2023年廣東省汕頭市潮南區(qū)中考數(shù)學模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  汕頭海灣隧道是中國首條兼顧城市道路和一級公路功能的水下盾構(gòu)隧道，全長米，總投資億元，數(shù)據(jù)億元用科學記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 2.  一只螞蟻從數(shù)軸上點出發(fā)爬了個單位到了相反數(shù)點所在的位置，則點所表示的是(    )A. 或 B.  C.  D. 或3.  如圖所示，從上面看該幾何體的形狀圖為(    )A.
B.
C.
D. 4.  如果線段和線段分別是邊上的中線和高，那么下列判斷正確的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  式子有意義，則的值可能是(    )A.  B.  C.  D. 6.  某工程甲單獨完成要天，乙單獨完成要天若乙先單獨干天，剩下的由甲單獨完成，設(shè)甲、乙一共用天完成，則可列方程為(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知和點兩點，則直線與坐標軸圍成的三角形的面積等于，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如圖，直線交軸于點，交反比例函數(shù)的圖象于、兩點，過點作軸，垂足為點，若，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如圖，在中，為斜邊的中點，為上一點，為中點．若，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返回，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離單位：與慢車行駛時間單位：的函數(shù)關(guān)系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時間是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關(guān)于的方程          有兩個不相等的實數(shù)根．12.  在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： ______ ．13.  如圖，已知，，在軸上找一點，使得的值最大，則此時點的坐標為______．
14.  如圖，在?中，對角線，交于點，，于點，若，，則的長為______ ．15.  如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，點，的對應(yīng)點分別為，，連接，則圖中陰影部分的面積是______．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計算：17.  本小題分
解不等式組，并求其最大整數(shù)解．18.  本小題分
如圖，已知，．
尺規(guī)作圖：過點作一條直線交于，使其將分成兩個相似三角形保留作圖痕跡，不寫作法；
若，，求的長．
19.  本小題分
某中學為了預測本校應(yīng)屆畢業(yè)女生“一分鐘跳繩”項目考試情況，從九年級隨機抽取部分女生進行該項目測試，并以測試數(shù)據(jù)為樣本，繪制出如圖所示的部分頻數(shù)分布直方圖從左到右依次分為六個小組，每小組含最小值，不含最大值和扇形統(tǒng)計圖．

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解答下列問題：
補全頻數(shù)分布直方圖，并指出這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第______ 小組；
若測試九年級女生“一分鐘跳繩”次數(shù)不低于次的成績?yōu)閮?yōu)秀，本校九年級女生共有人，請估計該校九年級女生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；
若“一分鐘跳繩”次數(shù)不低于次的成績?yōu)闈M分，在這個樣本中，小潔、小慧都是滿分，從成績?yōu)闈M分的女生中任選二人做示范，用樹狀圖或列表法求小潔和小慧都被選中概率．20.  本小題分
為維護我國海洋權(quán)力海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實行了常態(tài)化巡航管理如圖，海警船在島的正西方向，當島主發(fā)現(xiàn)有海盜船時，測得海盜船在島的西北方向上的處，已知海警測得海盜船在海警船北偏東的位置上，海警船若以海里時的速度航行到海盜船處需要小時．
問此時海盜船離島的距離是多少海里？
若海盜船以海里時的速度向島出發(fā)，海警船在接到島主報警后以海里時的速度向島出發(fā)，問海警船能否趕在海盜船之前到達島進行攔截？
21.  本小題分
在矩形中，，，將矩形折疊，使點落在點處，折痕為．

如圖，若點恰好在邊上，連接，求的值；
如圖，若是的中點，的延長線交于點，求的長．22.  本小題分
如圖，以為直徑的外接于，過點的切線與的延長線交于點，的平分線分別交，于點，，其中，的長是一元二次方程的兩個實數(shù)根．
求證：；
若線段上存在一點，使得四邊形是菱形，請求出菱形面積．
23.  本小題分
已知二次函數(shù)，其中．
當該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖象的頂點的坐標；
求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；
如圖，在的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖象與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：億．
故選：．
科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值時，是負整數(shù)
此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 2.【答案】 【解析】解：由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對應(yīng)點的距離為，
兩點到原點距離，
這兩個數(shù)分別為，．
故選：．
由題意可知，兩數(shù)互為相反數(shù)，且兩數(shù)對應(yīng)點的距離為，可分析出兩點到原點距離為，即可求解．
本題考查了數(shù)軸上兩點間距離，相反數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是分析出互為相反數(shù)的兩數(shù)對應(yīng)點距離為．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示，
從上面看到的是矩形，且有看不見的輪廓線，
因此選項C中的圖形符合題意；
故選：．
根據(jù)能看見的輪廓線用實線表示，看不見的輪廓線用虛線表示，進而得出答案．
本題考查從上面看幾何體的形狀圖，理解看不見的輪廓線用虛線表示是正確判斷的前提．
 4.【答案】 【解析】解：線段是邊上的高，
，
由垂線段最短可知，，
故選：．
根據(jù)三角形的高的概念得到，根據(jù)垂線段最短判斷．
本題考查的是三角形的角平分線、中線和高的概念，掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：有意義，
，
且，
，且，，，
式子有意義，則的值可能是．
故選：．
根據(jù)式子有意義，可得，據(jù)此求出的取值范圍，判斷出可能的取值即可．
此題主要考查了二次根式、分式有意義的條件，解答此題的關(guān)鍵是要明確：二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)；分式有意義的條件是分母不等于零．
 6.【答案】 【解析】解：設(shè)甲、乙一共用天完成，則剩下的甲單獨干天，
由題意可得：．
故選：．
設(shè)甲、乙一共用天完成，則剩下的甲單獨干天，然后根據(jù)題意，列出方程即可．
本題考查一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：假設(shè)直角坐標系的原點為，則直線與坐標軸圍成的三角形是以、為直角邊的直角三角形，
和點，
，，
，
，
．
故選：．
根據(jù)三角形的面積公式和已知條件列等量關(guān)系式求解即可．
本題主要考查了三角形的面積和直角坐標系的相關(guān)知識，需注意坐標軸上到一個點的距離為定值的點有個．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)點的坐標為，
，且，
，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
故選：．
設(shè)點的坐標為，然后根據(jù)三角形面積公式列方程求解．
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，準確識圖，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：為斜邊的中點，為中點，，
，
，
，
在中，為斜邊的中點，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線可以求得的長，再根據(jù)，可以得到的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得的長．
本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出的長．
 10.【答案】 【解析】解：根據(jù)圖象可知，慢車的速度為．
對于快車，由于往返速度大小不變，總共行駛時間是，
因此單程所花時間為，故其速度為．
所以對于慢車，與的函數(shù)表達式為．
對于快車，與的函數(shù)表達式為
聯(lián)立，可解得交點橫坐標為，
聯(lián)立，可解得交點橫坐標為，
因此，兩車先后兩次相遇的間隔時間是，
故選：．
根據(jù)圖象得出，慢車的速度為，快車的速度為從而得出快車和慢車對應(yīng)的與的函數(shù)關(guān)系式．聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式，求解出圖象對應(yīng)兩個交點的坐標，即可得出間隔時間．
本題主要考查根據(jù)函數(shù)圖象求一次函數(shù)表達式，以及求兩個一次函數(shù)的交點坐標．解題的關(guān)鍵是利用圖象信息得出快車和慢車的速度，進而寫出與的關(guān)系．
 11.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的不等式，解之即可求出的取值范圍．
【解答】
解：，．
，
．
故答案為：答案不唯一．  12.【答案】 【解析】解：


故答案為：
首先提取公因式，進而利用平方差公式分解因式得出即可．
此題主要考查了實屬范圍內(nèi)分解因式，熟練利用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：如圖所示，連接交軸于點，此時值最大，即點為所求的點．
設(shè)直線的解析式為，代入點，，
得，解得：．
故直線解析式為．
令中，則得，故點坐標為．
故答案為：．
連接交軸于點，此時值最大，求出直線的解析式，令，即可找到點坐標．
本題考查了線段差最大值的求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確找到點位置是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：，，，
，
在?中，，，
，
在中，
，
又，
，即，
解得．
故答案為：．
在和中，分別利用勾股定理可求出和的長，又，可利用等面積法求出的長．
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等面積思想等，熟知等面積法是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：連接，，
將半徑為，圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，
，
是等邊三角形，
，，
當中上，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
圖中陰影部分的面積，
故答案為．
連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，推出是等邊三角形，得到，推出是等邊三角形，得到，得到，根據(jù)圖形的面積公式即可得到答案．
本題考查了扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】利用負整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的意義化簡運算即可．
本題主要考查了實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)化簡運算是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：
由得：，
由得：，
則不等式組的解集為：，
則不等式組的最大整數(shù)解為． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，然后確定不等式組的解集，在解集內(nèi)找到最大整數(shù)即可．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖，為所作．

由作圖知，，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 【解析】過點作于，利用相似三角形的判定方法可得到與相似；
根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了作圖相似變換、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算；熟練掌握勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 19.【答案】三 【解析】解：總?cè)藬?shù)是：人，
第四組的人數(shù)是：，

中位數(shù)位于第三組，
故答案為：三；
該校九年級女生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是：人；
將成績滿分的人分別記作、、、，列表如下：      由表知，共有種等可能結(jié)果，其中小潔和小慧都被選中的有種結(jié)果，
所以小潔和小慧都被選中的概率為．
首先求得總?cè)藬?shù)，然后求得第四組的人數(shù)，即可作出統(tǒng)計圖；
利用總?cè)藬?shù)乘以所占的比例即可求解；
列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．
本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
 20.【答案】解：由題意得，海里，，
過作于，
，
海里，
，
海里，
答：此時海盜船離島的距離約是海里；
由知海里，，，
海里，海里，
海里，
海警船在接到島主報警后到達島需要小時，海盜船到達島需要小時，
，
海警船能趕在海盜船之前到達島進行攔截． 【解析】過作于，解直角三角形即可得到結(jié)論；
由知海里，，，求得海里，海里，得到海里，求出海警船在接到島主報警后到達島需要小時，海盜船到達島需要小時，進行比較，即可得到結(jié)論．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解．
 21.【答案】解：如圖中，取的中點，連接．

四邊形是矩形，
，
由翻折可知，，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
．

如圖中，過點作交于，交于則四邊形是矩形，設(shè)，則

，，
，，
，
∽，
，
，，
在中，，
，
解得負值已經(jīng)舍棄，
，
在中，，
，
∽，
，
，
，
． 【解析】如圖中，取的中點，連接證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
如圖中，過點作交于，交于設(shè)，則證明∽，推出，推出，，在中，由，可得，求出，再證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
 22.【答案】證明：平分，
，
與相切，
，
是的直徑，
，
，
∽，
，
；

解：作于點，

由于，的長是的兩個實數(shù)根，
解得：，，
由可知：，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
菱形面積為：． 【解析】利用角平分線得到，推導出，從而得到∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案；
依據(jù)求得，，由可知：，進而得出，，，解得，然后利用平行四邊形的面積即可求出菱形的面積．
本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的判定及其面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合程度較高，考查學生的靈活運用知識的能力．
 23.【答案】解：把代入得：，解得，
，
函數(shù)圖象的頂點的坐標為；
證明：由拋物線頂點坐標公式得的頂點為
，
，
，即，
，
二次函數(shù)的頂點在第三象限；
解：設(shè)平移后圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為，其頂點為，
當時，，
將代入得：，
，
在軸的負半軸，
，
，
過點作于，如圖：

，
，
，
，
當時，此時，取最大值，最大值為，
答：面積的最大值是． 【解析】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，二次函數(shù)圖象上點坐標的特征等，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
把代入可得，即得函數(shù)圖象的頂點的坐標為；
由拋物線頂點坐標公式得的頂點為，根據(jù)，，，可知二次函數(shù)的頂點在第三象限；
設(shè)平移后圖象對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為，其頂點為，將代入得，可得，過點作于，有，由二次函數(shù)性質(zhì)得面積的最大值是．
 

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