2021北京育才學(xué)校高一（上）期中數(shù)    學(xué)一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共5i0分.）1．（5分）已知集合，，1，，則等于　　A． B． C． D．，2．（5分）命題“，”的否定為　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）下列四組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是　　A．， B．， C．， D．，4．（5分）下列不等式正確的是　　A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則5．（5分）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為　　A．， B．， C．， D．，6．（5分）設(shè)，，則的值為　　A．1 B．0 C． D．7．（5分）已知，，且，那么的最大值等于　　A．4 B．8 C．16 D．328．（5分）設(shè)，則“”是“”的　　條件A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要9．（5分）定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，，有．則　　A．（3）（1） B．（1）（3） C．（1）（3） D．（3）（1）10．（5分）某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為，觀影人數(shù)記為，其函數(shù)圖象如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象． 給出下列四種說(shuō)法：①圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高成本；②圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低成本；③圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持成本不變；④圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低成本．其中，正確的說(shuō)法是　　A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題：（本大題共6小題。每小題5分。共30分）11．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>　　．12．（5分）方程組的解集是 　　．13．（5分）函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且（1），那么　　．14．（5分）若，則函數(shù)的值域?yàn)?/span> 　　．15．（5分）設(shè)，，使命題“若，則”為假命題的一組，的值依次為 　　．16．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，在，上大致圖像如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 　　．三、解答題：（本大題共7小題，每小題10分，共70分.）17．（10分）已知全集，集合，．（1）求；（2）求．18．（10分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，的最大值和最小值；（2）若對(duì)于任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（10分）解下列關(guān)于的不等式．（1）；（2）．20．（10分）已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)．21．（10分）已知二次函數(shù)．（1）若函數(shù)的零點(diǎn)是和1，求實(shí)數(shù)，的值；（2）已知，設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，且，求實(shí)數(shù)的值．22．（10分）通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專家發(fā)現(xiàn)學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化：講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散，設(shè)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間（分鐘）的變化規(guī)律：越大，表明學(xué)生注意力越集中，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析得知：（1）講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（2）一道數(shù)學(xué)難題，需要連續(xù)講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到需要的狀態(tài)下講授完這道題目？23．（10分）對(duì)于區(qū)間，，若函數(shù)同時(shí)滿足：①在，上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)，，的值域是，，則稱區(qū)間，為函數(shù)的“保值”區(qū)間．（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間；（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
2021-2022學(xué)年北京市育才學(xué)校高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共5i0分.）1．【分析】可求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，1，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【解答】解：命題為全稱命題，則命題的否定為，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．3．【分析】利用兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷．【解答】解：、由于函數(shù)的定義域是，的定義域是，，即兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，則不對(duì)，、由于函數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)的解析式不同，則不對(duì)，、由于函數(shù)的定義域是，的定義域是，即兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，則不對(duì)，、由于函數(shù)，，兩個(gè)函數(shù)的定義域解析式都相同，則對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的三要素，兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)函數(shù)具有相同的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系．4．【分析】．當(dāng)時(shí)，；．利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出；．取，，不成立；．時(shí)不成立．【解答】解：．當(dāng)時(shí)，，因此不正確；．，，正確；．取，，則不成立；．時(shí)不成立．綜上可得：只有正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因?yàn)?/span>為連續(xù)函數(shù)，，所以零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零點(diǎn)存在性定理，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)是無(wú)理數(shù)可求出的值，然后根據(jù)分段函數(shù)的解析式可求出的值．【解答】解：是無(wú)理數(shù)則故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)的求值，解題的關(guān)鍵判定是否為有理數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】運(yùn)用基本不等式的變形，化簡(jiǎn)整理即可得到所求最大值．【解答】解：，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．則的最大值為8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先利用絕對(duì)值不等式的解法求出不等式的解，然后利用充分條件與必要條件的定義判斷即可．【解答】解：不等式，即，解得，因?yàn)?/span>，，，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，充分條件與必要條件的定義的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將絕對(duì)值不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先由奇偶性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較．【解答】解：是偶函數(shù)（2）又任意的，，，有，在，上是減函數(shù)，又（1）（2）（3）故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用奇偶性轉(zhuǎn)化區(qū)間和單調(diào)性比較大小，在比較大小中，用單調(diào)性的較多，還有的通過(guò)中間橋梁來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如通過(guò)正負(fù)和1來(lái)解決．10．【分析】解題的關(guān)鍵是理解圖象表示的實(shí)際意義，進(jìn)而得解．【解答】解：由圖可知，點(diǎn)縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示的是成本，直線的斜率表示的是票價(jià)，故圖（2）降低了成本，但票價(jià)保持不變，即②對(duì)；圖（3）成本保持不變，但提高了票價(jià)，即③對(duì)；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀圖識(shí)圖能力，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：（本大題共6小題。每小題5分。共30分）11．【分析】由函數(shù)解析式可得 且，由此求得函數(shù)的定義域．【解答】解：要使函數(shù)有意義，需滿足：，可得 且，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>且，故答案為：且．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的定義域的方法，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】解方程組，求出方程組的解集即可．【解答】解：，，解得：，方程組的解集是：或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求方程組的解集，是基礎(chǔ)題．13．【分析】由定義在上的奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且（1），所以，（1），所以．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)對(duì)號(hào)函數(shù)圖像的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：為對(duì)號(hào)函數(shù)，拐點(diǎn)為，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)號(hào)函數(shù)圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像性質(zhì)求值域，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合其圖象判斷．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和，所以當(dāng)或時(shí)，命題都為真命題，當(dāng)時(shí)，不成立，命題為假題，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題真假判斷為載體，考查了反比例函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，由的圖象可得的圖象，即可得出答案．【解答】解：與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，由的圖象可得的圖象為：零點(diǎn)有7個(gè)零點(diǎn)，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．三、解答題：（本大題共7小題，每小題10分，共70分.）17．【分析】（1）根據(jù)二次不等式解出集合，再由集合，最后求交集即可．（2）根據(jù)并集、補(bǔ)集的意義直接求解．【解答】解：（1）由，得，解得，或．，或或．（2），或，，或，或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的一元二次不等式，以及集合的運(yùn)算問(wèn)題，較容易，屬基本題．18．【分析】（1）將代入，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易分析出時(shí)函數(shù)取最小值，函數(shù)取最大值，進(jìn)而得到答案；（2）函數(shù)恒成立轉(zhuǎn)化為△，解得即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)，，則（1），（3）；（2）對(duì)于任意都有，則△，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．19．【分析】（1）將其轉(zhuǎn)化為，再解之即可；（2）因式分解可得，再分，和三種情況，解之即可．【解答】解：（1），故不等式的解集為；（2）由得，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式不等式，含參一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．【解答】證明：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：的定義域是，，，且，故是定義域上的奇函數(shù)；（2）設(shè)，，，且，則，，，，，，，，，函數(shù)在區(qū)間，上為增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．21．【分析】（1），1為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理代入可得解；（2）將展開，將方程的韋達(dá)定理代入，可得解．【解答】解：（1）由題可知：，1為方程的兩個(gè)根；所以，解得：，；（2）因?yàn)?/span>，，所以因?yàn)?/span>、是關(guān)于的方程的兩根，所以△即，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以；所以，所以或，因?yàn)?/span>，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)二次之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理整體代入的處理方法，屬于中檔題．22．【分析】（1）分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求出各段上函數(shù)的最大值，從而得出講課開始多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中；（2）分兩種情形：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為180對(duì)應(yīng)的值，則可計(jì)算出學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間即可看出是否經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，且；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，且．所以，講課開始10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能持續(xù)10分鐘．（2）當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，令，，則學(xué)生注意力在180以上所持續(xù)的時(shí)間，所以，經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師可以在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講授完這道題．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．【分析】（1）由已知中保值”區(qū)間的定義，結(jié)合函數(shù)的值域是，，我們可得，，，從而函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則，結(jié)合即可得到函數(shù)的“保值”區(qū)間．（2）根據(jù)已知中保值”區(qū)間的定義，我們分函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，和函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，兩種情況分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，，且在，的值域是，，所以，，，所以，從而函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故有解得又，所以所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為，．（3分）（2）若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，則有：①若，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以消去得，整理得．因?yàn)?/span>，所以，即．又所以．因?yàn)?/span>，所以．（6分）②若，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以消去得，整理得．因?yàn)?/span>，所以，即．又所以．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以．（9分）綜合 ①、②得，函數(shù)存在“保值”區(qū)間，此時(shí)的取值范圍是．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的值，其中正確理解新定義的含義，并根據(jù)新定義構(gòu)造出滿足條件的方程（組或不等式（組將新定義轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)熟悉的數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．

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