2021屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】分別求出集合，然后取交集即可.【詳解】由題意，，， 所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法，考查集合的并集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知都是常數(shù)，.若的零點(diǎn)為，則下列不等式正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】此題可轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用二次函數(shù)的圖像即可得到.【詳解】若的零點(diǎn)為，則與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令，則與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，如圖所示，其中，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考零點(diǎn)的概念即利用圖像比較大小，屬于簡單題.3．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個數(shù)與、的大小關(guān)系，由此可得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，又，即.因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小關(guān)系，一般利用中間值法來比較，屬于基礎(chǔ)題.4．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】解：實(shí)數(shù)，滿足，則，所以.可得.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休. 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)在區(qū)間上的圖象的大致形狀是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先由函數(shù)的奇偶性確定部分選項(xiàng)，再通過特殊值得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以在區(qū)間上是偶函數(shù)，故排除B，D，又，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.6．已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知求得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程，解之可得選項(xiàng).【詳解】由已知得，又，所以，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個交點(diǎn)，若，則（    ）A． B． C． D．或【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，利用求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為.設(shè)點(diǎn)、，則，，，可得，解得，由拋物線的定義可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線的定義求焦半徑，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8．明代朱載堉創(chuàng)造了音樂學(xué)上極為重要的“等程律”．在創(chuàng)造律制的過程中，他不僅給出了求解三項(xiàng)等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的方法，還給出了求解四項(xiàng)等比數(shù)列的中間兩項(xiàng)的方法．比如，若已知黃鐘、大呂、太簇、夾鐘四個音律值成等比數(shù)列，則有，，．據(jù)此，可得正項(xiàng)等比數(shù)列中，（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可得三項(xiàng)等比數(shù)列的中項(xiàng)可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，四項(xiàng)等比數(shù)列的第2、第3項(xiàng)均可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，從而類比出正項(xiàng)等比數(shù)列中的可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示.【詳解】因?yàn)槿?xiàng)等比數(shù)列的中項(xiàng)可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，四項(xiàng)等比數(shù)列的第2、第3項(xiàng)均可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，所以正項(xiàng)等比數(shù)列中的可由首項(xiàng)和末項(xiàng)表示，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查類比推理能力和邏輯推理能力，求解時要先讀懂題目的文化背景，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行等價(jià)變形求解. 二、多選題9．下列有關(guān)命題的說法正確的是（    ）A．，使得成立B．命題，都有，則，使得C．函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)D．若、、均為正實(shí)數(shù)，且，，則【答案】BD【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，令，再由對勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；由全稱命題的否定為特稱命題，可判斷B；由兩函數(shù)的定義域是否相同，對應(yīng)關(guān)系是否相同進(jìn)行判斷C；令，則，則，然后利用對數(shù)的性質(zhì)可求出其范圍，進(jìn)而可判斷D【詳解】解：對于A，由，可得，令，，在上遞減，可得的最小值為，所以A錯誤；對于B，由全稱命題的否定為特稱命題，改量詞否結(jié)論，所以B正確；對于C，的定義域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>或，定義域不相同，所以兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以C錯誤；對于D，令，則，，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，所以，所以，所以，即，所以D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題10．已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．當(dāng)時，曲線為圓B．當(dāng)時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充分而不必要條件D．存在實(shí)數(shù)使得曲線為雙曲線，其離心率為【答案】AB【解析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，曲線的方程為，對于A總，當(dāng)時，曲線的方程為，此時曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以是正確的；對于B中，當(dāng)時，曲線的方程為，可得，此時雙曲線漸近線方程為，所以是正確的；對于C中，當(dāng)曲線的方程為表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以 “”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件，所以不正確；對于D中，當(dāng)曲線的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實(shí)半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力.11．已知函數(shù)則下列說法正確的是（    ）A．的值域是B．是以為最小正周期的周期函數(shù)C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在上有個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】采用數(shù)形結(jié)合，并逐一驗(yàn)證可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)在的圖象，如圖所示A. 根據(jù)圖像可知，的值域是，正確；B. 是以為最小正周期的周期函數(shù)，錯誤；C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確；D. 在上有個零點(diǎn)，正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能畫出函數(shù)圖形，形是數(shù)的載體，通俗易懂，形象直觀，屬中檔題.12．一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示， ，現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起，得三棱錐，取中點(diǎn)與中點(diǎn)，則下列判斷中正確的是（    ）A．直線面B．與面所成的角為定值C．設(shè)面面，則有∥D．三棱錐體積為定值.【答案】ABC【解析】對于A，利用線面垂直的判定定理即可解決；對于B，C，依托于選項(xiàng)A即可較容易得到.點(diǎn)到平面的距離不等確定，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于A，由中點(diǎn)與中點(diǎn)，得,得，由為等腰直角三角形得，由，面，得直線面，故A正確；對于B，由A得，與面所成的角為，為定值，故B正確；對于C，由A得，，故面，由面，面面，所以∥，故C正確；對于D，的面積為定值，但三棱錐的高會隨著點(diǎn)的位置移動而變化，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】此題考立體幾何中關(guān)于線面垂直，線面角，線面平行的判定與性質(zhì)，屬于簡單題.  三、填空題13．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】畫出的圖像及y=1的圖像，可得其交點(diǎn)為（0，1），（e，1），由可得m的取值范圍.【詳解】解：如圖所示：可得的圖像與y=1的交點(diǎn)分別為（0，1），（e，1），所以，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是，可得答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)及不等式的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.14．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.【答案】【解析】先由題干求出是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，并且求得，進(jìn)而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】解：，，當(dāng)時，由，可得，即.是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列...當(dāng)時，.當(dāng)時，上式成立.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題能力，屬于中檔題.15．若，則=____________.【答案】2020【解析】由條件求出，化簡待求式為的形式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，解得，所以，故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.16．在三棱錐中，底面，，，，則此三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】由題可知此三棱錐外接球等價(jià)于長方體的外接球，即可求出球半徑，進(jìn)而求出表面積.【詳解】由題可知兩兩垂直，可以把三棱錐延伸至以為長、寬、高的長方體中，且進(jìn)而此三棱錐與該長方體共外接球，通過長方體可以求得外接球半徑為（設(shè)外接球半徑為，表面積為S）：，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球問題，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題17．①在函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的圖像，的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，②向量，；③函數(shù)這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知_______，函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)選擇一個條件，轉(zhuǎn)化條件得，將代入即可得解；(2)令,解得的取值范圍后給賦值即可得解.【詳解】（1）選擇條件①：依題意，相鄰兩對稱軸之間距離為，則周期為，從而， 從而，，又的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，由知，從而，選擇條件②：依題意，即有：又因?yàn)?/span>相鄰兩對稱軸之間距離為，則周期為，從而，從而，選擇條件③：依題意，即有：化簡得：即有：又因?yàn)?/span>相鄰兩對稱軸之間距離為，則周期為，從而，從而，（2），則其單調(diào)遞減區(qū)間為，解得，令，得，從而在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，考查了三角恒等變換的應(yīng)用和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.18．如圖所示，，，均為邊長為的正三角形，點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)在線段上，且滿足， 連接、，設(shè)，.試用，表示，，；求的值.【答案】，，；45.【解析】根據(jù)向量的加減的幾何意義表示出，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，求出直線的方程，進(jìn)而利用向量積求出的值.【詳解】由知，，從而有：， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得，，，直線的方程為.設(shè)，則.即有.則.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)用，向量的加減的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.19．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意，左右同除得：，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，代入可得，利用錯位相減求和法，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由，兩邊同時除以得：從而有：， ，，累加可得：， 所以，又滿足等式，從而；（2），，所以有，即有：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)、錯位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，若出現(xiàn)時（為關(guān)于n的表達(dá)式），用累加法求通項(xiàng)；若出現(xiàn)時，用累乘法求通項(xiàng)，本題難點(diǎn)在于根據(jù)條件，左右同除，構(gòu)造，符合累加法的形式，即可進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算化簡的能力，屬于中檔題.20．若銳角中，角所對的邊分別為，若的圖像在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求面積的最大值.【答案】.【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則根據(jù)題意可知，可得，根據(jù)可求出，根據(jù)正弦定理表示出，將面積用關(guān)于角A的三角函數(shù)表示出來，即可根據(jù)的范圍求出最值.【詳解】（1），依題意，有：從而有：由，，             .依正弦定理，有，同理 ，從而有：，  ，當(dāng)時，取到最大值，因此，的面積最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.21．如圖，有一生態(tài)農(nóng)莊的平面圖是一個半圓形，其中直徑長為2km，C、D兩點(diǎn)在半圓弧上滿足，設(shè)，現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光通道，由和組成.（1）用表示觀光通道的長，并求觀光通道的最大值；（2）現(xiàn)要在農(nóng)莊內(nèi)種植經(jīng)濟(jì)作物，其中在中種植鮮花，在中種植果樹，在扇形內(nèi)種植草坪，已知種植鮮花和種植果樹的利潤均為百萬元/km2，種植草坪利潤為百萬元/km2，則當(dāng)為何值時總利潤最大？【答案】（1）5km；（2）.【解析】（1）根據(jù)直徑的長度和角度計(jì)算出的長度，寫出的函數(shù)解析式，注意定義域，判斷取何值的時候有最大值并計(jì)算出最大值；（2）將三個三角形的面積計(jì)算出來并求利潤和的表示，利用導(dǎo)數(shù)去計(jì)算函數(shù)的最值，確定取等號時的取值.【詳解】（1）作，垂足為，在直角三角形中，，則有，同理作，垂足為，，即：，從而有： 當(dāng)時，取最大值5，即觀光通道長的最大值為5km.
 （2）依題意，，則總利潤，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，總利潤取得最大值，最大值為百萬元.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.（1）求解實(shí)際問題中的函數(shù)解析式時，要注意不要漏寫定義域；（2）求解三角函數(shù)的有關(guān)最值，要注意也可通過導(dǎo)數(shù)的方法來先確定單調(diào)性然后再確定最值.22．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求得，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）分和兩種情況討論，在時驗(yàn)證即可；在時，將所求不等式變形為，由（1）中的結(jié)論可得出，參變量分離可得對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，.從而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由于對任意的恒成立，即恒成立，①當(dāng)時，，，則恒成立；②當(dāng)時，即恒成立，即恒成立，即，即，由知，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，可得，即.令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，此時.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立問題，考查了指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題. 

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