一．選擇題（共8小題）
1．下列各組二次根式中，同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，則AB＝（ ）
A．2B．C．D．1.5
3．能使有意義的實數(shù)x的值有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
4．等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm．則等腰三角形的腰長為（ ）
A．2cmB．8cm
C．2cm或8cmD．以上答案都不對
5．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（ ）
A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°
6．若三個正方形的面積如圖所示，則正方形A的面積為（ ）
A．6B．36C．64D．8
7．甲、乙兩班學生植樹造林，已知甲班每天比乙班多植5棵樹，甲班植80棵樹所用的天數(shù)與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等．若設(shè)甲班每天植樹x棵，則根據(jù)題意列出方程是（ ）
A．B．C．D．
8．化簡二次根式的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
二．填空題（共10小題）
9．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3a2﹣9＝ ．
10．若等腰三角形的兩條邊分別長2，5，則此三角形的周長是 ．
11．如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，則AC＝ cm．
12．已知直角三角形的兩條直角邊的長度分別是6cm和8cm，則第三邊上的高為 ．
13．關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 ．
14．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足為E，若DE＝2cm，則BC＝ cm．
15．有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為 尺．
16．已知，如圖，正方形ABCD的邊長是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC邊上的一動點，則DN+MN的最小值是 ．
17．如圖，B、C、D在一直線上，△ABC、△ADE是等邊三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，則AC＝ ，∠ECD＝ ．
18．如圖，線段OA的長為2，它的一個端點O是數(shù)軸的原點，OA與數(shù)軸正半軸的夾角為45度，以O(shè)A為一邊作等腰三角形OAB，使項點B在數(shù)軸上，則數(shù)軸上點B所表示的數(shù)是 ．
三.解答題
19.（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（）（）；
（7）（2﹣）（2+）；
（8）（）2．
20.解方程：
21.解方程：+1＝
22.下面是數(shù)學課堂的一個學習片斷．閱讀后，請回答下面的問題：
學習等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，張老師請同學們交流討論這樣一個問題：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，請你求出其余兩角”．
同學們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明同學舉手講：“其余兩角是30°和120°”；王華同學說：“其余兩角是75°和75°”．還有一些同學也提出了不同的看法…．
（1）假如你也在課堂中，你的意見如何，為什么？
（2）通過上面數(shù)學問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）
23.已知：如圖，△ABC中，BC邊上有D、E兩點，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求證：△ABC是等腰三角形．
24.已知：如圖，AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求證：DE平分∠AEB．
25.“五?一”假期的某天，小明、小東兩人同時分別從家出發(fā)騎共享單車到奧林匹克公園，已知小明家到公園的路程為15km，小東家到公園的路程為12km，小明騎車的平均速度比小東快3.5km/h，結(jié)果兩人同時到達公園．求小東從家騎車到公園的平均速度．
26.如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．點P在線段BC上，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，連接AP，AQ．過點B作BD⊥AQ于點D，交AP于點E，交AC于點F．K是線段AD上的一個動點（與點A，D不重合），過點K作GN⊥AP于點H，交AB于點G，交AC于點M，交FD的延長線于點N．
（1）依題意補全圖1；
（2）求證：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】將選項中的二次根式化為最簡，然后根據(jù)同類二次根式的被開方數(shù)相同即可得出答案．
【解答】解：A、與3的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項錯誤；
B、3與的被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項錯誤；
C、＝，＝，被開方數(shù)相同，是同類二次根式，故本選項正確；
D、＝2，＝，被開方數(shù)不同，不是同類二次根式，故本選項錯誤；
故選：C．
2．【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理得出AB＝2BC，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵BC＝1，
∴AB＝2，
故選：A．
3．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．
【解答】解：∵二次根式有意義，
∴﹣x2≥0，
解得：x＝0，即符合題意的只有一個值．
故選：B．
4．【分析】設(shè)腰長為x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，求出x后根據(jù)三角形三邊關(guān)系進行驗證即可．
【解答】解：設(shè)腰長為2x，一腰的中線為y，
則（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三邊長為8、8、5，符合三角形三邊關(guān)系定理；
②三角形ABC三邊是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系定理；
故選：B．
5．【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況進行討論．
【解答】解：當高在三角形內(nèi)部時（如圖1），頂角是60°；
當高在三角形外部時（如圖2），頂角是120°．
故選：D．
6．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念分別求出兩個正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出正方形A的邊長，求出正方形A的面積．
【解答】解：面積為100的正方形的邊長為10，面積為64的正方形的邊長為8，
由勾股定理得，正方形A的邊長＝＝6，
∴正方形A的面積為36，
故選：B．
7．【分析】設(shè)甲班每天植樹x棵，則乙班每天植樹（x﹣5）棵，根據(jù)甲班植80棵樹所用的天數(shù)與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等，列方程即可．
【解答】解：設(shè)甲班每天植樹x棵，則乙班每天植樹（x﹣5）棵，
由題意得，＝．
故選：D．
8．【分析】根據(jù)二次根式找出隱含條件a+2≤0，即a≤﹣2，再化簡．
【解答】解：若二次根式有意義，則﹣≥0，
﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，
∴原式＝＝．
故選：B．
二．填空題（共10小題）
9．【分析】首先提取公因式3，進而利用平方差公式進行分解即可．
【解答】解：3a2﹣9＝3（a2﹣3）＝3（a+）（a﹣）．
故答案為：3（a+）（a﹣）．
10．【分析】分類討論即可解決問題．
【解答】解：當?shù)妊切窝鼮?，底為5時，
等腰三角形周長為：2+2＜5，不能構(gòu)成三角形；
當?shù)妊切窝鼮?，底為2時，
等腰三角形周長為：5+5+2＝10+2，
故答案為：10+2．
11．【分析】由CD是角平分線，可得∠ACD＝∠BCD，而DE∥BC，則∠BCD＝∠EDC，于是∠ACD＝∠EDC，再利用等角對等邊可求出DE＝CE，從而求出AC的長．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC．
∴∠ACD＝∠EDC．
∴DE＝CE．
∴AC＝AE+CE＝5+7＝12．
故填12．
12．【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，
∴斜邊為＝10，
設(shè)斜邊上的高為h，
則直角三角形的面積為×6×8＝×10h，h＝4.8cm，
∴直角三角形斜邊上的高為4.8cm．
故答案為4.8cm．
13．【分析】方程兩邊同乘以x﹣1，化為整數(shù)方程，求得x，再列不等式得出m的取值范圍．
【解答】解：方程兩邊同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，
即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案為m＞2且m≠3．
14．【分析】首先連接AD，由DE垂直平分AC，可得AD＝CD，由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，可求得∠B＝∠C＝∠DAC＝30°，繼而求得AD與CD的長，則可求得BD的長，繼而求得答案．
【解答】解：連接AD，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∴BD＝2AD＝8（cm），
∴BC＝BD+CD＝12（cm）．
故答案為：12．
15．【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．
【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：蘆葦長13尺．
故答案為：13
16．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．
【解答】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，
∴連接BN，BD，則直線AC即為BD的垂直平分線，
∴BN＝ND∴DN+MN＝BN+MN連接BM交AC于點P，
∵點 N為AC上的動點，
由三角形兩邊和大于第三邊，
知當點N運動到點P時，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值為BM的長度，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案為：10．
17．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC和∠ECD即可．
【解答】解：∵△ABC、△ADE是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，
∴BC＝BD﹣CD＝15cm﹣6cm＝9cm，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝9cm，
∵∠B+∠BAC＝∠ACD＝120°，∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECD＝60°，
故答案為：9cm，60°
18．【分析】如圖，在數(shù)軸上取點B1，B2，B3，B4，使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，進而可得數(shù)軸上點B所表示的數(shù)．
【解答】解：如圖，在數(shù)軸上取點B1，B2，B3，B4，
使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，
根據(jù)題意可知：
OA＝2，∠AOB2＝45°，
作AB2⊥x軸于點B2，
則OB2＝AB2＝，
∴OB4＝2，
∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)是：﹣2，，2，2．
故答案為：﹣2或或2或2．
三.解答題
19.【考點】6E：零指數(shù)冪；6F：負整數(shù)指數(shù)冪；76：分母有理化；79：二次根式的混合運算．
【專題】514：二次根式；66：運算能力．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的除法可以解答本題；
（2）根據(jù)二次根式的加減法可以解答本題；
（3）根據(jù)二次根式的的乘法和減法可以解答本題；
（4）先化簡，然后合并同類二次根式即可解答本題；
（5）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和分母有理化可以解答本題；
（6）根據(jù)二次根式的乘法和加減法可以解答本題；
（7）根據(jù)平方差公式和完全平方公式可以解答本題；
（8）根據(jù)完全平方公式可以解答本題．
【解答】解：（1）
＝2×÷
＝2×
＝；
（2）
＝4﹣+
＝4﹣+3﹣2
＝+1；
（3）
＝﹣3﹣
＝﹣；
（4）
＝
＝﹣；
（5）
＝+1+﹣1
＝+1+﹣1
＝2；
（6）（）（）
＝2﹣4﹣3+
＝3﹣7；
（7）（2﹣）（2+）
＝[2﹣（）][2+（）]
＝4﹣（）2
＝4﹣（3﹣2+5）
＝4﹣8+2
＝﹣4+2；
（8）（）2
＝2+﹣2+2﹣
＝2+﹣2+2﹣
＝2．
20.【考點】B3：解分式方程．
【專題】11：計算題．
【分析】觀察可得方程最簡公分母為x﹣2，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
【解答】解：原方程即．
方程兩邊都乘以（x﹣2），得x﹣1﹣1＝3（x﹣2）．
解得x＝2．
經(jīng)檢驗x＝2是原方程的增根，
∴原方程無解．
21.【考點】B3：解分式方程．
【專題】11：計算題．
【分析】本題考查解分式方程的能力，因為x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可得最簡公分母為（x+1）（x﹣1）．去分母后解整式方程即可，注意檢驗．
【解答】解：方程兩邊同乘以（x2﹣1），得
x2﹣4x+x2﹣1＝2x（x﹣1），
2x2﹣4x﹣1＝2x2﹣2x，
﹣2x＝1，
∴x＝﹣．
經(jīng)檢驗：x＝﹣是原方程的解，
∴原方程的解為x＝﹣．
22.【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】21：閱讀型；32：分類討論．
【分析】乍一看兩個同學說的都對，但是細分析我們就能看出兩個人的回答都不全面，而正確的應(yīng)該是兩者的結(jié)合，即結(jié)果有兩種情況．通過此題教我們養(yǎng)成考慮問題要全面考慮的好習慣．
【解答】答：（1）上述兩同學回答的均不全面，應(yīng)該是：其余兩角的大小是75°和75°或30°和120°．
理由如下：
①當∠A是頂角時，設(shè)底角是α．
∴30°+α+α＝180°，
α＝75°．
∴其余兩角是75°和75°．
②當∠A是底角時，設(shè)頂角是β，
∴30°+30°+β＝180°，
β＝120°．
∴其余兩角分別是30°和120°．
（2）感受為：解題時，思考問題要全面，有的題目要進行分類討論，分類時要做到不重不漏．
23.【考點】KI：等腰三角形的判定．
【專題】14：證明題．
【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，易證得∠B＝∠C，然后由等角對等邊，證得：△ABC是等腰三角形．
【解答】證明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
24.【考點】KF：角平分線的性質(zhì)．
【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力．
【分析】延長AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠EAC，易證得∠DFE＝∠DAE，可得AE＝FE，又由ED⊥AD，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，即可證得ED平分∠AEB．
【解答】證明：延長AD交BC于F，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠FDE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB．
25.【考點】B7：分式方程的應(yīng)用．
【分析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題．
【解答】解：設(shè)小東從家騎車到公園的平均速度為xkm/h，
，
解得，x＝14，
經(jīng)檢驗x＝14是原分式方程的解，
答：小東從家騎車到公園的平均速度14km/h．
26.【考點】KY：三角形綜合題．
【專題】152：幾何綜合題；67：推理能力．
【分析】（1）根據(jù)題意補全圖1即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代換得到∠MFN＝∠FMN，于是得到結(jié)論；
（3）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直線CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）依題意補全圖1如圖所示；
（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，
∴AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠Q，
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，
∴∠Q＝∠BFC，
∵∠MFN＝∠BFC，
∴∠MFN＝∠Q，
同理，∠NMF＝∠APQ，
∴∠MFN＝∠FMN，
∴NM＝NF；
（3）連接CE，
∵AC⊥PQ，PC＝CQ，
∴AP＝AQ，
∴∠PAC＝∠QAC，
∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q＝90°，
∵∠Q+∠CAQ＝90°，
∴∠CAQ＝∠QBD，
∴∠PAC＝∠FBC，
∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，
∴△APC≌△BFC（AAS），
∴CP＝CF，
∵AM＝CP，
∴AM＝CF，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∵AC＝BC，
∴直線CE垂直平分AB，
∴∠ECB＝∠ECA＝45°，
∴∠GAM＝∠ECF＝45°，
∵∠AMG＝∠CFE，
∴△AGM≌△CEF（ASA），
∴GM＝EF，
∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，
∴BN＝AE+GN．

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