微專題69　帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1．帶電粒子進(jìn)入圓形邊界磁場(chǎng)，一般需要將磁場(chǎng)圓圓心與兩圓交點(diǎn)(入射點(diǎn)與出射點(diǎn))連線、軌跡圓圓心與兩交點(diǎn)連線.2.帶電粒子進(jìn)入圓形邊界磁場(chǎng)，軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等時(shí)會(huì)有磁聚焦現(xiàn)象.3.沿磁場(chǎng)圓半徑方向入射的粒子，將沿半徑方向出射． 1.如圖所示，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，Oa、Ob、Oc、Od是以不同速率對(duì)準(zhǔn)圓心入射的正電子或負(fù)電子的運(yùn)動(dòng)徑跡，a、b、d三個(gè)出射點(diǎn)和圓心的連線分別與豎直方向成90°、60°、45°的夾角，則下列判斷正確的是(　　)A．沿徑跡Oc運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短B．沿徑跡Oc、Od運(yùn)動(dòng)的粒子均為正電子C．沿徑跡Oa、Ob運(yùn)動(dòng)的粒子速率之比為D．沿徑跡Ob、Od運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為9∶8答案　C解析　由于正電子和負(fù)電子的電荷量q和質(zhì)量m均相等，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有qvB＝m，T＝，解得T＝，可知四種粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相等，而沿徑跡Oc運(yùn)動(dòng)的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，圓心角也最大，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，由t＝T，可知沿徑跡Oc運(yùn)動(dòng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由左手定則可判斷沿徑跡Oc、Od運(yùn)動(dòng)的粒子均帶負(fù)電，B項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)圓形磁場(chǎng)半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得沿徑跡Oa、Ob運(yùn)動(dòng)的粒子軌道半徑分別為ra＝r，rb＝r，根據(jù)qBv＝m，可得＝＝，C項(xiàng)正確；由上述分析可知，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比等于偏轉(zhuǎn)角之比，所以＝＝＝，D項(xiàng)錯(cuò)誤．2.如圖所示，ACD為一半圓形區(qū)域，其中O為圓心，AD為直徑，∠AOC＝90°，半圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直該平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一帶電粒子(不計(jì)重力)從圓弧的P點(diǎn)以速度v沿平行于直徑AD方向射入磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間從C點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度方向偏轉(zhuǎn)了60°，設(shè)P點(diǎn)到AD的距離為d.下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．該粒子帶正電B．該粒子的比荷為C．該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為D．直徑AD長(zhǎng)度為4d答案　D解析　帶電粒子在半圓形磁場(chǎng)中向上偏轉(zhuǎn)，由左手定則可判斷，粒子帶負(fù)電，A錯(cuò)誤；過(guò)P點(diǎn)和C點(diǎn)做速度的垂線，交點(diǎn)即為軌跡圓圓心．如圖，由幾何關(guān)系可知，OCO′P為菱形∠COP＝∠CO′P＝60°， ＝2d＝＝r洛倫茲力提供向心力qvB＝mr＝＝，B錯(cuò)誤；粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝＝×＝＝×＝，C錯(cuò)誤；直徑AD的長(zhǎng)度等于磁場(chǎng)區(qū)域半徑的2倍，即4d，D正確．3.如圖所示，正方形PNMQ的邊長(zhǎng)為L，圓心在M，半徑也為L的圓形區(qū)域MQN內(nèi)有垂直于平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，G是QM邊的中點(diǎn)．一群質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，以相同的速度v＝沿既垂直于QM也垂直于磁場(chǎng)的方向從QM邊射入磁場(chǎng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．沒(méi)有粒子到達(dá)P點(diǎn)B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為C．從G、M之間射入的粒子皆可到達(dá)PN邊D．所有粒子將從磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)答案　B解析　根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝m解得R＝＝＝L，若粒子在磁場(chǎng)中恰好經(jīng)過(guò)弧QN的中點(diǎn)K，如圖：則根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子的出射速度與水平方向成45°角，之后勻速直線運(yùn)動(dòng)正好到達(dá)P點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；經(jīng)分析知從M點(diǎn)入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖：由幾何關(guān)系可知粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝×＝，選項(xiàng)B正確；畫出粒子從G點(diǎn)射入的軌跡如圖：由圖知粒子從磁場(chǎng)中射出的點(diǎn)在K的下方，粒子不會(huì)打在PN邊上，所以從G、M之間射入的粒子不能全部到達(dá)PN邊，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由以上分析可知粒子將從磁場(chǎng)邊界上不同的點(diǎn)射出磁場(chǎng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．4.如圖所示，比荷為k的帶電粒子(不計(jì)重力)，從坐標(biāo)原點(diǎn)O1以速度v0沿x軸正方向射入垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中；在坐標(biāo)平面內(nèi)，半徑為R的圓形邊界(圓心在O2點(diǎn))正好與y軸相切在O1，粒子從圓形邊界的c點(diǎn)射出，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為Rk2B．c點(diǎn)的坐標(biāo)為(R，R)C．粒子從O1到c的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為D．若該粒子從圓形邊界上的a點(diǎn)或b點(diǎn)，以平行于x軸的速度v0射入磁場(chǎng)，則粒子必不從c點(diǎn)射出圓形邊界答案　B解析　設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，由Bqv0＝m，得r＝，代入B＝，＝k，聯(lián)立可得r＝R，A錯(cuò)誤；圓形邊界的半徑與軌跡圓的半徑相等，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，軌跡圓的圓心O3在y軸上，如圖所示，O1O2cO3是邊長(zhǎng)為R的正方形，則c點(diǎn)的坐標(biāo)為(R，R)，B正確；粒子從O1到c運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝＝，C錯(cuò)誤；圓形邊界的半徑與軌跡圓的半徑相同，滿足磁聚焦原理，一組平行粒子垂直射入半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，若軌跡半徑也為R，則粒子將匯聚于同一點(diǎn)，即入射速度相同的粒子從圓形磁場(chǎng)邊界上的O1、a、b點(diǎn)射入，必然從同一點(diǎn)c射出，D錯(cuò)誤．5．(多選)如圖所示為一圓形區(qū)域，O為圓心，半徑為R，P為邊界上的一點(diǎn)，區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.電荷量為q、質(zhì)量為m的相同帶電粒子a、b(不計(jì)重力)從P點(diǎn)先后以大小相等的速率v＝射入磁場(chǎng)，粒子a正對(duì)圓心射入，粒子b射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與粒子a射入時(shí)的速度方向成θ角，已知粒子a與粒子b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為3∶4，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r ＝RB．θ＝60°C．θ＝30°D．a、b粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向也成θ角答案　AC解析　粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r ＝，代入v＝，得r ＝ R，故A正確；因a正對(duì)圓心射入，又r ＝ R，故a粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T，運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期相等，即T ＝，故b粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T，即運(yùn)動(dòng)圓弧的圓心角為120°，運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心與O、P三點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，故θ＝30°，故B錯(cuò)誤，C正確；a、b粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向平行，是“磁發(fā)散”模型，故D錯(cuò)誤．6.如圖所示，在xOy平面內(nèi)，有一線性粒子源沿＋x方向發(fā)射速率均為v的帶正電粒子，形成寬為2R關(guān)于x軸對(duì)稱的粒子流．粒子流射入一個(gè)半徑為R、中心位于原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直xOy平面向外，粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均從P點(diǎn)射入下方的圓形勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)方向平行于xOy平面，圓心O′坐標(biāo)為(0，－2R)，半徑為R，PQ、AC為圓的兩直徑，夾角為60°.已知從C點(diǎn)射出的粒子速率仍為v，沿PC方向射入的粒子恰好從Q點(diǎn)射出．不計(jì)粒子重力及它們間的相互作用．求：(1)粒子的比荷；(2)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；(3)粒子射出電場(chǎng)的最大速率．答案　(1)　(2)，垂直PC向下(3)v解析　(1)分析沿O點(diǎn)入射的粒子知r＝R由qvB＝解得＝(2)由題意知UPC＝0，即電場(chǎng)方向垂直PC向下，垂直電場(chǎng)方向射入的粒子滿足2Rsin 60°＝vt2Rcos 60°＝at2又qE＝ma聯(lián)立解得E＝(3)粒子從圖中D點(diǎn)射出時(shí)速率最大qER(1＋cos 60°)＝mvm2－mv2解得vm＝v.7.如圖，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，直線y＝l－kx(k>0)的上方有垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在P(0，l)點(diǎn)有一粒子源，能以不同速率沿與y軸正方向成60°角發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的相同粒子．這些粒子經(jīng)磁場(chǎng)后都沿－y方向通過(guò)x軸，且速度最大的粒子通過(guò)x軸上的M點(diǎn)，速度最小的粒子通過(guò)x軸上的N點(diǎn)．已知速度最大的粒子通過(guò)x軸前一直在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，NM＝l，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，求：(1)粒子最大速度的值與k的值；(2)粒子從P點(diǎn)到穿過(guò)x軸經(jīng)歷的最長(zhǎng)時(shí)間；(3)有界磁場(chǎng)的最小面積．答案　(1)　　(2)(3)l2解析　(1)設(shè)粒子的最大速度為v1，由于速度最大的粒子穿過(guò)x軸前一直在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，過(guò)P點(diǎn)作速度的垂線交x軸于O1點(diǎn)，O1就是速度為v1的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，PO1即為半徑R1，由幾何關(guān)系可知R1sin 60°＝yP解得R1＝l由洛倫茲力提供向心力，則qv1B＝m解得v1＝由于所有粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)方向均沿y軸負(fù)方向，所以粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度均相同．即從磁場(chǎng)射出的粒子，射出點(diǎn)一定在PM連線上，PM連線即為直線y＝l－kx，k＝＝解得k＝(2)所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均相等，速度小的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后再做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度最小的粒子在磁場(chǎng)外運(yùn)動(dòng)的位移最大，時(shí)間最長(zhǎng)．設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，T＝，t1＝T設(shè)速度最小的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R2，速度為v2，根據(jù)幾何關(guān)系有＝，R2sin 30°＋R2＝ON＝OM－MN＝l解得CN＝l，R2＝l由洛倫茲力提供向心力，則qv2B＝m解得v2＝設(shè)最小速度的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，有t2＝速度最小的粒子從離開(kāi)P點(diǎn)到打在x軸上經(jīng)歷的時(shí)間t＝t1＋t2＝(3)磁場(chǎng)的最小面積為圖中PCM陰影部分面積S＝(πR12－R12sin 60°)－(πR22－R22sin 60°)解得S＝l2.8.如圖所示，真空中有兩個(gè)以O為圓心的同心圓，內(nèi)圓半徑為R，外圓半徑未知．內(nèi)圓有一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；內(nèi)圓與外圓之間的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，大小也為B.在內(nèi)圓邊界上有一粒子源S，所發(fā)出的粒子質(zhì)量為m，電荷量為＋q，速度大小為v0.內(nèi)圓邊界上無(wú)磁場(chǎng)，外圓邊界上存在磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力，求：(1)若粒子源在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射粒子，為了讓粒子約束在外圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則外圓半徑至少為多大？(2)若發(fā)出的粒子初速度方向沿半徑背離圓心．粒子運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間再次經(jīng)過(guò)S，則v0應(yīng)該滿足什么條件(寫出v0與m、q、B、R之間的關(guān)系)?(3)在滿足(2)問(wèn)的條件下，粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)S處的時(shí)間是多少？答案　(1)R＋　(2)v0＝tan(n≥3，且取整數(shù))　(3)見(jiàn)解析解析　(1)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力qv0B＝m解得r＝當(dāng)粒子軌道半徑與外圓內(nèi)切時(shí)外圓半徑最小，如圖由圖中幾何關(guān)系得，外圓半徑R1＝R＋2r故外圓半徑至少為R1＝R＋(2)經(jīng)分析得，帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡將小圓均分成n段圓弧(n≥3，且取整數(shù))，如圖由圖中幾何關(guān)系得θ＝＝且tan θ＝故tan＝(n≥3，且取整數(shù))則v0應(yīng)滿足：v0＝tan(n≥3，且取整數(shù))(3)粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝＝粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)小圓，在小圓外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝T＝粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)小圓，在小圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝T＝當(dāng)(2)中n為奇數(shù)時(shí)，粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)S處的時(shí)間t＝(t1＋t2)＋t1＝(n≥3，且取奇數(shù))當(dāng)(2)中n為偶數(shù)時(shí)，粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)S處的時(shí)間t＝(t1＋t2)＝(n≥3，且取偶數(shù))．

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