2023年上海市七寶重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷一、單選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，直線，則“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”是“”的(    )A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件2.  已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是(    )A. 數(shù)列的最大項(xiàng)為 B. 數(shù)列的最小項(xiàng)為
C. 數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列 D. 數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列3.  某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示則下列正確的命題是(    )
A. 在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱
B. 在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱
C. 在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)
D. 甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)4.  已知定義在上的函數(shù)，對(duì)于給定集合，若，，當(dāng)時(shí)都有，則稱是“封閉”函數(shù)已知給定兩個(gè)命題：
：若是“封閉”函數(shù)，則一定是“封閉”函數(shù)；
：若是“封閉”函數(shù)，則不一定是“封閉”函數(shù)．
則下列判斷正確的為(    )A. 對(duì)，對(duì) B. 不對(duì)，對(duì) C. 對(duì)，不對(duì) D. 不對(duì)，不對(duì)二、填空題（本大題共12小題，共60.0分）5.  已知集合，集合，則          ．6.  在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則______．7.  若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)等于______ ．8.  在中，，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為______ ．9.  已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則______．10.  若，則 ______ ．11.  已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為______．12.  若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為______ ．13.  某新能源汽車銷售公司統(tǒng)計(jì)了某款汽車行駛里程單位：萬(wàn)千米對(duì)應(yīng)維修保養(yǎng)費(fèi)用單位：萬(wàn)元的四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)如表： 行駛里程萬(wàn)千米維修保養(yǎng)費(fèi)用萬(wàn)元若用最小二乘法求得回歸直線方程為，則估計(jì)該款汽車行駛里程為萬(wàn)千米時(shí)的維修保養(yǎng)費(fèi)是______ ．14.  已知單位向量，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則向量的夾角的最小值為______ ．15.  不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，則的值為______ ．16.  對(duì)于一個(gè)有窮正整數(shù)數(shù)列，設(shè)其各項(xiàng)為，，，，各項(xiàng)和為，集合，中元素的個(gè)數(shù)為，對(duì)所有滿足的數(shù)列，則的最大值為______ ．三、解答題（本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知
求；
是線段上的點(diǎn)，若，，求的面積．18.  本小題分
已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)．
證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．
19.  本小題分
隨著五一黃金周的到來(lái)，各大旅游景點(diǎn)熱鬧非凡，為了解、兩個(gè)旅游景點(diǎn)游客的滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組采用隨機(jī)抽樣的方法，獲得關(guān)于旅游景點(diǎn)的問(wèn)卷份，關(guān)于旅游景點(diǎn)的問(wèn)卷份問(wèn)卷中，對(duì)景點(diǎn)的滿意度等級(jí)為：非常滿意、滿意、一般、差評(píng)，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)分別為：分、分、分、分，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：  非常滿意滿意一般差評(píng)景點(diǎn)景點(diǎn)假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且游客對(duì)，兩個(gè)旅游景點(diǎn)的滿意度評(píng)價(jià)相互獨(dú)立．
從所有人數(shù)足夠多在旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取人，從所有人數(shù)足夠多在旅游景點(diǎn)的游客中隨機(jī)抽取人，估計(jì)這人中恰有人給出“非常滿意”的概率；
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你若旅游，你會(huì)選擇、哪個(gè)旅游景點(diǎn)？說(shuō)明理由．20.  本小題分
已知橢圓：過(guò)點(diǎn)記橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．
若橢圓的離心率，求的范圍；
已知，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)異于左右頂點(diǎn)連接，，試判定與是否可能垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；
已知，設(shè)直線的方程為，它與相交于，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為證明：．21.  本小題分
已知關(guān)于的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有，則稱滿足性質(zhì)
若，，，，判斷是否滿足性質(zhì)，并說(shuō)明理由；
若，，且，求的值并說(shuō)明理由；
若，，，，試證：是滿足性質(zhì)的必要條件．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)線面垂直與面面垂直定義可解．
本題考查線面垂直與面面垂直定義，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：根據(jù)題意，因?yàn)?/span>，是兩個(gè)不同的平面，直線，若對(duì)內(nèi)的任意直線，都有，根據(jù)線面垂直的定義可知，
，，
所以，“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”“”即充分性成立，
若，因?yàn)?/span>，對(duì)內(nèi)的任意直線，與的位置關(guān)系不確定，
所以，“對(duì)內(nèi)的任意直線，“””即必要性不成立，
故“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”是“”的充分不必要條件，
故選：．  2.【答案】 【解析】解：對(duì)于，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對(duì)于，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最?。?/span>
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對(duì)于，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對(duì)于，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤．
故選：．
分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知正誤；利用和可知正誤．
本題考查命題真假的判斷，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 3.【答案】 【解析】解：設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，
對(duì)于選項(xiàng)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力，
乙企業(yè)的污水治理能力由圖可知，，
所以，即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，由圖可知，在時(shí)刻的切線斜率小于在時(shí)刻的切線斜率，
但兩切線斜率均為負(fù)值，故在時(shí)刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，
故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達(dá)標(biāo)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，由圖可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，
在時(shí)的污水治理能力最強(qiáng)，故D選項(xiàng)正確，
故選：．
根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)模型建立關(guān)系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力．
本題考查利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問(wèn)題，考查讀圖和識(shí)圖能力，屬于中檔題．
 4.【答案】 【解析】解：對(duì)命題：對(duì)于集合，，使，則，而是“封閉”函數(shù)，
則，即都有，
對(duì)于集合，，使，則，
而，，，，
所以，
即，故，一定是“封閉”函數(shù)，正確；
對(duì)命題，其逆否命題為，若是“封閉”函數(shù)，則不是“封閉”函數(shù)，
只需判斷出其逆否命題的正誤即可，，使，則，
若，則，由解得，因?yàn)?/span>，所以，
即，使，則，
滿足是“封閉”函數(shù)，
所以命題的逆否命題為假命題，則原命題也為假命題，錯(cuò)誤．
故選：．
根據(jù)定義可得都有，都有，再判定所給定區(qū)間里是否有，成立即可判斷作答．
本題考查函數(shù)性質(zhì)及命題真假判斷，遞推關(guān)系及函數(shù)新定義，屬于中檔題．
 5.【答案】 【解析】【分析】本題考查了并集及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
由并集及其運(yùn)算求解即可．【解答】解：已知集合，集合，
則，
故答案為：．  6.【答案】 【解析】解：在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則．
故答案為：．
求出復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模．
本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．
 7.【答案】 【解析】解：不等式，化為，
因此不等式的解集為，
依題意，，于是，解得，，
所以實(shí)數(shù)等于．
故答案為：．
求出絕對(duì)值符號(hào)的不等式解集，再比對(duì)作答．
本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：因?yàn)樵谥苯侨切?/span>中，，，，
所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是底面是以為半徑的圓，高為的圓錐，示意圖如下圖所示：

所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．
故答案為：．
繞直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是底面是以為半徑的圓，高為的圓錐，由此根據(jù)圓錐的體積公式能求出其體積．
本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，得到兩個(gè)概率相等的區(qū)間關(guān)于對(duì)稱，得到關(guān)于的方程，解方程即可．
本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：依題意，，
所以．
故答案為：．
把表示成的二項(xiàng)式形式，再根據(jù)二項(xiàng)式定理求解作答．
本題考查二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】【分析】
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則答案可求．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．
【解答】
解：，，
，
則曲線在處的切線方程為．
故答案為：．  12.【答案】答案不唯一 【解析】解：因?yàn)?/span>

，
其中，，且，
即，即，
所以，則，．
當(dāng)時(shí)，，即的一個(gè)取值為．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)題意，由三角恒等變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后由函數(shù)的最小值為，列出方程，即可得到結(jié)果．
本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，
樣本中心點(diǎn)為，
回歸直線方程為，
，解得，
故回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，，
故估計(jì)該款汽車行駛里程為萬(wàn)千米時(shí)的維修保養(yǎng)費(fèi)是萬(wàn)元．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過(guò)樣本中心，即可求解線性回歸方程，再將代入，即可求解．
本題主要考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)向量的夾角為，，
對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，
恒成立，
即恒成立，
則，解得，
故夾角的取值范圍是，
向量的夾角的最小值為．
故答案為：．
由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，得到恒成立，進(jìn)而得到，求解即可．
本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，不等式恒成立問(wèn)題的求法，屬于中檔題．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)，，，
則，兩式相減得，即，
，即，
是垂直平分線，，
，即，整理得，
故，解得．
故答案為：．
由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用，即可得出答案．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：存在大于的項(xiàng)，否則此時(shí)有；
，否則將拆分成個(gè)后變大；
當(dāng)，，，時(shí)，有，否則交換，順序后變?yōu)?/span>，
進(jìn)一步有，否則有，此時(shí)將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)，此時(shí)變大；
各項(xiàng)只能為或，否則由可得數(shù)列中有存在相鄰的兩項(xiàng)，，
設(shè)此時(shí)中有項(xiàng)為，則將改為，并在數(shù)列末尾添加一項(xiàng)后，
的值至少變?yōu)?/span>；
由上可得數(shù)列為，，，，，，的形式，設(shè)其中有項(xiàng)為，有項(xiàng)為，
則有，從而有，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大為．
故答案為：．
根據(jù)給定條件，分五步證明對(duì)所有滿足的數(shù)列，求出的最大值作答．
本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
 17.【答案】解：由正弦定理可得，
則有，化簡(jiǎn)可得，
可得，
因?yàn)?/span>，
所以．
設(shè)，，由題意可得，，，，
在中，，則，
所以，可得，
又因?yàn)?/span>，可得，，
則，
所以． 【解析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合范圍，可求的值．
設(shè)，，由題意可得，，，，在中，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，可求，，利用二倍角的正弦函數(shù)公式可求，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可求的值．
本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
 18.【答案】證明：在正方體中，，
又平面，且平面，
則平面，而交平面于點(diǎn)，即平面，，
又平面，有平面，因此平面平面，
于是，
又因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，
所以為的中點(diǎn)；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)，
則，
從而，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
即，取，解得，所以，
又因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，解得，
所以． 【解析】由可得平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而證得為的中點(diǎn)；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再利用線面夾角的向量公式求解即可．
本題主要考查了線面平行的判定定理，考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 19.【答案】解：設(shè)“這人中恰有人給出“非常滿意”的評(píng)價(jià)”為事件，
由表中數(shù)據(jù)可知，游客在景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率為，
游客在景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率為，
則；
設(shè)一位游客對(duì)景點(diǎn)的滿意度評(píng)分為，一位游客對(duì)景點(diǎn)的滿意度評(píng)分為，
由數(shù)表中數(shù)據(jù)得的分布為： 的分布為： 則，
，
，
，
顯然，，所以選擇景點(diǎn)． 【解析】求出游客在，景點(diǎn)給出“非常滿意”評(píng)價(jià)的概率，再利用互斥事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式計(jì)算作答；
列出游客對(duì)，景點(diǎn)評(píng)分的分布列，并求出期望和方差，再比較大小作答．
本題主要考查了互斥事件、獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，考查了期望和方差的計(jì)算，屬于中檔題．
 20.【答案】解：在橢圓上，
，可得，


；
垂直，理由如下：
且橢圓過(guò)，
，因此橢圓方程為，
由題意得，假設(shè)，
設(shè)，
則，
由，得 ，
即，
又點(diǎn)在橢圓上，則，
聯(lián)立消去，得，
則 為左頂點(diǎn)不符合題意舍，，
所以與垂直．
證明：設(shè)，，，
由知橢圓方程為，與直線的方程 聯(lián)立消去，
并整理得，
可得，
又點(diǎn) 在直線上，
，
，
，
又直線  的方程為與橢圓方程為聯(lián)立消去，
，整理得，
所以，于是可得，即，
從而， 兩點(diǎn)關(guān)于  軸對(duì)稱，因此． 【解析】先根據(jù)在橢圓上，得到，的關(guān)系，再結(jié)合離心率的范圍可以求得的范圍；
假設(shè)，向量數(shù)量積為，可以求得點(diǎn)坐標(biāo)，可以確定與垂直；
設(shè)點(diǎn)后聯(lián)立直線和橢圓方程，再消參數(shù)得出橫坐標(biāo)關(guān)系，即可得出結(jié)論．
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：滿足，理由如下：
因?yàn)?/span>，，，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取到最小值，故，
又，
綜上，滿足性質(zhì)；
，理由如下：
設(shè)，，則，
由條件知，則是的極小值點(diǎn)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，
即恒成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此；
證明：設(shè)，，
由所證的當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)知：
，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在使得，
即，則，，
又，則，
結(jié)合條件可得，
所以，
設(shè)，，
則，，
又由已知，則是的極小值點(diǎn)，
所以，即，
結(jié)合，，可得，故，
所以是滿足性質(zhì)的必要條件． 【解析】結(jié)合題意，利用配方法與二次函數(shù)的性質(zhì)，分別證明，即可；
先根據(jù)題意得到是的極小值點(diǎn)，從而求得，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
構(gòu)造函數(shù)，求得的隱零點(diǎn)，結(jié)合題意得到，與，從而得證．
本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用、利用轉(zhuǎn)化思想解決恒成立問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于難題．
 

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