2022-2023學(xué)年安徽省阜陽市太和重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為(    )A.  B.
C.  D. 2.  袋中有除顏色外完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球和個(gè)白球．現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為(    )A.  B.  C.  D. 3.  的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為(    )A.  B.  C.  D. 4.  第屆冬奧會奧運(yùn)村有智能餐廳，人工餐廳，運(yùn)動員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率為，運(yùn)動員甲第二天去餐廳用餐的概率為(    )A.  B.  C.  D. 5.  由，，，，這十個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于的個(gè)數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 6.  將三項(xiàng)式展開，得到下列等式：





觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，
其構(gòu)造方法為：第行為，以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方與左右兩肩上的個(gè)數(shù)不足個(gè)數(shù)時(shí)，缺少的數(shù)以計(jì)之和，第行共有個(gè)數(shù)．則關(guān)于的多項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)(    )
A.  B.  C.  D. 7.  為了促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了名男教師和名女教師去支援新疆教育，要求這名教師被分派到個(gè)學(xué)校對口支教，每名教師只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少安排名教師，其中名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，則不同的分派方法有(    )A. 種 B. 種 C. 種 D. 種8.  已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則不等式的解集為(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.  設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為，，，，并且取，，，是等可能的若，則下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.  C.  D. 10.  對于，關(guān)于下列排列組合數(shù)，結(jié)論正確的是(    )A.  B.
C.  D. 11.  設(shè)，，，則下列結(jié)論中正確的是(    )A.
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 若，，則
D. 當(dāng)，時(shí)，12.  已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 是奇函數(shù) B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)
C. 若是增函數(shù)，則 D. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn) 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  隨機(jī)變量的分布列如表所示，若，則        ．
  14.  若，且，且，則 ______ ．15.  甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球球除顏色外，大小質(zhì)地均相同先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說法正確的序號是______．
事件，相互獨(dú)立；
；
；
；
．16.  已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分現(xiàn)將名志愿者含甲、乙、丙派往三個(gè)社區(qū)做宣傳活動．若甲、乙、丙同去一個(gè)社區(qū)，且每個(gè)社區(qū)都需要名志愿者，求不同安排方法的總數(shù)若每個(gè)社區(qū)至少需要名至多需要名志愿者，求不同安排方法的總數(shù)． 18.  本小題分
甲箱的產(chǎn)品中有個(gè)正品和個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有個(gè)正品和個(gè)次品．
如果是依次不放回地從乙箱中抽取個(gè)產(chǎn)品，求第次取到次品的概率；
若從甲箱中任取個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個(gè)產(chǎn)品，已知從乙箱中取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品，求從甲箱中取出的是個(gè)正品的概率．19.  本小題分
已知為偶函數(shù)，曲線過點(diǎn)，．
求曲線有斜率為的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極值，確定的單調(diào)區(qū)間．20.  本小題分
核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽擾子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有例疑似病例，分別對其取樣、檢測，多個(gè)樣本檢測時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中備份的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無需再檢驗(yàn)現(xiàn)有以下三種方案：
方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；
方案二：四個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；
方案三：平均分成兩組，每組兩個(gè)樣本混合在一起，再分組化驗(yàn)．
在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．
若，現(xiàn)將該例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請問：方案一、二、三中哪個(gè)最“優(yōu)”？
若對例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且想讓“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求的取值范圍．21.  本小題分
已知函數(shù)，．
討論函數(shù)的單調(diào)性；
若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.  本小題分
已知函數(shù)．
為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
則，
故選：．
由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解即可．
本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：袋中有除顏色外完全相同的個(gè)球，其中個(gè)紅球和個(gè)白球．
現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．
設(shè)事件表示“第一次取到紅球”，事件表示“第二次取到白球”，
，，
第一次取得紅球的條件下第二次取得白球的概率為：
．
故選：．
設(shè)事件表示“第一次取到紅球”，事件表示“第二次取到白球”，，，利用條件概率計(jì)算公式能求出第一次取得紅球的條件下第二次取得白球的概率．
本題考查概率的求法，考查條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，
解得，
則展開式的常數(shù)項(xiàng)為：，
故選：．
依據(jù)各項(xiàng)系數(shù)之和為，列出方程求出，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．
本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：運(yùn)動員甲第二天去餐廳用餐的概率．
故選：．
天去哪家餐廳用餐的概率受第天在哪家餐廳用餐的影響，利用全概率公式求解即可．
本題考查全概率的公式，是基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
到十個(gè)數(shù)字中之差的絕對值等于的情況有種：與，與；
分種情況討論：當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為，時(shí)，有；
當(dāng)個(gè)位與百位為，時(shí)，有．
共，
故選：．
由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于的情況有種，即：當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為，時(shí)，當(dāng)個(gè)位與百位為，時(shí)，分別表示出所有的情況，由加法原理計(jì)算可得答案．
本題考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，本題解題的關(guān)鍵是看出兩個(gè)數(shù)字相差時(shí)的所有情況，本題是一個(gè)易錯題．
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)廣義楊輝三角的定義：；
故；
關(guān)于的多項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．
故選：．
直接利用廣義楊輝三角和數(shù)據(jù)的組合的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識要點(diǎn)：定義性問題的應(yīng)用，組合數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：名女教師分派到同一個(gè)學(xué)校，
若只有位女老師分在一個(gè)學(xué)校，則名男教師分成兩組，有，然后組再進(jìn)行排列即可，此時(shí)種，
若還有名男老師和位女老師分子一個(gè)學(xué)校，則有，然后組再進(jìn)行排列即可，此時(shí)種，
則共有種，
故選：．
將位老師分成組，討論位女老師所在學(xué)校有人和人兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可．
本題主要考查排列組合的計(jì)數(shù)問題，將人分成組，討論女老師一組的人數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且，
所以，即，
所以是周期為的函數(shù)，
又，所以，即，
因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)得，
又，所以，即，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
不等式等價(jià)于，
因?yàn)?/span>，所以，
所以，即，
所以，解得，
因此不等式的解集為．
故選：．
由，可得是周期為的函數(shù)，進(jìn)而利用，推出，再結(jié)合為偶函數(shù)及，可得，于是構(gòu)造新函數(shù)，判斷其單調(diào)性，并結(jié)合函數(shù)的周期性，將原不等式轉(zhuǎn)化為，得解．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，找出函數(shù)的周期，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：由題意，
，
，
，
．
故選：．
由等可能得出，結(jié)合求出值，再由期望公式和方差公式計(jì)算后判斷．
本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A，，A正確；
選項(xiàng)B，，B正確；
選項(xiàng)C，，C正確；
選項(xiàng)D，，，，D錯誤．
故選：．
根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，以及排列數(shù)的運(yùn)算逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．
本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查排列數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識，屬于中檔題．
分別令和，所得式子作差可得A正確；
兩邊求導(dǎo)，令即可知B錯誤；
利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)得到，，，由此構(gòu)造不等式組求得，知C正確；
列出的前項(xiàng)，說明前項(xiàng)和大于即可得到D正確．【解答】解：對于，令得：，
令得：，
而，得：，A正確；
對于，，
，
令得：，B錯誤；
由得：，
即，
解得：，
又，，C正確；
對于，當(dāng)時(shí)，，

，
又，
，D正確．
故選：．  12.【答案】 【解析】解：對于、的定義域?yàn)?/span>，且，
則是奇函數(shù)，故A正確；
對于、當(dāng)時(shí)，，得，
可得在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯誤；
對于、，
若是增函數(shù)，則恒成立，即恒成立，
令，則，，
單調(diào)遞增，而，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則，可得，故C正確；
對于、當(dāng)時(shí)，，令，
則，，則單調(diào)遞增，
又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
則，，，
存在，，使得成立，
則在上，，在上，，在上，．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D正確．
故選：．
利用函數(shù)奇偶性定義判斷；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定判斷；由導(dǎo)函數(shù)大于等于恒成立，分離參數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)求最值判斷；求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)情況，可得原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到原函數(shù)極值點(diǎn)的情況判斷．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，屬難題．
 13.【答案】 【解析】解：依題意可得，解得，
所以，
所以．
故答案為：．
利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．
本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查了期望的線性性質(zhì)，屬于中檔題．
 14.【答案】 【解析】解：若，
，
故能被整除，
，
能被整除，
，
．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理，推得，再運(yùn)用二項(xiàng)式定理，即可求解．
本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由題意可得，，，，故錯誤，
，故錯誤，
，，故正確，
，
，故正確，
，故正確．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，以及條件概率公式，即可求解．
本題主要考查全概率公式，以及條件概率公式，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：，則，
令，由，可得為偶函數(shù)，
則，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，，
由題意得方程有兩個(gè)互為相反數(shù)的零點(diǎn)，，且，
則的取值范圍為．
故答案為：．
先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則方程有兩個(gè)異號零點(diǎn)，，且，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性，進(jìn)而求得的取值范圍．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：依題意可得不同安排方法的總數(shù)為．
根據(jù)題意，這名志愿者人數(shù)分配方案共有三類：
第一類是，，，第二類是，，，第三類是，，．
故不同安排方法的總數(shù)為． 【解析】名志愿者平均分為組，再組進(jìn)行分配；
由題意可分為，，三種分配方案，分別分組分配計(jì)算即可．
本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：設(shè)“第次從乙箱中取到次品”，．
，，，
由全概率公式得：第次取到次品的概率為：
．
設(shè)事件“從乙箱中取一個(gè)正品”，事件“從甲箱中取出個(gè)產(chǎn)品都是正品”，
事件“從甲箱中取出個(gè)正品個(gè)次品”，事件“從甲箱中取出個(gè)產(chǎn)品都是次品”，
則、、彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所以
，
所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：
． 【解析】設(shè)“第次從乙箱中取到次品”，，由全概率公式能求出第次取到次品的概率；
設(shè)事件“從乙箱中取一個(gè)正品”，事件“從甲箱中取出個(gè)產(chǎn)品都是正品”，事件“從甲箱中取出個(gè)正品個(gè)次品”，事件“從甲箱中取出個(gè)產(chǎn)品都是次品”，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，由此能求出結(jié)果．
本題考查概率的求法，考查全概率公式、條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：為偶函數(shù)，故即有
解得
又曲線過點(diǎn)，得，有
從而，
曲線有斜率為的切線，故有有實(shí)數(shù)解．即有實(shí)數(shù)解．
此時(shí)有解得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍：；
因時(shí)函數(shù)取得極值，故有即，解得
又令，得，
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)
當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)． 【解析】據(jù)偶函數(shù)的定義求出值，將點(diǎn)代入得值，據(jù)導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率，
有有實(shí)數(shù)解，由得范圍．
，函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，導(dǎo)數(shù)大于對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于對應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．
本題考查偶函數(shù)的定義；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．
 20.【答案】解：方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為，，
所以，，
所以方案二檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；
方案三：每組兩個(gè)樣本檢測時(shí)，若呈陰性則檢測次數(shù)為次，其概率為，
若呈陽性則檢測次數(shù)為次，其概率為，
設(shè)方案三的檢測次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為，，，
所以，，，
所以方案三檢測次數(shù)的期望為，
因?yàn)?/span>，
所以方案一最優(yōu)；
方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為，，
所以，，
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，
由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，
可得，即，解得，
所以當(dāng)時(shí)，方案二比方案一更“優(yōu)”． 【解析】求得三個(gè)方案的檢測次數(shù)的期望值，由此判斷出最優(yōu)的方案；
記方案二的檢測次數(shù)為，求出對于隨機(jī)變量的概率，從而求出數(shù)學(xué)期望，由方案二檢測次數(shù)的期望值，即可求得的取值范圍．
本題主要考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以，
若，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，
若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
由等價(jià)于．
令，函數(shù)，則，由，可得．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故．
所以的取值范圍為． 【解析】化簡函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，通過的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
由等價(jià)于令，函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得到的取值范圍．
本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是難題．
 22.【答案】解：依題意得對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
所以，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
證明：由知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，不滿足條件，
當(dāng)時(shí)，令，
得，則，所以其兩根為，，
由韋達(dá)定理得，
又因?yàn)?/span>，所以，滿足條件，
令，則，
所以，所以，
要證只需證，
即證，即證，即，
令，即證，
令，，
則，
所以在單增，，
故結(jié)論得證． 【解析】先求，將對任意的恒成立問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立問題，再分離參數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；
結(jié)合知當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，不滿足條件；討論當(dāng)時(shí)，得到，滿足條件，先證明，再將要證轉(zhuǎn)化為只需證，構(gòu)造函數(shù)，再通過函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查不等式恒成立問題，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
 

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