2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知角的終邊與角終邊關(guān)于軸對稱，則的關(guān)系是_____．【答案】##【分析】利用角與終邊關(guān)于y軸對稱的關(guān)系及周期性求解【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱，在一個周期中，，即，所以由周期性知，．故答案為：，．2．若，則______.【答案】【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【詳解】因?yàn)?/span>， 所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式的應(yīng)用，考查了代入思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3．已知，，若在方向上的數(shù)量投影是2，則與的夾角的余弦值是______.【答案】【分析】寫出數(shù)量投影的定義，以及向量夾角公式，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】由條件可知，設(shè)與的夾角為，則.故答案為：4．如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度厘米滿足下列關(guān)系：，，則每秒鐘小球能振動______次.【答案】【分析】求正弦型函數(shù)的頻率.【詳解】函數(shù)，的周期，故頻率為.所以每秒鐘小球能振動次.故答案為：.5．在中，若，則的最大值是____．【答案】【分析】利用正弦定理進(jìn)行角變邊可得，利用余弦定理和角的范圍即可求解【詳解】結(jié)合正弦定理得，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，則的最大值是．故答案為：6．已知函數(shù)（），將的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，令，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值為________【答案】【詳解】由題意可知：∴又對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，∴為的最小值， 為的最大值∴，，，∴的最小值為 二、單選題7．設(shè)，若是角的終邊上一點(diǎn)，則下列各式恒為負(fù)值的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義，求出角的三角函數(shù)值，再根據(jù)確定正負(fù)性.選項(xiàng)A可根據(jù)進(jìn)行判定；選項(xiàng)C可由正切的范圍進(jìn)行判定；選項(xiàng)B，D可由三角函數(shù)值的正負(fù)性進(jìn)行判定.【詳解】由題知，，，，.其中為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.，因?yàn)?/span>，所以的取值可正可負(fù)可為0，故的取值可正可負(fù)可為0.故選項(xiàng)A錯誤；，因?yàn)?/span>，，所以恒成立.故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?/span>，當(dāng)時，有.又時，，.故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)?/span>，，所以.故選項(xiàng)D錯誤.故選：B.8．函數(shù)的圖像可以由的圖像（    ）個單位得到.A．向左平移 B．向右平移C．向左平移 D．向右平移【答案】D【分析】由，可以確定函數(shù)圖象之間的變換，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以只需由的圖像向右平移個單位得到.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵要找到兩個函數(shù)解析式的差異，確定圖象的變換方式，屬于容易題.9．若O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用向量運(yùn)算化簡已知條件，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，,，所以，所以三角形是等腰三角形.故選：A10．設(shè)函數(shù)，則（    ）A．它的定義域是[-1，1] B．它是偶函數(shù)C．它的值域是 D．它不是周期函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的定義得到定義域，根據(jù)偶函數(shù)的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定為偶函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域和余弦函數(shù)的單調(diào)性對稱性求得值域；根據(jù)正弦函數(shù)的周期性得到函數(shù)的周期性.【詳解】記，定義域?yàn)?/span>R,故A錯誤；,∴是偶函數(shù)，故B正確；∵,∴,故C錯誤；,∴是函數(shù)的周期，故D錯誤.故選：B.11．給出下列命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù)，使得；③若是第一象限角且，則；④是函數(shù)的一條對稱軸方程；函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形其中正確的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】對于①，先化簡，再判斷廳偶性；對于②，利用輔助解公式化簡后判斷；對于③，舉例判斷；對于④，代入驗(yàn)證即可【詳解】解：對于①，因?yàn)?/span>（），，所以此函數(shù)是奇函數(shù)，所以①正確；對于②，因?yàn)?/span>，所以②錯誤；對于③，若，此時，所以③錯誤；對于④，當(dāng)時，，所以是函數(shù)的一條對稱軸方程；當(dāng)時，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，所以④錯誤，故選：A12．已知、是任意一個銳角三角形的兩個內(nèi)角，下面式子一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的性質(zhì)或特殊值進(jìn)行判定.【詳解】由題意得，所以，所以，即，A正確；因?yàn)?/span>，所以，B不正確；當(dāng)時，，C不正確；由，所以，所以，所以，D不正確.故選：． 三、解答題13．已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為.（1）求，；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算求解；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算求得，結(jié)合（1）中求得的模，利用向量的夾角余弦值公式計(jì)算即得.【詳解】（1），；（2），所以.14．如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中，，長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中、、分別在、、上．設(shè)．（1）若，求的邊長；（2）當(dāng)多大時，的邊長最??？并求出最小值．【答案】（1）千米；（2）當(dāng)時，的邊長取得最小值為千米.【分析】（1）由題意易得為等邊三角形，從而可求；（2）由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式進(jìn)行化簡即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)的邊長為千米，由得，，中，，，為等邊三角形，，故，即的邊長為；（2）設(shè)的邊長為千米，所以，，中，，，，由正弦定理得，，故，當(dāng)時取得最小值，即的邊長最小值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.15．已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值；（2）將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求的解析式；（3）在（2）的條件下，若對于任意的，，當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）1；（2）；（3）.【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，求得．（2）由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．（3）令，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，【詳解】解：（1）所以因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為且，所以，解得，所以的值為1.（2）因?yàn)?/span>圖像上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像又，所以所以的解析式為（3）令因?yàn)閷τ谌我獾?/span>，，當(dāng)時，恒成立，所以在嚴(yán)格單調(diào)遞增，由，整理可得，所以嚴(yán)格單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，解得所以的取值范圍是.16．對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)、，使得成立，稱是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“躍點(diǎn)”．(1)求證：函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)；(2)若函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否同時存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)使得函數(shù)在上有2022個“躍點(diǎn)”？若存在，請求出所有符合條件的和；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，或或 【分析】（1）根據(jù)題意令，利用零點(diǎn)存在定理即可證明；（2）由題意可得，可整理得，然后用基本不等式求解即可；（3）根據(jù)題意可得到，然后分，，或三種情況進(jìn)行討論即可【詳解】（1），所以，，令，因?yàn)?/span>，，所以由零點(diǎn)存在定理可得在有解，所以存在，使得，即函數(shù)在是“1躍點(diǎn)”函數(shù)．（2）由題意得，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以的取值范圍為．（3），即，化簡得，的最小正周期為，當(dāng)，；當(dāng)（為正整數(shù)），；所以從在上的值可得①當(dāng)時，在有個“躍點(diǎn)”，故，所以；②當(dāng)時，在有個“躍點(diǎn)”，故，無解；③當(dāng)或時，在上有個“躍點(diǎn)”，故，綜上，或或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決. 

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