2023年四川省廣元市劍閣縣中考數(shù)學(xué)二模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的絕對(duì)值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)在上，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 4.  一組數(shù)據(jù)，，，，中，最后一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字被墨跡覆蓋，則這組數(shù)據(jù)不受影響的統(tǒng)計(jì)量是(    )A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 極差5.  如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，甲、乙、丙三人分別對(duì)該幾何體的三視圖進(jìn)行了描述，其中正確的是(    )
甲：主視圖是軸對(duì)稱圖形；
乙：左視圖是軸對(duì)稱圖形；
丙：俯視圖是中心對(duì)稱圖形．A. 只有甲
B. 只有乙
C. 只有丙
D. 乙和丙6.  如圖，是的直徑，，是上位于兩側(cè)的點(diǎn)，若，則度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上則的值是(    )A.
B.
C.
D. 8.  第屆亞運(yùn)會(huì)將于年月日至月日在杭州舉行，在建設(shè)比賽場(chǎng)館期間，某施工方使用，兩種機(jī)器人來搬運(yùn)建筑材料，其中型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)的建筑材料是型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)的建筑材料的倍，型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間比型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間少小時(shí)，設(shè)型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)建筑材料，則下列方程正確的是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則與的周長之比為(    )A. ：
B. ：
C.
D. 10.  如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，并與軸交于，兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論中：；；；若為任意實(shí)數(shù)，則，正確的個(gè)數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  分解因式：          ．12.  據(jù)統(tǒng)計(jì)，廣元市戶籍人口約萬人將數(shù)據(jù)萬用科學(xué)記數(shù)法表示為______ ．13.  在一個(gè)不透明的布袋中，有紅球、黑球、白球共個(gè)，它們除顏色外其他都相同小明從中任意摸出一個(gè)球，查看色后放回并搖勻，通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黑球的頻率分別穩(wěn)定在和，則他估計(jì)布袋中白球的個(gè)數(shù)約是______ 個(gè)
 14.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，連接若，，則的值是______ ．
 15.  如圖，在中，為直徑，是圓上一點(diǎn)，連接，，以為圓心，的長為半徑作弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)，將分別沿，向內(nèi)翻折若，則圖中陰影部分的面積是______ ．
 16.  如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長度的最小值為______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共96.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
先化簡，再求值：，其中是方程的根．19.  本小題分
如圖，在?中，、分別平分、，交于點(diǎn)、．
求證：，；
過點(diǎn)作，垂足為若?的周長為，，求的面積．
 
 
 20.  本小題分
某學(xué)校為滿足學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)需求，準(zhǔn)備組建美術(shù)、勞動(dòng)、科普、閱讀四類社團(tuán)學(xué)校為了解學(xué)生的參與度，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為______ ，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“科普”類對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為______ ；
若全校共有學(xué)生人，估計(jì)選擇參加勞動(dòng)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)；
甲、乙兩名同學(xué)決定在閱讀、美術(shù)、勞動(dòng)社團(tuán)中選擇一種參加，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一社團(tuán)的概率．21.  本小題分
如圖，為東西走向的濱海大道，小莉沿濱海大道參加“低碳生活綠色出行”健步走公益活動(dòng)小莉在點(diǎn)處時(shí)，某艘海上觀光船位于小莉北偏東的點(diǎn)處，觀光船到濱海大道的距離為當(dāng)小莉沿濱海大道向東步行到達(dá)點(diǎn)時(shí)，觀光船沿北偏西的方向航行至點(diǎn)處，此時(shí)，觀光船恰好在小莉的正北方向，求觀光船從處航行到處的距離結(jié)果保留一位小數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，，，，，
 
22.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，已知，．
求的值及直線的解析式；
若點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，將直線向下平移個(gè)單位長度，平移后直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)的面積為時(shí)，求的值．
23.  本小題分
學(xué)校開展大課間活動(dòng)，某班需要購買、兩種跳繩．已知購進(jìn)根種跳繩和根種跳繩共需元：購進(jìn)根種跳繩和根種跳繩共需元．
求購進(jìn)一根種跳繩和一根種跳繩各需多少元？
設(shè)購買種跳繩根，若班級(jí)計(jì)劃購買、兩種跳繩共根，所花費(fèi)用不少于元且不多于元，則有哪幾種購買方案？
在的條件下，哪種購買方案需要的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？24.  本小題分
如圖，為的直徑，點(diǎn)在直徑上點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合，，點(diǎn)在上且滿足，連接并延長到點(diǎn)，使．
求證：是的切線；
若，試求的值．
25.  本小題分
已知和都是等腰三角形，，，．

當(dāng)時(shí)，
如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：______ ；
如圖，當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
當(dāng)時(shí)，
如圖，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
當(dāng)點(diǎn)在外部，且時(shí)，的長為______ ．26.  本小題分
拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
求拋物線的表達(dá)式和，的值；
如圖，連接，，，若是以為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
如圖，若點(diǎn)在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)作，垂足為，求的最大值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的絕對(duì)值是．
故選：．
根據(jù)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，求出的絕對(duì)值即可．
此題主要考查了絕對(duì)值的含義和求法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：當(dāng)是正實(shí)數(shù)時(shí)，的絕對(duì)值是它本身；當(dāng)是負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；當(dāng)是零時(shí)，的絕對(duì)值是零．
 2.【答案】 【解析】解：、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故原題計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；
B、，故原題計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；
C、，故原題計(jì)算正確，符合題意；
D、，故原題計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；
故選：．
利用合并同類項(xiàng)法則、積的乘方與冪的乘方的運(yùn)算法則、平方差公式、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式乘法法則分別進(jìn)行計(jì)算即可．
此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握合并同類項(xiàng)、積的乘方與冪的乘方的運(yùn)算法則、平方差公式、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式乘法法則．
 3.【答案】 【解析】解：如圖所示：

由題意得：，
，
，
．
故選：．
根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角板的性質(zhì)可得，，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．
 4.【答案】 【解析】解：依題意，最后一個(gè)數(shù)字一定是個(gè)位數(shù)，則從小到大的順序不變，即中位數(shù)不變，而平均數(shù)，眾數(shù)，極差都要知道最后一個(gè)數(shù)，
故這組數(shù)據(jù)不受影響的統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)，
故選：．
根據(jù)最后一個(gè)數(shù)字一定是個(gè)位數(shù)，則從小到大的順序不變，即中位數(shù)不變，據(jù)此即可求解．
本題考查了中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，極差，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：如圖所示：左視圖是軸對(duì)稱圖形．

故主視圖不是軸對(duì)稱圖形，故甲說法錯(cuò)誤；
左視圖是軸對(duì)稱圖形，故乙說法正確；
俯視圖是中心對(duì)稱圖形，故丙說法正確．
所以說法正確的有乙和丙．
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，再根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義可得答案．
此題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，以及學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．
 6.【答案】 【解析】解：如圖，連接，
是的直徑，
，
，

，
故選：．
由是的直徑，可得，再根據(jù)“同弧所得的圓周角相等”可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查圓周角定理，掌握“直徑所對(duì)的圓周角是直角”以及“同弧所得的圓周角相等”是正確解答的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：延長至格點(diǎn)，連接，如圖，
由題意得：
，，，
，
，
．
故選：．
延長至格點(diǎn)，連接，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形，，在中，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可．
本題主要考查了解直角三角形，直角三角形的邊角關(guān)系定理，延長至格點(diǎn)，連接，利用勾股定理及其逆定理得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)建筑材料，則型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)的建筑材料，根據(jù)題意可得：
．
故選：．
根據(jù)型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間比型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間少小時(shí)得出等式，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)，
由作圖得：平分，
，，
，
，
，
，，
與的周長之比為：，
故選：．
根據(jù)作圖知平分，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出邊長和周長，最后求出比值．
本題考查了基本作圖與含度角的直角三角形，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：拋物線開口向上，
，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
，
拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，
，
，故錯(cuò)誤；
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為，則，

，
，即點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，即，
，故正確；
拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，
，
，
，
，
，
，
，故正確；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
由，可得，
若為任意實(shí)數(shù)，則，故正確；
故選：．
分析：
根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、圖象與軸的交點(diǎn)即可判斷；根據(jù)對(duì)稱軸，，可得點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即可判斷；根據(jù)對(duì)稱軸，以及，得與的關(guān)系，即可判斷；根據(jù)函數(shù)的最小值是當(dāng)時(shí)，，即可判斷；
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止；首先提公因式，再運(yùn)用平方差公式對(duì)括號(hào)里的因式分解．
【解答】
解：
．
故答案為．  12.【答案】 【解析】解：萬．
故答案為：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：個(gè)．
故答案為：．
由紅球與黑球的頻率確定出白球的頻率，用頻率估計(jì)概率，用摸到白球的概率乘以即可估算出白球數(shù)．
此題考查了利用頻率估計(jì)概率，解答此題的關(guān)鍵是要計(jì)算出口袋中白色球所占的比例，再計(jì)算其個(gè)數(shù)．
 14.【答案】 【解析】解：直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，
．
首先根據(jù)直線求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)的面積求得的長，然后利用正切函數(shù)的定義求得的長，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得結(jié)論．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，能夠求得點(diǎn)的坐標(biāo)，難度不大．
 15.【答案】 【解析】解：為直徑，
，
以為圓心，的長為半徑作弧，恰好經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
即，
解得，
將分別沿，向內(nèi)翻折，
，，
．
故答案為：．
先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得出，根據(jù)，結(jié)合勾股定理求出，根據(jù)圖形得出，即可得出答案．
本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出．
 16.【答案】 【解析】解：連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，作于，如圖，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
的最小值為：，
故答案為：．
連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，，，作于，利用證明≌，得，再證明≌，得，，求出的長，再利用三角形的三邊關(guān)系即可得到答案．
本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等著知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：


． 【解析】去絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式

．
解方程，得或．
又，
．
原式． 【解析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則化簡分式，再把方程的解代入即可得到結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的解，分式的化簡取值，正確地計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：在?中，，，
，，
、分別平分、，
，
，，
，
；
在和中，

≌，
；
解：過點(diǎn)作于，

平分，，
，
?的周長為，
，



． 【解析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義與性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明；利用證明≌可得；
過點(diǎn)作于，由角平分線的性質(zhì)可求解，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．
 20.【答案】人   【解析】解：本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：人，
則科普類的學(xué)生人數(shù)為：人，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

“科普”類對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)，
故答案為：人，；
估計(jì)選擇參加勞動(dòng)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)為人；
把閱讀、美術(shù)、勞動(dòng)社團(tuán)分別記為，，畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)選中同一社團(tuán)的結(jié)果有種，
甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一社團(tuán)的概率為．
用愿意參加閱讀類社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，用求得的總?cè)藬?shù)減去其余三類的人數(shù)即可得科普人數(shù)，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可，用即可求得“科普”類對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)；
用全校共有學(xué)生人數(shù)乘以愿意參加勞動(dòng)社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)所占的比例即可；
畫出樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名同學(xué)選中同一社團(tuán)的結(jié)果有種．再根據(jù)概率公式即可求解．
本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 21.【答案】解：過點(diǎn)作于，

由題意得，，，
在中，，
，
，
，
，
四邊形為矩形，
，
在中，，
，
，
答：觀光船從處航行到處的距離約為． 【解析】過點(diǎn)作于，根據(jù)的正切值可得，則可得的長，再根據(jù)的正弦可得答案．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
則，
故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；
點(diǎn)在該函數(shù)上，
，
解得：，
點(diǎn)；
將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，
故一次函數(shù)的表達(dá)式為；

設(shè)點(diǎn)，平移后直線的表達(dá)式為：，
令，則，令，則，
點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
，
的面積，
解得：或． 【解析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可求解；
的面積，即可求解．
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，當(dāng)有兩個(gè)函數(shù)的時(shí)候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．
 23.【答案】解：設(shè)購進(jìn)一根種跳繩需元，購進(jìn)一根種跳繩需元，
依題意得：，
解得：．
答：購進(jìn)一根種跳繩需元，購進(jìn)一根種跳繩需元．
該班級(jí)計(jì)劃購買、兩種跳繩共根，且購買種跳繩根，
購買種跳繩根．
依題意得：，
解得：，
又為整數(shù)，
可以取，，，
共有種購買方案，
方案：購買根種跳繩，根種跳繩；
方案：購買根種跳繩，根種跳繩；
方案：購買根種跳繩，根種跳繩．
設(shè)購買跳繩所需總費(fèi)用為元，則．
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值．
答：在的條件下，購買方案需要的總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是元． 【解析】設(shè)購進(jìn)一根種跳繩需元，購進(jìn)一根種跳繩需元，根據(jù)“購進(jìn)根種跳繩和根種跳繩共需元：購進(jìn)根種跳繩和根種跳繩共需元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
設(shè)購買種跳繩根，則購買種跳繩根，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不少于元且不多于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為整數(shù)，即可得出各購買方案；
設(shè)購買跳繩所需總費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
 24.【答案】證明：為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
解：設(shè)的半徑為，
，
，
，
，
在中，，
，
，舍去，
，
在中，，
，
，
的值為． 【解析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可解答；
設(shè)的半徑為，則，在中，利用勾股定理可求出，從而求出，然后在中，根據(jù)勾股定理可求出的長，從而利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了切線的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】  或 【解析】解：當(dāng)時(shí)，和均為等邊三角形，
，，
又，
，
，
故答案為：；
，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
當(dāng)時(shí)，在等腰直角三角形中：，
在等腰直角三角形中：，
，，

在和中，
，
∽，
，
，
或，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：

，
由上可知：，，
又，
，
而，
∽，
，
，而，
，
在中：，
又，
或，
在等腰直角三角形中，．
當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)作于

，，
，，
，
綜上所述，滿足條件的的值為或．
故答案為：或．
根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，和均為等邊三角形，根據(jù)線段之間的關(guān)系易推出；
通過求證≌，即可找到線段與的數(shù)量關(guān)系；
根據(jù)已知條件，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等求證∽即可找到線段與的數(shù)量關(guān)系；
分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在外部，根據(jù)已知條件，利用兩角對(duì)應(yīng)相等求證∽，再利用相似比結(jié)合勾股定理即可算出的長，進(jìn)而表示出的長即可求出的長．當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)于點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出和，在中，根據(jù)勾股定理求出的值，綜上可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合大題，考查三角形基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，本題熟練掌握三角形的基本性質(zhì)，能根據(jù)題意從易到難逐步推理，能在題干中找到相應(yīng)條件求證三角形全等或相似是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：將代入，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得或舍，
，
在直線上，
，
解得，
；
作軸交于，且點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；  
作軸交于于，過點(diǎn)作軸交于，
，
由∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值是． 【解析】用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可求解；
作軸交于，可求，，通過證明∽，利用，求的值即可求點(diǎn)坐標(biāo)；
作軸交于于，過點(diǎn)作軸交于，通過證明∽，求出，，再由∽，求出，則，即可求解．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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