基礎夯實練23  任意角和弧度制、三角函數的概念1．與－2 023°終邊相同的最小正角是(　　)A．137°  B．133°  C．57°  D．43°2．(2023·合肥模擬)在平面直角坐標系中，若角θ的終邊經過點P，則cos θ等于(　　)A.  B．－  C.  D．－3．如圖所示的時鐘顯示的時刻為4：30，此時時針與分針的夾角為α(0<α≤π)．若一個半徑為1的扇形的圓心角為α，則該扇形的面積為(　　)A.  B.  C.  D.4．(2023·惠州模擬)如果點P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為(　　)A．第一象限   B．第二象限C．第三象限   D．第四象限5．(2023·南昌模擬)我國在文昌航天發(fā)射場用長征五號運載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，順利將探測器送入預定軌道，經過兩次軌道修正，嫦娥五號順利進入環(huán)月軌道飛行，嫦娥五號從橢圓形環(huán)月軌道變?yōu)榻鼒A形環(huán)月軌道，若這時把近圓形環(huán)月軌道看作圓形軌道，嫦娥五號距離月球表面400 千米，已知月球半徑約為1 738 千米，則嫦娥五號繞月每旋轉弧度，飛過的路程約為(取π≈3.14)(　　)A．1 069千米   B．1 119千米C．2 138千米   D．2 238千米6.(2023·麗江模擬)屏風文化在我國源遠流長，可追溯到漢代．某屏風工藝廠設計了一款造型優(yōu)美的扇環(huán)形屏風，如圖，扇環(huán)外環(huán)弧長為3.6 m，內環(huán)弧長為1.2 m，徑長(外環(huán)半徑與內環(huán)半徑之差)為1.2 m，若不計外框，則扇環(huán)內需要進行工藝制作的面積的估計值為(　　)A．2.58 m2   B．2.68 m2C．2.78 m2   D．2.88 m27．(2023·安陽模擬)已知角α的終邊上一點P的坐標為，則角α的最小正值為________．8.數學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊△ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長為2π，則其面積是________．9．已知＝－，且lg(cos α)有意義．(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點M，且|OM|＝1(O為坐標原點)，求m的值及sin α的值．                 10．如圖，在平面直角坐標系Oxy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A(1,0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．(1)若點B的橫坐標為－，求sin α的值和與角α終邊相同的角β的集合；(2)若α∈，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式．(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形)                   11．在平面直角坐標系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關系式為(　　)A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)12．(多選)已知點P(sin x－cos x，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是(　　)A.   B.C.   D.13．已知△ABC為銳角三角形，若角θ的終邊過點P(sin A－cos B，cos A－sin C)，則＋＋的值為(　　)A．1  B．－1  C．3  D．－314．在北京冬奧會短道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37秒348的成績獲得金牌．如圖，短道速滑的比賽場地的內圈半圓的彎道計算半徑為8.5 m，直道長為28.85 m，點O為半圓的圓心，點N為彎道與直道的連接點，運動員沿滑道逆時針滑行，在某次短道速滑比賽最后一圈的沖刺中，運動員小夏在彎道上的P點處成功超過所有對手，并領先到達終點Q(終點Q為直道的中點)．若從P點滑行到Q點的距離為31.425 m，則∠PON等于(　　)A.  B.  C．2  D.15.(2023·常州模擬)趙爽是我國古代數學家、天文學家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經》一書時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形中較小的銳角為α，則sin αcos α的值為(　　)A.  B.  C.  D.16．如圖，點P是半徑為2的圓O上一點，現將如圖放置的邊長為2的正方形ABCD(頂點A與P重合)沿圓周逆時針滾動．若從點A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當點A第一次回到點P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點A走過的路徑的長度為________．
參考答案1．A　2.D　3.C　4.B　5.D　6.D7.8．2π－2解析　由條件可知，弧長＝＝＝，等邊三角形的邊長AB＝BC＝AC＝＝2，則以點A，B，C為圓心，圓弧AB，BC，AC所對的扇形面積為××2＝，中間等邊△ABC的面積S＝×2×＝.所以萊洛三角形的面積是3×－2＝2π－2.9．解　(1)由＝－，得sin α<0，由lg(cos α)有意義，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因為|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.又α為第四象限角，故m<0，從而m＝－，sin α＝＝＝＝－.10．解　(1)由題意知，若點B的橫坐標為－，可得B的坐標為，∴sin α＝，于是α＝＋2kπ，k∈Z，與角α終邊相同的角β的集合為.(2)△AOB的高為1×cos  ，AB＝2sin ，故S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α，故弓形AB的面積S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.11．D　[∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．]12．AD　[由點P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.當k＝0時，x所在的一個區(qū)間是，當k＝1時，x所在的一個區(qū)間是.]13．B　[因為△ABC為銳角三角形，所以A＋B>，A＋C>，即A>－B，C>－A，所以sin A>cos B，sin C>cos A，所以θ是第四象限角，所以＋＋＝－1＋1－1＝－1.]14．C　[扇形PON的弧長為31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.]15．B　[設直角三角形的短直角邊為x，一個直角三角形的面積為＝20，小正方形的面積為20，則邊長為2.大正方形的面積為100，則邊長為10.直角三角形的面積為·x(x＋2)＝20?x＝2. 則直角三角形的長直角邊為4.故sin α＝，cos α＝，即sin αcos α＝.]16．3　(＋2)π解析　正方形滾動一輪，圓周上依次出現的正方形頂點為B→C→D→A，頂點兩次回到點P時，正方形頂點將圓周正好分成六等份，又4和6的最小公倍數為3×4＝2×6＝12，所以到點A首次與P重合時，正方形滾動了3輪．這一輪中，點A路徑A→A′→A″→A是圓心角為，半徑分別為2,2，2的三段弧，故路徑長l＝·(2＋2＋2)＝，所以點A與P重合時總路徑長為(＋2)π.
 

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