?2022年遼寧省大連市中考數(shù)學試卷
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）
1．（3分）﹣2的絕對值是（　?。?br /> A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（3分）下列計算正確的是（　　）
A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
4．（3分）如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分∠EFD，若∠EFD＝70°，則∠EGF的度數(shù)是（　?。?br />
A．35° B．55° C．70° D．110°
5．（3分）六邊形內(nèi)角和的度數(shù)是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（　?。?br /> A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
7．（3分）一家鞋店在一段時間內(nèi)銷售了某種女鞋20雙，各種尺碼鞋的銷售量如表所示．則所銷售的女鞋尺碼的眾數(shù)是（　?。?
尺碼/cm
22.5
23
23.5
24
24.5
銷售量/雙
1
4
6
8
1
A．23.5cm B．23.6cm C．24 cm D．24.5cm
8．（3分）若關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（　　）
A．36 B．9 C．6 D．﹣9
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（　?。?br />
A．6 B．3 C．1.5 D．1
10．（3分）汽車油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km．當0≤x≤300時，y與x的函數(shù)解析式是（　　）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）方程＝1的解是 　 ?。?br /> 12．（3分）不透明袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是 　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（1，2），將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應點C的坐標是 　 ?。?br />
14．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長是，將對角線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠CAD的度數(shù)，點C旋轉(zhuǎn)后的對應點為E，則弧CE的長是 　 ?。ńY(jié)果保留π）．

15．（3分）我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設共有x人，根據(jù)題意，可列方程為 　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A的對應點A'落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，連接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，則AD的長是 　 　cm．

三、解答題（本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分）
17．（9分）計算：÷﹣．
18．（10分）為了解某初級中學落實《中共中央國務院關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》的實施情況，調(diào)查組從該校全體學生中隨機抽取部分學生，調(diào)查他們平均每周勞動時間t（單位：h），并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．
平均每周勞動時間頻數(shù)統(tǒng)計表
平均每周勞動時間t/h
頻數(shù)
頻率
1≤t＜2
3

2≤t＜3
a
0.12
3≤t＜4
37
b
4≤t＜5

0.35
5≤t＜6


合計
c

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若該校有1000名學生，請估計平均每周勞動時間在3≤t＜5范圍內(nèi)的學生人數(shù)．

19．（10分）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF．求證：CE＝CF．

20．（10分）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛．已知購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元．這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？
四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）
21．（9分）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當容器的體積V（單位：m3）變化時，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化．已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，當V＝5m3時，ρ＝1.98kg/m3．
（1）求密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式；
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的變化范圍．

22．（10分）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一．游客可以從山底乘坐索道車到達山頂，索道車運行的速度是1米/秒．小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°，測得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘．
（1）索道車從A處運行到B處的距離約為 　 　米；
（2）請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

23．（10分）AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與DO的延長線相交于點E．
（1）如圖1，求證∠B＝∠E；
（2）如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE＝3，求AD的長．

五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）
24．（11分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點P是邊AC上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q，連接DQ，設AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．
（1）求AC的長；
（2）求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．


25．（11分）綜合與實踐
問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：
如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．
獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．
實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．
“如圖2，延長CA至點E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”
問題解決：（3）數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．
“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”


26．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接AC．
（1）求點B，點C的坐標；
（2）如圖1，點E（m，0）在線段OB上（點E不與點B重合），點F在y軸負半軸上，OE＝OF，連接AF，BF，EF，設△ACF的面積為S1，△BEF的面積為S2，S＝S1+S2，當S取最大值時，求m的值；
（3）如圖2，拋物線的頂點為D，連接CD，BC，點P在第一象限的拋物線上，PD與BC相交于點Q，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．



2022年遼寧省大連市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）
1．（3分）﹣2的絕對值是（　?。?br /> A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根據(jù)絕對值是數(shù)軸上的點到原點的距離，可得答案．
【解答】解：﹣2的絕對值是2．
故選：A．
【點評】本題考查了絕對值，正數(shù)的絕對值等于它本身；負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0的絕對值等于0．
2．（3分）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)各個幾何體的主視圖的形狀進行判斷即可．
【解答】解：A．圓錐的主視圖是等腰三角形，因此選項A不符合題意；
B．三棱柱的主視圖是矩形，因此選項B不符合題意；
C．圓柱的主視圖是矩形，因此選項C不符合題意；
D．球的主視圖是圓，因此選項D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的定義，掌握各種幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的前提．
3．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
【分析】根據(jù)二次根式的加法，算術平方根，立方根，完全平方公式，進行計算逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合題意；
B、＝3，故B不符合題意；
C、2+3＝5，故C符合題意；
D、（+1）2＝3+2，故D不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的加法，算術平方根，立方根，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
4．（3分）如圖，平行線AB，CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分∠EFD，若∠EFD＝70°，則∠EGF的度數(shù)是（　?。?br />
A．35° B．55° C．70° D．110°
【分析】先根據(jù)角平分線的定義求出∠GFD的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝70°，
∴∠GFD＝∠EFD＝×70°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝35°．
故選：A．
【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
5．（3分）六邊形內(nèi)角和的度數(shù)是（　?。?br /> A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得答案．
【解答】解：六邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是（6﹣2）×180°＝720°．
故選：D．
【點評】本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關鍵．
6．（3分）不等式4x＜3x+2的解集是（　?。?br /> A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】根據(jù)不等式的計算方法計算即可．
【解答】解：4x＜3x+2，
移項，得x＜2．
故選：D．
【點評】本題考查了一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法，細心計算即可．
7．（3分）一家鞋店在一段時間內(nèi)銷售了某種女鞋20雙，各種尺碼鞋的銷售量如表所示．則所銷售的女鞋尺碼的眾數(shù)是（　?。?
尺碼/cm
22.5
23
23.5
24
24.5
銷售量/雙
1
4
6
8
1
A．23.5cm B．23.6cm C．24 cm D．24.5cm
【分析】根據(jù)眾數(shù)的意義解答即可．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
【解答】解：∵眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，24cm出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)是24cm．
故選：C．
【點評】本題考查眾數(shù)，熟練掌握眾數(shù)的求法是解題關鍵．
8．（3分）若關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（　?。?br /> A．36 B．9 C．6 D．﹣9
【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝62﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝62﹣4c＝0，
解得c＝9，
故選：B．
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．
9．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°．分別以點A和點C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN．直線MN與AB相交于點D，連接CD，若AB＝3，則CD的長是（　?。?br />
A．6 B．3 C．1.5 D．1
【分析】根據(jù)題意可知：MN是線段AC的垂直平分線，然后根據(jù)三角形相似可以得到點D為AB的中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關系，即可得到CD的長．
【解答】解：由已知可得，
MN是線段AC的垂直平分線，
設AC與MN的交點為E，
∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，
∴ED∥CB，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AD＝AB，
∴點D為AB的中點，
∵AB＝3，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝1.5，
故選：C．

【點評】本題考查直角三角形斜邊上的中線、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10．（3分）汽車油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km．當0≤x≤300時，y與x的函數(shù)解析式是（　　）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
【分析】直接利用油箱中的油量y＝總油量﹣耗油量，進而得出函數(shù)關系式，即可得出答案．
【解答】解：由題意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．
故選：B．
【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關系式，正確得出函數(shù)關系式是解題關鍵．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）方程＝1的解是 　x＝5?。?br /> 【分析】按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
【解答】解：＝1，
2＝x﹣3，
解得：x＝5，
檢驗：當x＝5時，x﹣3≠0，
∴x＝5是原方程的根，
故答案為：x＝5．
【點評】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．
12．（3分）不透明袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是 　　．
【分析】一共有5個球，2黑3白，黑球占總數(shù)的，因此可求出隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率．
【解答】解：袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是＝，
故答案為：．
【點評】本題考查概率公式，理解概率的定義是正確解答的關鍵．
13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（1，2），將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應點C的坐標是 ?。?，2）?。?br />
【分析】根據(jù)橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減求解即可．
【解答】解：將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應點C的坐標是（1+4，2），即（5，2），
故答案為：（5，2）．
【點評】本題主要考查坐標與圖形變化—平移，解題的關鍵是掌握點的坐標的平移規(guī)律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．
14．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長是，將對角線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠CAD的度數(shù)，點C旋轉(zhuǎn)后的對應點為E，則弧CE的長是 　π?。ńY(jié)果保留π）．

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，然后利用弧長公式計算的長度．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAD＝45°，AC＝AB＝×＝2，
∵對角線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)∠CAD的度數(shù)，點C旋轉(zhuǎn)后的對應點為E，
∴的長度為＝π．
故答案為：π．
【點評】本題考查了弧長的計算：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．也考查了正方形的性質(zhì)．
15．（3分）我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足．”其大意是：“今有人合伙買豬，每人出100錢，則會多出100錢；每人出90錢，恰好合適．”若設共有x人，根據(jù)題意，可列方程為 　100x﹣90x＝100?。?br /> 【分析】先根據(jù)每人出90錢，恰好合適，用x表示出豬價，再根據(jù)“每人出100錢，則會多出100錢”，即可得出關于x的一元一次方程，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵每人出90錢，恰好合適，
∴豬價為90x錢，
根據(jù)題意，可列方程為100x﹣90x＝100．
故答案為：100x﹣90x＝100．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
16．（3分）如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點A的對應點A'落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，連接MF，若MF⊥BM，AB＝6cm，則AD的長是 　5　cm．

【分析】由矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得BE＝3，A′B＝AB＝6cm，∠A＝∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，可得∠BA′E＝30°，從而可得∠A′BE＝60°，可得∠ABM＝30°，從而可得AM＝2cm，∠DMF＝30°，DF＝3cm，即可求解DM，進而求出AD的長．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝6cm，
∴∠A＝90°，
由折疊性質(zhì)可得：
BE＝DF＝3cm，A′B＝AB＝6cm，∠A′EB＝90°，∠ABM＝∠A′BM，
在Rt△A′BE中，A′B＝2BE，
∴∠BA′E＝30°，
∴∠A′BE＝60°，
∴∠ABM＝30°，∠AMB＝60°，
∴AM＝tan30°?AB＝＝2cm，
∵MF⊥BM，
∴∠BMF＝90°，
∴∠DMF＝30°，
∴∠DFM＝60°，
在Rt△DMF中，MD＝tan60°?DF＝cm，
∴AD＝AM+DM＝2cm．
故答案為：5．
【點評】本題考查折疊性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，30°角的直角三角形等知識點，解題的關鍵是利用邊之間的關系推出∠BA′E＝30°．
三、解答題（本題共4小題，其中17題9分，18、19、20題各10分，共39分）
17．（9分）計算：÷﹣．
【分析】先算除法，后算減法，即可解答．
【解答】解：÷﹣
＝?﹣
＝﹣
＝．
【點評】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握因式分解是解題的關鍵．
18．（10分）為了解某初級中學落實《中共中央國務院關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》的實施情況，調(diào)查組從該校全體學生中隨機抽取部分學生，調(diào)查他們平均每周勞動時間t（單位：h），并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．
平均每周勞動時間頻數(shù)統(tǒng)計表
平均每周勞動時間t/h
頻數(shù)
頻率
1≤t＜2
3

2≤t＜3
a
0.12
3≤t＜4
37
b
4≤t＜5

0.35
5≤t＜6


合計
c

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）填空：a＝　12　，b＝　0.37　，c＝　100??；
（2）若該校有1000名學生，請估計平均每周勞動時間在3≤t＜5范圍內(nèi)的學生人數(shù)．

【分析】（1）由統(tǒng)計圖可知，a＝12，根據(jù)頻率＝可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出相應的頻數(shù)或頻率，確定a、b、c的值；
（2）求出平均每周勞動時間在3≤t＜5范圍內(nèi)的學生所占的百分比，即可求出相應的人數(shù)．
【解答】解：（1）由頻數(shù)分布直方圖可知，a＝12，
調(diào)查人數(shù)為：12÷0.12＝100（人），即c＝100，
b＝37÷100＝0.37，
故答案為：12，0.37，100；
（2）平均每周勞動時間在3≤t＜5范圍內(nèi)的學生所占的百分比為0.37+0.35＝0.72，
1000×（0.37+0.35）＝720（人），
答：該校1000名學生中平均每周勞動時間在3≤t＜5范圍內(nèi)的大約有720人．
【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，掌握頻率＝是正確解答的前提．
19．（10分）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF．求證：CE＝CF．

【分析】連接AC，由菱形的性質(zhì)得∠EAC＝∠FAC，再由SAS證△ACE≌△ACF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)，證得△ACE≌△ACF是解題的關鍵．
20．（10分）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家喜愛．已知購買1個冰墩墩毛絨玩具和2個雪容融毛絨玩具用了400元，購買3個冰墩墩毛絨玩具和4個雪容融毛絨玩具用了1000元．這兩種毛絨玩具的單價各是多少元？
【分析】設冰墩墩毛絨玩具的單價為x元，雪容融毛絨玩具的單價為y元，由總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合“購買1個冰墩墩和2個雪容融毛絨玩具需400元；購買3個冰墩墩和4個雪容融毛絨玩具需1000元”，即可列出關于x，y的二元一次方程組，解二元一次方程組即可得出結(jié)果．
【解答】解：設冰墩墩毛絨玩具的單價為x元，雪容融毛絨玩具的單價為y元，
依題意得：，
解得：，
答：冰墩墩毛絨玩具的單價為200元，雪容融毛絨玩具的單價為100元．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）
21．（9分）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當容器的體積V（單位：m3）變化時，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化．已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關系，它的圖象如圖所示，當V＝5m3時，ρ＝1.98kg/m3．
（1）求密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式；
（2）若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的變化范圍．

【分析】（1）設密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式為ρ＝（k≠0），利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可求出k值，進而可得出密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式；
（2）由k＝9.9＞0，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得出當V＞0時ρ隨V的增大而減小，結(jié)合V的取值范圍，即可求出二氧化碳密度ρ的變化范圍．
【解答】解：（1）設密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式為ρ＝（k≠0）．
∵當V＝5m3時，ρ＝1.98kg/m3，
∴1.98＝，
∴k＝9.9，
∴密度ρ關于體積V的函數(shù)解析式為ρ＝（V＞0）．
（2）∵k＝9.9＞0，
∴當V＞0時，ρ隨V的增大而減小，
∴當3≤V≤9時，≤ρ≤，
即二氧化碳密度ρ的變化范圍為1.1≤ρ≤3.3．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出k值；（2）利用反比例函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，找出ρ的變化范圍．
22．（10分）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一．游客可以從山底乘坐索道車到達山頂，索道車運行的速度是1米/秒．小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°，測得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘．
（1）索道車從A處運行到B處的距離約為 　300　米；
（2）請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×時間，進行計算即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD，BD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）由題意得：
5分鐘＝300秒，
∴1×300＝300（米），
∴索道車從A處運行到B處的距離約為300米，
故答案為：300；
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝150（米），
AD＝BD＝150（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，
∴CD＝AD?tan37°≈150×0.75≈194.6（米），
∴BC＝CD﹣BD＝194.6﹣150≈45（米），
∴白塔BC的高度約為45米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
23．（10分）AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC，垂足為D，過點A作⊙O的切線，與DO的延長線相交于點E．
（1）如圖1，求證∠B＝∠E；
（2）如圖2，連接AD，若⊙O的半徑為2，OE＝3，求AD的長．

【分析】（1）利用等角的余角相等證明即可；
（2）利用勾股定理求出AE，再利用相似三角形的性質(zhì)求BD，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出AD．
【解答】（1）證明：∵AE與⊙O相切于點A
∴AB⊥AE，
∴∠A＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠BDO＝∠A＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E．
（2）如圖2，連接AC，
∵OA＝2，OE＝3，
∴根據(jù)勾股定理得AE＝，
∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠EOA，
∴△BOD∽△EOA，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝，
∴CD＝BD＝，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC＝，
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AD＝
＝
＝．
【點評】本題考查相似三角形，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）
24．（11分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，點D在AC上，CD＝3，連接DB，AD＝DB，點P是邊AC上一動點（點P不與點A，D，C重合），過點P作AC的垂線，與AB相交于點Q，連接DQ，設AP＝x，△PDQ與△ABD重疊部分的面積為S．
（1）求AC的長；
（2）求S關于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍．


【分析】（1）根據(jù)勾股定理可求出BD，根據(jù)AD＝BD進而求出AC，
（2）分兩種情況進行解答，即點P在點D的左側(cè)或右側(cè)，分別畫出相應的圖形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)分別用含有x的代數(shù)式表示PD、PE、PQ，由三角形面積之間的關系可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
又∵AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝5+3＝8；
（2）當點P在點D的左側(cè)時，即0＜x＜5，如圖1，此時重疊部分的面積就是△PQD的面積，
∵PQ⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△ABC∽△AQP，
∴＝＝＝2，
設AP＝x，則PQ＝x，PD＝AD﹣AP＝5﹣x，
∴S重疊部分＝S△PQD＝（5﹣x）×x
＝﹣x2+x；
當點P在點D的右側(cè)時，即5＜x＜8，如圖2，
由（1）得，AP＝x，PQ＝x，則PD＝x﹣5，
∵PQ∥BC，
∴△DPE∽△DCB，
∴＝＝，
∴PE＝（x﹣5），
∴S重疊部分＝S△PQD﹣S△DPE
＝（x﹣5）×x﹣（x﹣5）×（x﹣5）
＝﹣x2+x﹣；
答：S關于x的函數(shù)解析式為：當0＜x＜5時，S＝﹣x2+x；當5＜x＜8時，S＝﹣x2+x﹣．

【點評】本題考查勾股定理，函數(shù)關系式以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，求出相關三角形的邊長是解決問題的關鍵．
25．（11分）綜合與實踐
問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：
如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ADC＝∠ACB．求證∠ACD＝∠ABC．
獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題．
實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答．
“如圖2，延長CA至點E，使CE＝BD，BE與CD的延長線相交于點F，點G，H分別在BF、BC上，BG＝CD，∠BGH＝∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”
問題解決：（3）數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當∠BAC＝90°時，若給出△ABC中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求．該小組提出下面的問題，請你解答．
“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，求BH的長．”


【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)證明即可；
（2）結(jié)論：BH＝EF．如圖2中，在CB上取一點T，使得GH＝CT．證明△BGH≌△DCT（SAS），推出BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，再證明△CEF≌△BDT（AAS），推出EF＝DT，可得結(jié)論；
（3）如圖3中，過點E作EM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，過點F作FQ⊥BC于點Q．解直角三角形求出EF，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1中，

∵∠ADC＝∠ACB，
∴∠B+∠DCB＝∠DCB+∠ACD，
∴∠ACD＝∠B；

（2）解：結(jié)論：BH＝EF．
理由：如圖2中，在CB上取一點T，使得GH＝CT．

在△BGH和△DCT中，
，
∴△BGH≌△DCT（SAS），
∴BH＝DT，∠GBH＝∠CDT，
∵∠CDT+∠FDT＝180°，
∴∠GBH+∠FDT＝180°，
∴∠BFD+∠BTD＝180°，
∵∠CFE+∠BFD＝180°，
∴∠CFE＝∠BTD，
在△CEF和△BDT中，
，
∴△CEF≌△BDT（AAS），
∴EF＝DT，
∴EF＝BH；

（3）解：如圖3中，過點E作EM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，過點F作FQ⊥BC于點Q．

∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠ABC，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝2，AB＝4，
∴AD＝1，BD＝CE＝3，
∴AE＝1，BE＝＝＝，
∵∠CAB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵S△CEB＝?CE?BA＝?EM?CB．
∴EM＝，
∴CM＝＝＝，
∴BM＝BC﹣CM＝2﹣＝，
∵S△BCD+S△ADC＝S△ACB，
∴×2×DN+×1×2＝×2×4，
∴DN＝，BN＝，CN＝CB﹣BN＝2﹣＝，
設BF＝k，
∵FQ∥EM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BQ＝k，F(xiàn)Q＝k，
∵DN∥FQ，
∴＝，
∴＝，
∴CQ＝k，
∵BQ+CQ＝2，
∴k+k＝2，
∴k＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝，
∴BH＝EF＝．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
26．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接AC．
（1）求點B，點C的坐標；
（2）如圖1，點E（m，0）在線段OB上（點E不與點B重合），點F在y軸負半軸上，OE＝OF，連接AF，BF，EF，設△ACF的面積為S1，△BEF的面積為S2，S＝S1+S2，當S取最大值時，求m的值；
（3）如圖2，拋物線的頂點為D，連接CD，BC，點P在第一象限的拋物線上，PD與BC相交于點Q，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．


【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可求出點B，C的坐標；
（2）由點A，B，C的坐標可得出OA，OB，OC的長度，由點E的坐標及OE＝OF，可得出OF，BE，CF的長，利用三角形的面積計算公式，即可找出S關于m的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可找出當S取最大值時m的值；
（3）存在，設點P的坐標為（n，n2﹣2n﹣3），連接BD，過點Q作QM⊥x軸于點M，過點D作DN∥x軸，過點P作PN∥y軸交DN于點N，通過角的計算，可找出∠DPN＝∠ACO，結(jié)合∠AOC＝∠DNP＝90°，可得出△AOC∽△DNP，利用相似三角形的性質(zhì)可求出n的值，進而可得出點P的坐標．
【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）；
當x＝0時，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴點C的坐標為（0，﹣3）．
（2）∵點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，﹣3），
∴OA＝1，OB＝OC＝3．
∵點E的坐標為（m，0），OE＝OF，
∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，
∴S＝S1+S2
＝?CF?OA+?BE?OF
＝×（3﹣m）×1+×（3﹣m）×m
＝﹣m2+m+
＝﹣（m﹣1）2+2．
∵﹣＜0，
∴當m＝1時，S取得最大值，
即當S取最大值時，m的值為1．
（3）存在，設點P的坐標為（n，n2﹣2n﹣3）．
在圖（2）中，連接BD，過點Q作QM⊥x軸于點M，過點D作DN∥x軸，過點P作PN∥y軸交DN于點N．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC為等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，BC＝3．
∵拋物線的頂點為D，
∴點D的坐標為（1，﹣4），
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，﹣3），
∴BD＝＝2，CD＝＝，
∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝45°+90°＝135°．
∵QM∥OC，
∴∠CQM＝180°﹣∠OCB＝180°﹣45°＝135°．
∵∠PQC＝∠ACD，∠PQC＝∠PQM+∠CQM，∠ACD＝∠ACO+∠OCD，
∴∠PQM＝∠ACO．
又∵QM∥PN，
∴∠DPN＝∠PQM＝∠ACO．
又∵∠AOC＝∠DNP＝90°，
∴△AOC∽△DNP，
∴＝，即＝，
解得：n1＝1（不合題意，舍去），n2＝4，
∴點P的坐標為（4，5）．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、兩點間的距離公式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，求出各點的坐標；（2）利用三角形的面積計算公式，找出S關于m的函數(shù)關系式；（3）構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求出點P的橫坐標．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/7/26 11:29:56；用戶：嚴蘭；郵箱：15527462825；學號：39033143

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