2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠縣育才學(xué)校高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1． （    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的加法法則直接計算即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的加法運算，屬于基礎(chǔ)題.2．下列說法錯誤的是（    ）A．若非零向量有，，則 B．零向量與任意向量平行C．已知向量不共線，且，，則 D．平行四邊形中，【答案】D【解析】根據(jù)共線向量的定義和性質(zhì)逐一判斷即可選出正確答案.【詳解】選項A：因為都不是零向量，所以由，可知向量與向量具有相同或相反方向.又由，可得向量與向量具有相同或相反方向，所以向量與向量具有相同或相反方向，故，故本說法是正確的；選項B：零向量與任意向量平行這是數(shù)學(xué)規(guī)定，故本說法是正確的；選項C：由，，可知：與向量具有相同或相反方向，與向量具有相同或相反方向，但是向量不共線，所以，故本說法是正確的；選項D：平行四邊形中，應(yīng)該有，故本說法是錯誤的.故選：D【點睛】本題考查了共線向量的定義和性質(zhì)，考查了相等向量的定義，考查了零向量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．已知正方形的邊長為6，在邊上且，為的中點，則A．-6 B．12 C．6 D．-12【答案】A【分析】以向量為基底，將用基底表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，即可求解.【詳解】由在邊上且，為的中點，，，.故選：A.【點睛】本題考查向量基本定理以及向量的數(shù)量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．若向量，滿足，且，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件結(jié)合數(shù)量積公式化簡即可求解.【詳解】因為，，即，，求得，所以向量與的夾角為.故選：B5．在中，，．若點滿足，則（ ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，故選A． 6．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運算，表示出復(fù)數(shù)，進而得到其在復(fù)平面內(nèi)表示的點坐標(biāo)，即可得到所在象限．【詳解】由復(fù)數(shù)加法運算可知在復(fù)平面內(nèi)表示的點坐標(biāo)為，所以所在象限為第三象限所以選C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的簡單加法運算，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)及其象限，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖所示，隔河可以看到對岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為km.A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知可求，，由正弦定理可求的值，在中，，由正弦定理可求的值，進而由余弦定理可求的值．【詳解】由已知，中，，，由正弦定理，，所以，在中，，由正弦定理，，所以，在中，由余弦定理，，解得：．所以與的距離.故選B【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．8．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，他將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)理論中占有非常重要的地位，特別是當(dāng)時，被稱為數(shù)學(xué)上的優(yōu)美公式.根據(jù)歐拉公式，表示復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式將化簡為，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式計算即可.【詳解】根據(jù)歐拉公式有，所以，.故選：B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.9．三棱柱中，，，，，側(cè)棱長為，則其側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題中條件，得到側(cè)面和側(cè)面為一般的平行四邊形，側(cè)面為矩形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，分別計算三個側(cè)面的面積，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，由已知條件可知，側(cè)面和側(cè)面為一般的平行四邊形，側(cè)面為矩形.在中，，，∴，∴.∵，，∴點到直線的距離為.∴.∴.故選C【點睛】本題主要考查棱柱的側(cè)面積，熟記棱柱結(jié)構(gòu)特征以及側(cè)面積公式即可，屬于常考題型.10．下列說法中正確的個數(shù)是（    ）①空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；②平行四邊形可以確定一個平面；③若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；④若，且，則在上.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的公理及定理，對每項逐一判斷，即可得到本題答案.【詳解】對于①，兩兩相交的三條直線，若相交于同一點，則不一定共面，故①不正確；對于②，平行四邊形兩組對邊分別平行，則平行四邊形是平面圖形，故②正確；對于③，若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，故③不正確；對于④，由公理可得，若，則，故④正確.故選：B【點睛】本題主要考查空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系的公理及定理的應(yīng)用.11．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關(guān)系，然后求出圓柱的表面積和側(cè)面積即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的兩個底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：，故選：．12．垂直于正方形所在平面，連接，，，，，則下列垂直關(guān)系正確的個數(shù)是（    ）①面面②面面③面面④面面A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意,底面為正方形且平面,則平面;即可判斷【詳解】證明：對于①,因為底面為正方形所以由題意可知平面所以,而所以平面又因為平面所以平面平面,所以①正確;對于②,因為故由①可得平面,而平面所以平面平面,所以②正確③④錯誤,不垂直.綜上可知,正確的為①②故選：B【點睛】本題考查了平面與平面垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題. 二、填空題13．在平行四邊形ABCD中，，，，則________.（用表示）【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，由得，利用向量的三角形法則得＝－，又，＝－，最后將和兩個向量都用和表示即可求得結(jié)果.【詳解】如圖：＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋＝.故本題答案為.【點睛】本題是一道關(guān)于向量運算的題目，考查平面向量的基本定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的加法與減法的運算法則，屬基礎(chǔ)題.14．如圖，設(shè)、兩點在河的兩岸，一測量者在的同側(cè)所在的河岸邊選定一點，測出的距離為，，后，就可以計算出、兩點的距離為______【答案】【分析】由與，求出的度數(shù)，根據(jù)，，以及的長，利用正弦定理即可求出的長．【詳解】解：在中，，，，即，則由正弦定理，得：．故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．15．如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱的平面，記平面分三棱臺兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.【答案】3：4【解析】設(shè)三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，計算體積得到答案.【詳解】設(shè)三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，，.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱臺的體積問題，意在考查學(xué)生的計算能力.16．如圖，為等邊三角形所在平面外一點，且，分別為的中點，則異面直線與所成的角為______.【答案】45°【分析】由，得等于異面直線與所成角，通過求的大小，即可得到本題答案.【詳解】如圖，取的中點，連接，則等于異面直線與所成角.設(shè)，則.取的中點，連接.，為等邊三角形，，平面，，.所以，異面直線與所成的角為.故答案為：【點睛】本題主要考查異面直線所成角，把異面直線平移到一個面上，然后通過解三角形求角，是解決此類題目的常用方法. 三、解答題17．如圖所示，在中，，，與相交于點.設(shè)，.（1）試用向量、表示；（2）在線段上取一點，在線段上取一點，使過點，設(shè)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)，由、、三點共線以及、、三點共線可得出關(guān)于與的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出關(guān)于、的表達式；（2）設(shè)，利用向量的減法運算可得出，結(jié)合可建立等式，通過化簡計算可得出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）不妨設(shè).由于、、三點共線，則存在使得，即，于是.又，所以，則，即.①由于、、三點共線，則存在使得，即，于是.又，所以，所以，即.②由①②可得，，所以；（2）由于、、三點共線，所以存在實數(shù)使得，即，于是.又，，所以，所以，則，可得，兩式相加得.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)乘，向量的線性運算及向量表示三點共線，屬中檔題．18．如圖，一艘船從港口O出發(fā)往南偏東75°方向航行了100km到達港口A，然后往北偏東60°方向航行了160km到達港口B．試用向量分解知識求從出發(fā)點O到港口B的直線距離（，結(jié)果精確到）．（提示：將，分解為垂直的兩個向量．）【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量加法的幾何意義和坐標(biāo)表示公式進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系：顯然，于是有：，，，，所以，因為，所以有：19．如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，點，，為圓上的點，分別是以為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，使得，，重合，得到三棱錐，則當(dāng)的邊長變化時，求三棱錐的表面積的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)三棱錐的底面邊長為，則，連接，交與點，則，從而可知，則，根據(jù)三角形的面積分別求出三棱錐的底面積和側(cè)面積，從而得出三棱錐的表面積，根據(jù)的取值范圍，即可求出當(dāng)的邊長變化時，三棱錐的表面積的取值范圍.【詳解】解：由題可知，等邊三角形的中心為，圓的半徑為6，設(shè)三棱錐的底面邊長為，即等邊三角形的邊長為，如圖，連接，交與點，由題意可知，，則，，可知，即，則，，則，三棱錐的底面積為：，由題可知，全等，則面積相等，三棱錐的側(cè)面積為：，所以三棱錐的表面積為：，，，即，所以當(dāng)的邊長變化時，求三棱錐的表面積的取值范圍是.20．如圖，長方體中，；(1)求異面直線和所成角的正切值；(2)求三棱柱的體積和表面積.【答案】(1)(2)體積，表面積. 【分析】（1）因為，所以與所成的角即為與所成的角，從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)三棱柱的體積公式和表面積公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）在長方體中，因為，所以與所成的角即為與所成的角，即（或補角），，所以異面直線和所成角的正切值為；（2）易知三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形，所以．又為三棱柱的高，所以，又四邊形為矩形，，所以，故所求表面積.21．如圖，四邊形中，，分別在上，.現(xiàn)將四邊形沿折起，使得平面平面.（1）當(dāng)時，是否在折疊后的上存在一點，使得平面？若存在，求出點位置；若不存在，說明理由（2）設(shè)，問當(dāng)為何值時，三棱錐的體積有最大值？并求出這個最大值.【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，三棱錐的體積有最大值，最大值為3【分析】（1）先找到點，再證明此時平面.（2），，體積的表達式為得到答案.【詳解】（1）存在點，使得平面，此時.當(dāng)時，，過點作，交于點，連接，如圖，則.∵在四邊形中，∴，∴.∵，∴，且，故四邊形為平行四邊形，∴.∵平面平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面.∵，∴，故三棱錐的體積，當(dāng)時，三棱錐的體積有最大值，最大值為3【點睛】本題考查了線面平行，體積的最值，先找后證是一個常規(guī)的方法，找到體積的表達式是解題的關(guān)鍵.22．如圖，正方體中，，分別為，的中點．（1）求證：，，，四點共面；（2）若，，與平面交于點，求證：三點共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）證明EF∥BD即可得出結(jié)論；（2）只需說明三點都是平面BDEF和平面ACC1A1的公共點即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）連接，在正方體中，∵，分別為，的中點，∴是的中位線，∴，又因為，∴∴四邊形為梯形，即，，，四點共面．（2）在正方體中，，，∴是平面與平面的交線，又因為交平面于點，∴是平面與平面的一個公共點．因為兩平面相交的所有公共點都在這兩個平面的交線上，∴三點共線． 

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