河南省TOP二十名校2023屆高三猜題大聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)（理科）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．設(shè)，則（    ）A．5 B． C．6 D．2．設(shè)集合，則（    ）A． B． C． D．3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A． B． C． D．4．設(shè)都是單位向量，且，則向量的夾角等于（    ）A． B． C． D．5．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（    ）A．0 B． C． D．6．的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于（    ）A．45 B．10 C． D．7．已知，則（    ）A． B． C． D．8．我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則（    ）A．輸出的m的值為25 B．輸出的n的值為75C．輸出的m的值為大僧的人數(shù) D．輸出的n的值為大僧的人數(shù)9．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，設(shè)的平分線交橢圓的長(zhǎng)軸于點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．10．已知，則（    ）A． B． C． D．11．在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對(duì)的邊，點(diǎn)是的重心，若，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．12．已知四棱錐的底面是矩形，.若四棱錐的外接球的體積為，設(shè)是該球上的一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（    ）A． B． C． D． 二、填空題13．已知雙曲線滿足下列條件中的兩個(gè)：①實(shí)軸長(zhǎng)為4；②焦距為6；③離心率，則雙曲線的方程為___________.（寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可）14．若某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為___________.  15．如圖，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且互相垂直的兩條直線AC和BD與圓相交于A，C，B，D四點(diǎn)，則四邊形ABCD面積的最大值為___________．16．已知圖象上有一最低點(diǎn)，若圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖象，又的所有根從小到大依次相差3個(gè)單位，則___________. 三、解答題17．李同學(xué)在暑假期間進(jìn)行一項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，隨機(jī)抽取了80名喜愛(ài)身體鍛煉的年輕人，調(diào)查他們是否將跑步作為主要鍛煉方式，得到如下數(shù)據(jù)不完整的列聯(lián)表： 將跑步作為主要鍛煉方式不是將跑步作為主要鍛煉方式合計(jì)男性2020 女性 30 合計(jì)  80 (1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān)？(2)在被調(diào)查的80人中，從不是將跑步作為主要鍛煉方式的人群中按性別采取分層抽樣的方法抽取5人參加體育健身學(xué)習(xí)活動(dòng)，再?gòu)闹羞x取2人作為代表發(fā)言，記2人中女性人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.400.250.100.0100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.82818．如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn).  (1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.19．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比它到直線的距離小3.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．已知定義在上的函數(shù)，其中.(1)若函數(shù)存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)存在三個(gè)零點(diǎn)，其中.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，求面積的最大值.23．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)解不等式；(2)設(shè)均為正數(shù)，且，求的最小值.
參考答案：1．D【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，則.故選：D.2．A【分析】將集合M、N中表達(dá)式化為、，再由此判斷表達(dá)式中分子所表示集合的關(guān)系，即可確定M、N的包含關(guān)系【詳解】根據(jù)已知得，所以.故選：A.3．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切點(diǎn)和斜率，即可求切線方程.【詳解】，故切點(diǎn)為，，，即切線的斜率為1，所以切線方程為，即.故選：D.4．C【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時(shí)平方,由都是單位向量可求出的夾角.【詳解】由，可知，故，所以.設(shè)的夾角為，即，又，所以.故選：C.5．B【分析】利用即可求出，即可求解【詳解】，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意,所以，所以.故選：B.6．A【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，賦值即可求解.【詳解】的通項(xiàng)為，令，解得，故的系數(shù)等于.故選：A7．B【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式可求的值.【詳解】，故選：B.8．D【分析】根據(jù)程序框圖，模擬執(zhí)行程序即可得解.【詳解】執(zhí)行程序框圖：，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，繼續(xù)執(zhí)行；，退出循環(huán)，輸出.輸出的的值為小僧的人數(shù)，輸出的的值為大僧的人數(shù).故選：D.9．C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合，解得，由題意，解不等式即可得出答案.【詳解】橢圓中，，，  因?yàn)?/span>是的平分線，則，又因?yàn)?/span>，所以，解得，由題意，所以，解得.故選：C.10．A【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性，可知，則，同理構(gòu)造函數(shù)，可得，即可得出答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，得，即；構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：比較代數(shù)式大小的常見(jiàn)方法有：（1）利用函數(shù)單調(diào)性；（2）利用中間量；（3）構(gòu)造函數(shù).11．C【分析】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由重心的性質(zhì)可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量的數(shù)量積以及余弦定理可得出，推導(dǎo)出，再結(jié)合銳角三角形這一條件以及余弦定理求出的取值范圍，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則，由重心的性質(zhì)可得，則，因?yàn)?/span>，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因?yàn)?/span>為銳角三角形，則，即，即，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，任取、且，則.當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在涉及到三角形中的中線問(wèn)題，一般利用向量法來(lái)處理，結(jié)合三角形中的余弦定理來(lái)求解，本題中要求解的是角的余弦值的取值范圍，要充分利用已知條件將角的余弦值表示為以某個(gè)變量為自變量的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形這一條件求出變量的取值范圍，再利用相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求解.12．D【分析】易得四邊形ABCD和三角形PAD的外接圓的圓心，分別再作垂線從而得到外接球的球心，再由為直角三角形，得到其外接圓直徑PB，再結(jié)合外接球的半徑求得球心到面PAB的距離,再加上外接球的半徑，得到M到面PAB的最大值距離求解.【詳解】解：如圖，  在矩形中，連接對(duì)角線，記，則點(diǎn)為矩形的外接圓圓心，設(shè)，在中，由余弦定理得，即，的外接圓半徑為.記的外接圓圓心為，則，取的中點(diǎn)，連接，顯然，，且共線，因?yàn)?/span>，所以平面，即平面，平面，有，而平面，所以平面.過(guò)作平面，使，連接，于是，則四邊形為矩形，有，則平面，根據(jù)球的性質(zhì)，得點(diǎn)為四棱錐外接球的球心，因?yàn)榍?/span>的體積為，所以，解得，而，在中，，所以外接圓直徑.取的中點(diǎn)，連接，顯然為外接圓圓心，則平面，且，所以四棱錐的外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為8，即三棱錐的高的最大值為8，而，故三棱錐的體積的最大值為.故選：D.13．（或或）【分析】根據(jù)所選擇的兩個(gè)條件，得到，即可求雙曲線方程.【詳解】若選①②，因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，所以，又焦距為6，所以，則，故此時(shí)雙曲線的方程為；若選①③，因?yàn)?/span>，得，又實(shí)軸長(zhǎng)為4，得，所以，則，故此時(shí)雙曲線的方程為；若選②③，因?yàn)?/span>，又焦距為6，所以，所以，故此時(shí)雙曲線的方程為.故答案為：（或或）14．4【分析】由三視圖可得該幾何體為三棱錐，其中棱錐的高PO為2，，在中，邊上的高CM為3，利用勾股定理求各棱長(zhǎng)即可.【詳解】由三視圖可得該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中棱錐的高PO為2，，在中，邊上的高CM為3，則，，，，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為4.  故答案為：415．45【分析】根據(jù)圓中的弦長(zhǎng)公式可得,，結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】由題設(shè)，則圓心，半徑，,若圓心到直線AC，BD的距離則，且，則,，而，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值．故答案為：  16．/【分析】根據(jù)三角恒等變換、三角函數(shù)的最值、圖像變換、周期和方程的根等知識(shí)來(lái)求得的解析式.【詳解】由題意得，其中，因?yàn)?/span>是圖象的最低點(diǎn)，所以，所以，所以，橫坐標(biāo)縮為原來(lái)的得，向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度得，所以.由的所有根從小到大依次相差3個(gè)單位，可知與的相鄰交點(diǎn)間的距離相等，所以過(guò)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，或經(jīng)過(guò)所有的對(duì)稱中心.①當(dāng)過(guò)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)，每?jī)蓚€(gè)根之間相差一個(gè)周期，即相差6，不合題意；②當(dāng)過(guò)曲線所有的對(duì)稱中心時(shí)，則，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，對(duì)于的化簡(jiǎn)，主要利用的是兩角和與差的正余弦公式，化為，也可化為，也可根據(jù)題意選擇合適的一個(gè)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，屬于中檔題.17．(1)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān)(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望： 【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表即可，根據(jù)公式求出，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)得出抽取的5人中，男性2人，女性3人，進(jìn)而得出的可能值，分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，將數(shù)據(jù)代入期望的計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）列聯(lián)表如下： 將跑步作為主要鍛煉方式不是將跑步作為主要鍛煉方式合計(jì)男性202040女性103040合計(jì)305080，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為是否將跑步作為主要鍛煉方式與性別有關(guān).（2）抽取的5人中，男性有人，女性有人，的可能值有0，1，2，，的分布列為012.18．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，進(jìn)而證得平面；（2）由（1）得，和法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，.因?yàn)?/span>為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由令，可得，所以，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>平面，所以平面.（2）解：由（1）得，，設(shè)直線與平面所成的角為，則.  19．(1)(2) 【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)，作差得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得到，即可得解.【詳解】（1）由，得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為等差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，∴數(shù)列的前項(xiàng)和.∵，∴單調(diào)遞增，∴，∵，∴，若使得對(duì)一切恒成立，則，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．(1)(2)存在，直線的方程為或 【分析】（1）由題意，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，結(jié)合拋物線的定義，可得答案；（2）由題意，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，利用正切二倍角公式以及銳角正切函數(shù)的定義，建立等式，可得，直線斜率是否為零，分兩種情況進(jìn)行討論，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比它到直線的距離小于3，所以拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，所以，解得，故拋物線的方程是，拋物線的準(zhǔn)線方程為.（2）由題意得，且斜率一定存在，設(shè)，由，消去可得，則.設(shè)中點(diǎn)為，如圖，  則，解得，即.當(dāng)時(shí)，易知，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè).因?yàn)?/span>垂直平分，所以的斜率為，易知，因此有.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，由題意，，即，兩邊平方整理可得，解得，故存在直線使得，且直線的方程為或.21．(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值即可；（2）（i）將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為除1外還有兩個(gè)零點(diǎn).分類討論使條件成立的的取值范圍即可；（ii）結(jié)合（i）可得.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1），結(jié)合，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)不存在極值；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)為函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)存在極值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）易得，（i），設(shè)，因?yàn)?/span>，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn).，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則，所以.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，又，所以，而，且，，且，所以存在，使得，即有3個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ii）證明：結(jié)合（i）因?yàn)?/span>，若，則，所以.當(dāng)時(shí)，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.由，可得，因?yàn)?/span>，所以，即，兩邊同除以，得，即，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)證明中的等價(jià)轉(zhuǎn)化是一種常用的方法；（i）求使得有3個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍，得，還需找點(diǎn)說(shuō)明除1外還有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由欲證命題知需先求與之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式特征發(fā)現(xiàn)進(jìn)而得到，推斷需證明當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)即可證明.22．(1)，(2) 【分析】（1）由消去t即可；由，得到，再由代入求解；（2）設(shè)，從而的面積為求解.【詳解】（1）解：由得，故直線的普通方程是；由，得，代入公式，得，故曲線的直角坐標(biāo)方程是.（2）設(shè)，則的面積為，，，因?yàn)?/span>，故，所以，則，故，所以，即面積的最大值為.23．(1)(2)最小值為3 【分析】（1）由，分別令，，再利用函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱求得m，然后利用絕對(duì)值的幾何意義解不等式；（2）由（1）得到，進(jìn)而得到，再利用基本不等式求解.【詳解】（1），令，解得；令，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；不等式即為，當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得.綜上，不等式的解集是.（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為3. 

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