，圓大多數是以工具的形式出現，解決此類問題的關鍵是掌握圓的一些常用性質.如：圓的半徑r，弦長的一半h，弦心距d滿足r2＝h2＋d2；圓的弦的垂直平分線過圓心；若AB是圓的直徑，則圓上任一點P有 ＝0.
跟蹤訓練2　如圖，過拋物線E：y2＝2px(p>0)焦點F的直線l交拋物線于點A，B，|AB|的最小值為4，直線x＝－4分別交直線AO，BO于點C，D(O為原點).
(1)求拋物線E的方程；
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，
顯然當直線AB的斜率不存在時，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴拋物線E：y2＝4x.
(2)圓M過點C，D，交x軸于點G(t,0)，H(m,0)，證明：若t為定值時，m也為定值.并求t＝－8時，△ABH面積S的最小值.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，
∴y1y2＝－2p＝－4，
∴4t＋4m＋80＝－tm，
當且僅當y1＝±2時取到最小值.故△ABH的面積的最小值為22.
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點，且點F恰為△EAB的垂心？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由.
假設滿足條件的直線l存在，
因為點F為△EAB的垂心，所以AB⊥EF，
記A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)判斷|AA′|·|BB′|是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.
當直線AB的斜率不為0時，設直線AB的方程為x＝ky＋m，
消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
3.(2023·唐山模擬)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F且傾斜角為 的直線交拋物線于M，N兩點，|MN|＝8.(1)求拋物線E的方程；
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，則p＝2，即拋物線E的方程為y2＝4x.
(2)在拋物線E上任取與原點不重合的點A，過A作拋物線E的切線交x軸于點B，點A在直線x＝－1上的射影為點C，試判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由.
設A(x0，y0)，則過A作拋物線E的切線為y－y0＝k(x－x0)，
令y＝0得x＝－x0，即B(－x0，0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四邊形ACBF有一組對邊平行且相等，且鄰邊也相等，所以四邊形ACBF為菱形.
4.如圖，拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上的一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點，準線l與y軸交于點S.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為 ，求p的值及圓F的方程；
由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，設A(xA，yA)，
解得p＝2(負值舍去).F(0,1)，所以圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.
(2)若直線y＝kx＋b與拋物線C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，若點S關于直線PQ的對稱點為T，求|FT|的取值范圍.
由題意得，直線PQ的斜率一定存在，
聯(lián)立y＝kx＋b與x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，
則y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，則x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2＝－2pb＋b2＝0，解得b＝0(此時O與P或Q重合，舍去)或b＝2p，

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