?2023年河南省洛陽(yáng)市新安縣中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．絕對(duì)值等于5的有理數(shù)是（　?。?br /> A．±5 B．5 C．﹣5 D．±
2．某正方體的每個(gè)面都有一個(gè)漢字，其平面展開(kāi)圖如圖所示，那么在該幾何體中和“博”字相對(duì)的字是（　?。?br />
A．自 B．民 C．愛(ài) D．由
3．據(jù)科學(xué)家估計(jì)，地球的年齡大約是4600000000年，將數(shù)據(jù)4600000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　　）
A．0.46×1010 B．46×108 C．4.6×1010 D．4.6×109
4．如圖，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，則∠C的度數(shù)是（　?。?br />
A．154° B．144° C．134° D．124°
5．不等式x≥2在數(shù)軸上表示正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（　?。?br />
A． B． C． D．
7．一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
8．在“雙減”政策下，某學(xué)校規(guī)定，學(xué)生的學(xué)期學(xué)業(yè)成績(jī)由三部分組成：平時(shí)成績(jī)占20%，期中成績(jī)占30%，期末成績(jī)占50%，小穎的平時(shí)、期中、期末成績(jī)分別為85分，90分，92分，則小穎本學(xué)期的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)椋ā　。?br /> A．92分 B．90分 C．89分 D．85分
9．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與y＝2x+m相交于點(diǎn)P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組的解為（　　）
A． B． C． D．
10．如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C'，以下結(jié)論：①BC＝B'C，②AC∥C'B'，③C′B′⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正確的有（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．計(jì)算：＝　 ?。?br /> 12．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝　 ?。?br /> 13．在創(chuàng)建“文明校園”的活動(dòng)中，班級(jí)決定從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)擔(dān)任本周的值周長(zhǎng)，那么抽取的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率是 　 ?。?br /> 14．如圖所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C為上一點(diǎn)，∠AOC＝30°，連接BC，過(guò)C作OA的垂線交AO于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br />
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長(zhǎng)最小值為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）
16．計(jì)算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（﹣1）÷．
17．每年的6月6日為“全國(guó)愛(ài)眼日”．某初中學(xué)校為了解本校學(xué)生視力健康狀況，組織數(shù)學(xué)興趣小組按下列步驟來(lái)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)活動(dòng)．
①確定調(diào)查對(duì)象有以下三種調(diào)查方案：方案一：從七年級(jí)抽取140名學(xué)生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查；方案二：從七年級(jí)、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取140名生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查；方案三：從全校1600名學(xué)生中隨機(jī)抽取600名學(xué)生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查．其中最具有代表性和廣泛性的抽樣調(diào)查方案是 　 　；
②收集整理數(shù)據(jù)：按照國(guó)家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況分為A，B，C，D四個(gè)類(lèi)別．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽取本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，繪制成如圖一幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．抽取的學(xué)生視力狀況統(tǒng)計(jì)表：
類(lèi)別
A
B
C
D
視力
視力≥5.0
4.9
4.6≤視力≤4.8
視力≤4.5
健康狀況
視力正常
輕度視力不良
中度視力不良
重度視力不良
人數(shù)
160
m
n
56
③分析數(shù)據(jù)，解答問(wèn)題：
（1）調(diào)查視力數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在類(lèi)別為 　 　類(lèi)；
（2）該校共有學(xué)生1600人，請(qǐng)估算該校學(xué)生中，中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)；
（3）為更好保護(hù)視力，結(jié)合上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你提出一條合理化的建議．

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，P（﹣8，﹣2）兩點(diǎn)．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；
（2）判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

19．如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

20．為迎接學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)舉行，某班組織學(xué)生參加跳繩活動(dòng)，需購(gòu)買(mǎi)A，B兩種跳繩若干，若購(gòu)買(mǎi)3根A種跳繩和1根B種跳繩共需140元；若購(gòu)買(mǎi)5根A種跳繩和3根B種跳繩共需300元．
（1）求A，B兩種跳繩的單價(jià)各是多少元？
（2）若該班準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種跳繩共46根，總費(fèi)用不超過(guò)1780元，那么至多可以購(gòu)買(mǎi)B種跳繩多少根？
21．某地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央豎直安裝一根水管OA，O為水管與地面交點(diǎn)，在水管頂端A處安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過(guò)OA的任一平面上，以O(shè)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)與水流落地點(diǎn)所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是y＝﹣x2+x+2．
（1）求水管OA的高度；
（2）求噴出的水流距地面的最大高度；
（3）若要使噴出的水流不落在池外，試求水池的半徑至少要多少米？

22．[概念引入]
在一個(gè)圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如圖1，在⊙O中，半徑是5，弦AB＝8，則這條弦的弦心距OC長(zhǎng)為 　 ?。?br /> （2）通過(guò)大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩．請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求證：OM＝ON．
[概念應(yīng)用]如圖3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直徑為20，且弦AB垂直于弦CD于E，請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求OE的長(zhǎng)．


23．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N．
猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠B＝∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；
（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM＝AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．


參考答案
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．絕對(duì)值等于5的有理數(shù)是（　?。?br /> A．±5 B．5 C．﹣5 D．±
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義解答，絕對(duì)值等于5的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．
解：絕對(duì)值等于5的有理數(shù)是±5，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查絕對(duì)值的定義．解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的定義，去絕對(duì)值等于5的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．
2．某正方體的每個(gè)面都有一個(gè)漢字，其平面展開(kāi)圖如圖所示，那么在該幾何體中和“博”字相對(duì)的字是（　?。?br />
A．自 B．民 C．愛(ài) D．由
【分析】利用正方體及其表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題．
解：正方體的平面展開(kāi)圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，
所以該正方體中與“博”字相對(duì)的字是“由”．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題．
3．據(jù)科學(xué)家估計(jì)，地球的年齡大約是4600000000年，將數(shù)據(jù)4600000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（　?。?br /> A．0.46×1010 B．46×108 C．4.6×1010 D．4.6×109
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
解：4600000000＝4.6×109．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．如圖，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，則∠C的度數(shù)是（　　）

A．154° B．144° C．134° D．124°
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
5．不等式x≥2在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．即可解答．
解：x≥2，開(kāi)口向正數(shù)方向（向右），
因?yàn)槭谴笥诘扔?，所以要實(shí)心．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)的“兩定”．
6．如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴，
∴，
∴EC＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確使用定理得出比例式是解題的關(guān)鍵．
7．一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【分析】求出判別式Δ＝b2﹣4ac，判斷符號(hào)即可得出結(jié)論．
解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，
∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
8．在“雙減”政策下，某學(xué)校規(guī)定，學(xué)生的學(xué)期學(xué)業(yè)成績(jī)由三部分組成：平時(shí)成績(jī)占20%，期中成績(jī)占30%，期末成績(jī)占50%，小穎的平時(shí)、期中、期末成績(jī)分別為85分，90分，92分，則小穎本學(xué)期的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)椋ā　。?br /> A．92分 B．90分 C．89分 D．85分
【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可．
解：她本學(xué)期的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)椋?br /> 20%×85+30%×90+50%×92＝90（分）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與y＝2x+m相交于點(diǎn)P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組的解為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】先將點(diǎn)P代入y＝﹣x+4，求出n，即可確定方程組的解．
解：將點(diǎn)P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴關(guān)于x，y的方程組的解為，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB'C'，以下結(jié)論：①BC＝B'C，②AC∥C'B'，③C′B′⊥BB'，④∠ABB'＝∠ACC'，正確的有（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過(guò)推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．
解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，
∴BC＝B′C′，故①正確；
②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，
∴∠BAB′＝50°．
∵∠CAB＝20°，
∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．
∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，
∴∠AB′C′＝∠B′AC．
∴AC∥C′B′，故②正確；
③在△BAB′中，
AB＝AB′，∠BAB′＝50°，
∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．
∴C′B′與BB′不垂直，故③不正確；
④在△ACC′中，
AC＝AC′，∠CAC′＝50°，
∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．
∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正確．
∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．計(jì)算：＝　﹣?。?br /> 【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)減法法則求得計(jì)算結(jié)果．
解：
＝﹣2
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
12．若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，則a＝　1?。?br /> 【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，計(jì)算即可得出答案．
解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的解，應(yīng)用一元二次方程的解的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
13．在創(chuàng)建“文明校園”的活動(dòng)中，班級(jí)決定從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)擔(dān)任本周的值周長(zhǎng)，那么抽取的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率是 　?。?br /> 【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和抽取的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
解：設(shè)兩名男生分別記為A，B，兩名女生分別記為C，D，
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有8種，
∴抽取的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率為＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，解題時(shí)要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝．
14．如圖所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C為上一點(diǎn)，∠AOC＝30°，連接BC，過(guò)C作OA的垂線交AO于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為　　．

【分析】根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD進(jìn)行計(jì)算．
解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等邊三角形，
∵過(guò)C作OA的垂線交AO于點(diǎn)D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴圖中陰影部分的面積＝S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
故答案為π﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．也考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長(zhǎng)最小值為 　5+　．

【分析】如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，證明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得結(jié)論．
解：如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四邊形AHTD是矩形，
∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，
∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，
∴FT＝＝＝，
∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T關(guān)于DG對(duì)稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，
∵EF＝＝＝5，
∴△EFP的周長(zhǎng)的最小值為5+，
故答案為：5+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）
16．計(jì)算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（﹣1）÷．
【分析】（1）先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；
（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而約分即可．
解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x
＝2x2+4；
（2）原式＝（﹣）÷
＝?
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算和整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
17．每年的6月6日為“全國(guó)愛(ài)眼日”．某初中學(xué)校為了解本校學(xué)生視力健康狀況，組織數(shù)學(xué)興趣小組按下列步驟來(lái)開(kāi)展統(tǒng)計(jì)活動(dòng)．
①確定調(diào)查對(duì)象有以下三種調(diào)查方案：方案一：從七年級(jí)抽取140名學(xué)生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查；方案二：從七年級(jí)、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取140名生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查；方案三：從全校1600名學(xué)生中隨機(jī)抽取600名學(xué)生，進(jìn)行視力狀況調(diào)查．其中最具有代表性和廣泛性的抽樣調(diào)查方案是 　方案三　；
②收集整理數(shù)據(jù)：按照國(guó)家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況分為A，B，C，D四個(gè)類(lèi)別．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)抽取本校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，繪制成如圖一幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．抽取的學(xué)生視力狀況統(tǒng)計(jì)表：
類(lèi)別
A
B
C
D
視力
視力≥5.0
4.9
4.6≤視力≤4.8
視力≤4.5
健康狀況
視力正常
輕度視力不良
中度視力不良
重度視力不良
人數(shù)
160
m
n
56
③分析數(shù)據(jù)，解答問(wèn)題：
（1）調(diào)查視力數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在類(lèi)別為 　B　類(lèi)；
（2）該校共有學(xué)生1600人，請(qǐng)估算該校學(xué)生中，中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)；
（3）為更好保護(hù)視力，結(jié)合上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)你提出一條合理化的建議．

【分析】①根據(jù)抽樣調(diào)查應(yīng)具有代表性和廣泛性可知方案三最符合題意；
（1）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；
（2）利用樣本估計(jì)總體即可求出中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)；
（3）根據(jù)數(shù)據(jù)提出一條合理建議即可．
解：①根據(jù)抽樣調(diào)查應(yīng)具有代表性和廣泛性可知方案三最符合題意，
故答案為：方案三；
（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：160÷40%＝400（人），
由圖表可得：m＝40×16%＝64（人），
根據(jù)中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)應(yīng)是第200、201個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
而160+64＞200，
所以調(diào)查視力數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在類(lèi)別為B類(lèi)；
故答案為：B；
（2）由題意得：n＝400﹣160﹣64﹣56＝120（人），
所以（人），
答：該校學(xué)生中，中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)為704人；
（3）該校學(xué)生近視程度為中度及以上約占44%，說(shuō)明該校學(xué)生近視程度較為嚴(yán)重，建議學(xué)校加強(qiáng)電子產(chǎn)品進(jìn)校園以及使用時(shí)間的管控．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表，中位數(shù)以及用樣本估計(jì)總體的知識(shí)，關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖表得出信息解決問(wèn)題．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，m），直線CD：y＝ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，P（﹣8，﹣2）兩點(diǎn)．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；
（2）判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．

【分析】（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝可得反比例函數(shù)的解析式為y＝，即得m＝＝4；
（2）連接AC，BD交于H，由C（4，4），P（﹣8，﹣2）得直線CD的解析式是y＝x+2，即得D（0，2），根據(jù)四邊形ABCD是菱形，知H是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），設(shè)B（p，q），有，可解得B（8，2），從而可知B在反比例函數(shù)y＝的圖象上．
解：（1）把P（﹣8，﹣2）代入y＝得：
﹣2＝，
解得k＝16，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
∵C（4，m）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，
∴m＝＝4；
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，m＝4；
（2）B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，理由如下：
連接AC，BD交于H，如圖：

把C（4，4），P（﹣8，﹣2）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴直線CD的解析式是y＝x+2，
在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，
∴D（0，2），
∵四邊形ABCD是菱形，
∴H是AC中點(diǎn)，也是BD中點(diǎn)，
由A（4，0），C（4，4）可得H（4，2），
設(shè)B（p，q），
∵D（0，2），
∴，
解得，
∴B（8，2），
在y＝中，令x＝8得y＝2，
∴B在反比例函數(shù)y＝的圖象上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及待定系數(shù)法，菱形的性質(zhì)及應(yīng)用，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征等，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
19．如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
解：過(guò)B作BD⊥AC于D，


由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20．為迎接學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)舉行，某班組織學(xué)生參加跳繩活動(dòng)，需購(gòu)買(mǎi)A，B兩種跳繩若干，若購(gòu)買(mǎi)3根A種跳繩和1根B種跳繩共需140元；若購(gòu)買(mǎi)5根A種跳繩和3根B種跳繩共需300元．
（1）求A，B兩種跳繩的單價(jià)各是多少元？
（2）若該班準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種跳繩共46根，總費(fèi)用不超過(guò)1780元，那么至多可以購(gòu)買(mǎi)B種跳繩多少根？
【分析】（1）根據(jù)購(gòu)買(mǎi)3根A種跳繩和1根B種跳繩共需140元；若購(gòu)買(mǎi)5根A種跳繩和3根B種跳繩共需300元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；
（2）根據(jù)該班準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)A，B兩種跳繩共46根，總費(fèi)用不超過(guò)1780元，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．
解：（1）設(shè)A種跳繩的單價(jià)為a元，B種跳繩的單價(jià)為b元，
由題意可得，，
解得，
答：A種跳繩的單價(jià)為30元，B種跳繩的單價(jià)為50元；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)B種跳繩x根，則購(gòu)買(mǎi)A種跳繩（46﹣x）根，
由題意可得：30（46﹣x）+50x≤1780，
解得x≤20，
∴x的最大值為20，
答：至多可以購(gòu)買(mǎi)B種跳繩20根．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程和不等式．
21．某地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央豎直安裝一根水管OA，O為水管與地面交點(diǎn)，在水管頂端A處安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過(guò)OA的任一平面上，以O(shè)為原點(diǎn)，以原點(diǎn)與水流落地點(diǎn)所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是y＝﹣x2+x+2．
（1）求水管OA的高度；
（2）求噴出的水流距地面的最大高度；
（3）若要使噴出的水流不落在池外，試求水池的半徑至少要多少米？

【分析】（1）把x＝0代入y＝﹣x2+x+2即可得到結(jié)論；
（2）把y＝﹣x2+x+2化成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）解方程即可得到結(jié)論．
【解答】（1）解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，
答：水管OA的高度為2m；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)時(shí)，y最大＝＝2.25，
答：噴出的水流距地面的最大高度為2.25m；
（3）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1（不合題意，舍去），x2＝2，
所以水池的半徑至少要2米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
22．[概念引入]
在一個(gè)圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如圖1，在⊙O中，半徑是5，弦AB＝8，則這條弦的弦心距OC長(zhǎng)為 　3?。?br /> （2）通過(guò)大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩．請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求證：OM＝ON．
[概念應(yīng)用]如圖3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直徑為20，且弦AB垂直于弦CD于E，請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求OE的長(zhǎng)．


【分析】[概念理解]（1）連接OB，在Rt△BOC中，應(yīng)用勾股定理求解即可；
（2）連接BO、OC，證明Rt△BOM≌Rt△CON（HL）即可；
[概念應(yīng)用]過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD交于G，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交于H，連接DO，根據(jù)（2）的結(jié)論，得到四邊形GEHO是正方形，在Rt△GOD中，用勾股定理求出GO＝6，在等腰Rt△GOE中，求出EO＝6．
【解答】[概念理解]（1）解：連接OB，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC，∠BCO＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝4，
∵BO＝5，
∴CO＝＝3，
故答案為：3；
（2）證明：連接BO、OC，
∵OM⊥AB，
∴BM＝AM，∠BMO＝90°，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DN，∠CNO＝90°，
∵AB＝CD，
∴BM＝CN，
∵BO＝CO，
∴Rt△BOM≌Rt△CON（HL），
∴OM＝ON；
[概念應(yīng)用]解：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CD交于G，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB交于H，連接DO，
∵AB＝CD＝16，
∴GO＝OH，
∵AB⊥CD，
∴∠GEH＝90°，
∴四邊形GEHO是正方形，
∴GE＝GO，
∵CD＝16，
∴DG＝8，
∵⊙O的直徑為20，
∴DO＝10，
∴GO＝＝6，
∴GE＝GO＝6，
∴EO＝6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N．
猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；
問(wèn)題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠B＝∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；
（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM＝AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．
【分析】（1）由三角形中位線定理可得MD∥AC，可證∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；
（2）由勾股定理可求BC的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得CG的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解；
（3）通過(guò)證明點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形的性質(zhì)可求HN的長(zhǎng)，即可求解．
解：（1）四邊形AMDN是矩形，理由如下：
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四邊形AMDN是矩形；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥CD于G，

∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝，
∵cosC＝，
∴，
∴CN＝；
（3）如圖③，連接MN，AD，過(guò)點(diǎn)N作HN⊥AD于H，

∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)M，點(diǎn)D，點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝＝，
∴AH＝HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝，AH＝，
∴AN＝＝＝．
解法二：如圖，延長(zhǎng)MD到T，使得MD＝DT，連接NT，CT．

設(shè)AM＝AN＝a．證明CT＝BM＝6﹣a，NM＝NT＝a，∠NCT＝90°，
由NT2＝CN2+CT2，
可得（a）2＝（8﹣a）2+（6﹣a）2，解得a＝．
解法三：也可以通過(guò)D向AC和AB分別作垂線DQ和DP，通過(guò)△DPM∽△DQN相似來(lái)算．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓的有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．

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