考點規(guī)范練28　數(shù)列求和1.在數(shù)列{an}中,如果a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值為(　　)A.2 500 B.2 600 C.2 700 D.2 800答案  B解析  當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2-an=0,所以an=1;當(dāng)n為偶數(shù)時,an+2-an=2,所以an=n,故an=于是S100=50+=2 600.2.(多選)已知數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,設(shè)cn=,Tn為數(shù)列{cn}的前n項和,則當(dāng)Tn<2 021時,n的取值可能是(　　)A.8 B.9 C.10 D.11答案  AB解析  由題意,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2n-1,則cn==2·2n-1-1=2n-1,則數(shù)列{cn}為遞增數(shù)列,其前n項和Tn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.當(dāng)n=9時,Tn=1 013<2 021;當(dāng)n=10時,Tn=2 036>2 021.故n的取值可能是8,9.3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,則數(shù)列的前100項和為(　　)A. B. C. D.答案  D解析  ∵an+1=a1+an+n,a1=1,∴an+1-an=1+n.∴an-an-1=n(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=(n≥2),又a1=1,滿足此式,∴=2.∴數(shù)列的前100項和為2×(1-+…+)=2×.4.已知函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(4,2),令an=,n∈N*.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2 020等于(　　)A.-1 B.+1C.-1 D.+1答案  C解析  由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,則f(x)=.即an=,則S2 020=a1+a2+a3+…+a2 020=()+()+()+…+()=-1.5.已知數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前60項和為(　　)A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830答案  D解析  ∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴當(dāng)n=2k(k∈N*)時,a2k+1+a2k=4k-1;①當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,a2k-a2k-1=4k-3;②當(dāng)n=2k+1(k∈N*)時,a2k+2-a2k+1=4k+1.③由①-②得a2k+1+a2k-1=2,∴(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)=2×15=30.由①+③得a2k+a2k+2=8k,∴(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)=15×8+×16=1 800.∴a1+a2+…+a60=30+1 800=1 830.6.已知等差數(shù)列{an}中,a5=.若函數(shù)f(x)=sin 2x+1,設(shè)yn=f(an),則數(shù)列{yn}的前9項和為　　　　　. 答案  9解析  由題意,得yn=sin(2an)+1,故數(shù)列{yn}的前9項和為sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9+9.由a5=,得sin 2a5=0.∵a1+a9=2a5=π,∴2a1+2a9=4a5=2π,∴2a1=2π-2a9,∴sin 2a1=sin=-sin 2a9.由倒序相加可得(sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9+sin 2a1+sin 2a2+sin 2a3+…+sin 2a8+sin 2a9)=0,∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn+3=3an.設(shè)bn=(n+1)log an,并記Tn=+…+,則an=　　　　　,T2 020=　　　　　. 答案  3n　解析  當(dāng)n=1時,可得2S1+3=2a1+3=3a1,解得a1=3;當(dāng)n≥2時,2Sn-1+3=3an-1,則2Sn+3-(2Sn-1+3)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,即an=3an-1,則數(shù)列{an}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,故數(shù)列{an}的通項公式為an=3n.則bn=(n+1)log 3n=(n+1)log )2n=2n(n+1)·log =2n(n+1),即,可得Tn=+…+=,故T2 020=.8.(2021江蘇無錫第一次質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的首項為2,前n項和為Sn,數(shù)列{bn}是首項為1,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且滿足a3=2b2,S5=b2+b4.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求數(shù)列{cn}的前26項和.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,則∴q3-9q=0,∵等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),∴q=3,從而d=2.∴an=2+2(n-1)=2n,bn=1·3n-1=3n-1.(2)由(1)得Sn=n(2+2n)=n(n+1),則cn=(-1)nlog3[n(n+1)]+log33n-1=[(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)]+n-1.∴{cn}的前26項和為T26=(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2)+…+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)=-log31+log327+=3+325=328.9.(2021河北秦皇島高三質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+1,a1=,bn=an-1.(1)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列　　　　　的前n項和Tn. 從條件①,②{n+bn},③中任選一個,補充到上面的問題中,并給出解答.解(1)因為2an+1=an+1,所以2an+1-2=an-1.由bn=an-1,得2bn+1=bn.又因為b1=a1-1=,所以數(shù)列{bn}是以為首項,為公比的等比數(shù)列,即bn=.(2)若選①,=(n+1)·2n+1.則Tn=2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1,2Tn=2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2,兩式作差,得Tn=2Tn-Tn=-2×22-23-24-…-2n+1+(n+1)×2n+2=(n+1)×2n+2--2×22=(n+1)×2n+2+8-2n+2-8=n·2n+2,故Tn=n·2n+2.若選②,n+bn=n+,則Tn=+…+=(1+2+3+…+n)+n(n+1)+,故Tn=.若選③,=4,則Tn=4[()+()+…+()+()]=4,故Tn=.

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