2022-2023學(xué)年云南省昆明市五華區(qū)高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集運(yùn)算求解.【詳解】故選：C2．在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)槠浣K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以.故選：A3．下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】判斷與的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得出答案.【詳解】對(duì)于A：與的定義域不一致，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>，定義域不一致，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>，定義域不一致，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：與的定義域都為，且，即與為同一函數(shù)，故D正確；故選：D4．若，，且，則的最大值為（    ）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為9.故選:D.5．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化為關(guān)于的二次齊次式，然后弦化切代入計(jì)算．【詳解】，則，故選：B．6．函數(shù)的圖像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由奇偶性排除AC；討論和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷BD.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故AC錯(cuò)誤；由選項(xiàng)圖可知，都是討論的情況，當(dāng)時(shí)，，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，.函數(shù)在和上單調(diào)遞增，若，在和上單調(diào)遞減，若，在和上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B7．某同學(xué)完成假期作業(yè)后，離開學(xué)還有10天時(shí)間決定去某公司體驗(yàn)生活，公司給出的薪資有三種方案；方案①；每天50元；方案②：第一天10元，以后每天比前一天多10元；方案③：第一天1元，以后每天比前一天翻一番，為了使體壇生活期間的薪資最多，下列方案選擇錯(cuò)誤的是（    ）A．若體驗(yàn)7天，則選擇方案① B．若體驗(yàn)8天，則選擇方案②C．若體驗(yàn)9天，則選擇方案③ D．若體驗(yàn)10天，則選擇方案③【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式得出各天各方案的薪資，比較大小即可對(duì)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】對(duì)于A：體驗(yàn)7天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若體驗(yàn)7天，則選擇方案①薪資最多，故A正確；對(duì)于B：體驗(yàn)8天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若體驗(yàn)8天，則選擇方案①薪資最多，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：體驗(yàn)9天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若體驗(yàn)9天，則選擇方案③薪資最多，故C正確；對(duì)于D：體驗(yàn)10天，方案①需：元，方案②需：元，方案③需：元；故若體驗(yàn)10天，則選擇方案③薪資最多，故D正確；故選：B.8．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)運(yùn)算得到，，，再根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)比較大小的應(yīng)用結(jié)合不等式的性質(zhì)應(yīng)用得出，，即可得出答案.【詳解】，，，，，，，，故選：C. 二、多選題9．已知為實(shí)數(shù)，則（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷，可用作差法證明不等式成立．【詳解】當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；，則，即，B正確；，則，，∴，∴，C正確；，則，，，∴，即，D正確．故選：BCD．10．已知?dú)W拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，則（    ）A．是單調(diào)遞增函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)， D．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，【答案】BC【分析】寫出的前8項(xiàng)，可判斷ABD；當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，與前個(gè)數(shù)均互素，從而可判斷C.【詳解】由題意知，，，，，，，，，對(duì)于A，不是單調(diào)遞增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)為素?cái)?shù)時(shí)，與前個(gè)數(shù)均互素，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，,故D錯(cuò)誤.故選:BC.11．下列各式中，與相等的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由二倍角的余弦公式可得，由二倍角的正切公式可判斷A；由二倍角的正弦公式可判斷B；由兩角差的余弦公式可判斷C；由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式可判斷D.【詳解】，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選:ACD.12．設(shè)函數(shù)，則（    ）A．的定義域?yàn)?/span> B．的值域?yàn)?/span>C．在單調(diào)遞增 D．在單調(diào)遞減【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可確定其定義域和值域，判斷A，B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，可判斷C，D.【詳解】由可得，即的定義域?yàn)?/span>，A錯(cuò)誤；又，由于，故的值域?yàn)?/span>R，B正確；當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，D正確；故選：BD 三、填空題13．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)和面積都為1，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)為________.【答案】##【分析】由扇形的面積公式以及弧長(zhǎng)公式得出圓心角的弧度數(shù).【詳解】設(shè)此扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，弧長(zhǎng)為，則，解得.故答案為：14．使命題“，”為真命題的一個(gè)充分條件是________.【答案】（答案不唯一，取內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以）【分析】根據(jù)含參一元二次不等式恒成立的解法得出答案.【詳解】命題“，”為真命題當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍為，則使命題“，”為真命題的一個(gè)充分條件為，故答案為：（答案不唯一，取內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以）.15．函數(shù)的最大值為________.【答案】##【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得,配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最大值.【詳解】，故當(dāng)時(shí)，.故答案為:.16．已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意且，都有，若，則不等式的解集為________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)又已知得函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，可得函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象解不等式即可得解集.【詳解】解：已知是定義在上的奇函數(shù)，則，且又對(duì)任意且，都有，不妨設(shè)，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，則函數(shù)的大致圖象如下圖：根據(jù)圖象可得不等式的解集為：.故答案為：. 四、解答題17．化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）由對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算求解；（2）由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】（1）原式（2）原式18．已知函數(shù).(1)在所給坐標(biāo)系中作出的簡(jiǎn)圖；(2)解不等式.【答案】(1)圖像見解析(2) 【分析】（1）直接畫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像即可；（2）分段函數(shù)分段解不等式即可.【詳解】（1）的簡(jiǎn)圖如下：；（2）由已知得或，解得或，即不等式的解集為．19．已知是鈍角，是銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系分別求出，，由及兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】（1）.（2）因?yàn)?/span>是鈍角，是銳角，，所以，，，所以，.所以,20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由三角恒等變換可得，故可求最小正周期；（2）由三角函數(shù)的圖象變換可得，令，可轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn), 畫出在上的圖象，由圖象即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）,故函數(shù)的最小正周期為.（2）將函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.當(dāng)時(shí)，，令,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn),畫出在上的圖象如圖所示：由圖可得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值，并求的定義域；(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求t的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義得出，解得，則，根據(jù)具體函數(shù)定義域的求法得出其定義域；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)是減函數(shù)，即可結(jié)合已知得出，即可根據(jù)一元二次不等式的解法得出答案.【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，，即，，解得：，則，其定義域?yàn)?/span>；（2），在定義域上為增函數(shù)，在與上為減函數(shù)，在其定義域上為減函數(shù)，，即，函數(shù)是奇函數(shù)，，，即，解得或，即的取值范圍為.22．利用“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”，解決以下問題.(1)求方程的根；(2)設(shè)函數(shù)，若，求證：.【答案】(1)2；(2)證明見解析. 【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理轉(zhuǎn)化求解即可；（2）由題意可得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，從而可證明.【詳解】（1）方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的遞減函數(shù)，且，所以函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi).因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的零點(diǎn)為2，即方程的根為.（2）若，所以，即.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，，所以.，因?yàn)?/span>，所以，所以.所以，所以.故. 

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