2022-2023學(xué)年福建省永定第一中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年福建省永定第一中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題（解析版），共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年福建省永定第一中學(xué)高一下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)的分類一一判斷即可.【詳解】為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無理數(shù)，所以，所以②錯(cuò)誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯(cuò)誤.故選:A.2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,﹣4),則角α的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得  由題意可得x＝3，y＝﹣4，故 r5，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出結(jié)果．【詳解】由題意可得x=3，y=﹣4，則r==5，則sinα==﹣，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．已知，，則y的最小值為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由，得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題，其中解答中熟記基本不等式的“一正、二定、三相等”的條件，合理運(yùn)算是解得的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.4．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性比較判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又， 所以故選：C5．函數(shù)，，滿足，若，在有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)稱性求得的解析式，方法1：換元后畫圖研究交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得m的范圍；方法2：直接畫的圖象研究交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得m的范圍.【詳解】∵ ，∴關(guān)于對(duì)稱，∴，，解得：，，又∵ ， ∴，∴方法1：， ，即：，，設(shè)， 則在有兩個(gè)實(shí)根，即：在有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，∴ ，即：，故選：A.方法2：∵在有兩個(gè)實(shí)根， ∴在有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)時(shí)， ∴，即：即：，故選：A.6．漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上船后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏，若不及時(shí)處理，打上來的魚會(huì)很快失去新鮮度.已知某種魚失去的新鮮度h與其出水后時(shí)間t（分）滿足的函數(shù)關(guān)系式為.若出水后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%.那么若不及時(shí)處理，打上來的這種魚在多長時(shí)間后開始失去全部新鮮度（已知，結(jié)果取整數(shù)）（    ）A．33分鐘 B．43分鐘 C．50分鐘 D．56分鐘【答案】B【分析】由題意列出方程求出a的值，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由題意知，，解得，所以，所以，即，故選：B7．函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)性質(zhì)說法正確的是（    ）A．周期為 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．對(duì)稱中心為(k∈Z) D．其中一條對(duì)稱軸為x=【答案】B【分析】化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的最小正周期為，所以A不正確；由，可得，由余弦函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，所以B正確；令，解得，可得函數(shù)的對(duì)稱中心為，所以C不正確；令，解得，可得不是函數(shù)的對(duì)稱軸，所以D不正確.故選：B.8．如圖，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若為等邊三角形，且直線軸，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則　　A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)出、、的坐標(biāo)，由線段軸，是等邊三角形，得出、與的關(guān)系，求出、的值，計(jì)算出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，，，線段軸，是等邊三角形，，，，；又，，；又，，；；，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算問題，屬于中檔題． 二、多選題9．下列化簡正確的是    （    ）A． B．C．= D．=【答案】BC【分析】將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到正確答案.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；可得到，從而，D錯(cuò)誤.故選：BC10．若集合A具有以下性質(zhì)：①集合中至少有兩個(gè)元素；②若，則xy，，且當(dāng) 時(shí)，，則稱集合A是“緊密集合”以下說法正確的是（    ）A．整數(shù)集是“緊密集合”B．實(shí)數(shù)集是“緊密集合”C．“緊密集合”可以是有限集D．若集合A是“緊密集合”，且x，，則【答案】BC【解析】根據(jù)“緊密集合”具有的性質(zhì)逐一排除即可.【詳解】A選項(xiàng)：若，，而，故整數(shù)集不是“緊密集合”，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)“緊密集合”的性質(zhì)，實(shí)數(shù)集是“緊密集合”，B正確；C選項(xiàng)：集合是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項(xiàng)：集合是“緊密集合”，當(dāng)，時(shí)，，D錯(cuò)誤．故選：BC.【點(diǎn)睛】新定義題目的關(guān)鍵在于正確理解定義，從題意入手.11．下列說法正確的是（    ）A．命題“，”的否定是“，”B．若是第二象限角，則在第三象限C．已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）為的弧度數(shù)為D．若角的終邊過點(diǎn)，則【答案】ABC【分析】根據(jù)含量詞的命題否定,弧長,面積公式,誘導(dǎo)公式,任意角三角函數(shù)定義分別判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于:命題“，”的否定是“，”故正確;對(duì)于: 因?yàn)?/span>,又因?yàn)?/span>是第二象限角, , 所以,則在第三象限,故正確;對(duì)于:已知扇形的面積為4，周長為10，則或(舍)或者，故正確；對(duì)于：角的終邊過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：.12．已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，其中f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)a可以為（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】AB【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求，由函數(shù)的單調(diào)性定義分析可得，令，判斷出在上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得a的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x，則f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x，兩式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2，又由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以2g（x）＝2ax2，即g（x）＝ax2，若對(duì)于任意，都有，變形可得，令，則h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，若a＝0，則h（x）＝﹣4x在上單調(diào)遞減，不滿足題意；若，則h（x）＝ax2﹣4x是對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，若h（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，只需，解得，所以a的取值范圍為，則a可以取值3，2.故選：AB 三、填空題13．若函數(shù)，則的值為_________．【答案】0【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算及分段函數(shù)求值即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則.故答案為：0.14．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是______.【答案】##【分析】由題得，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，的最小值得解.【詳解】解：，設(shè)，所以，.二次函數(shù)拋物線的對(duì)稱軸為,由于，.所以函數(shù)的最小值是.故答案為：15．若函數(shù)，在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】首先根據(jù)和差角公式將函數(shù)化簡，再由的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：，即，由，所以，又在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，所以的取值范圍是．故答案為：．16．對(duì)于正整數(shù)，函數(shù)定義如下：對(duì)于實(shí)數(shù)，記方程的不同實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為，求使得函數(shù)的最大值為4的所有正整數(shù)的和為___________.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的大致圖象可得當(dāng)時(shí)，方程至多有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，先減后增，方程至多有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，先減后增，方程至多有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解；所以當(dāng)時(shí)，方程至多有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，又為正整數(shù)，所以使得函數(shù)的最大值為4的正整數(shù)可取3,4,5,6,7,8，所以，即使得函數(shù)的最大值為4的所有正整數(shù)的和為33.故答案為：33. 四、解答題17．已知集合.（1）求集合和；（2）求.【答案】（1）,（2）【分析】（1）解不等式,可求得集合和；（2）先求出,再與集合取交集即可.【詳解】（1）由題意,,.故集合,.（2）,則或,故或.故.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期（2）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)圖像，求的單減區(qū)間.【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再利用周期公式求得其最小正周期.（2）按照三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：（1）（2）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得，再將的圖像向右平移個(gè)單位長度，得即，要求其單調(diào)遞減區(qū)間，令.解得即的單調(diào)遞減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．19．已知函數(shù)（）．(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明．【答案】(1)；(2)增函數(shù)，證明見詳解【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以,因此；(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增,理由如下：設(shè),因?yàn)?/span>,所以,因此,所以)函數(shù)在上單調(diào)遞增.20．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式及對(duì)稱中心；(2)先將的圖象縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個(gè)單位后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)，對(duì)稱中心為，；(2) 【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的部分圖象即可求得,即可求得解析式及對(duì)稱中心.（2）結(jié)合函數(shù)的伸縮偏移變換即可求得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解值域.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)，，的部分圖象，可得，，．再由，，故有．根據(jù)圖象可得，是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，．（2）先將的圖象縱坐標(biāo)縮短到原來的，可得的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到的圖象，即，結(jié)合，可得，故當(dāng)，時(shí)，取得最大值，即；當(dāng)，時(shí)，取得最小值，即．故值域?yàn)?/span>．21．已知函數(shù).(1)當(dāng)，時(shí)，求滿足的的值；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足①求及的表達(dá)式；②若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)①，；② 【分析】（1）代入，得到，再因式分解求解即可；（2）①由定義在上的奇函數(shù)滿足可得，進(jìn)而得到及；②化簡可得，令，再參變分離根據(jù)基本不等式求解范圍即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>，時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以（）所以，所以，即；（2）①因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，，，所以所以，②由①可得，因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，令（），所以，又因?yàn)?/span>由對(duì)勾函數(shù)（）的單調(diào)性可知，時(shí)有最小值，所以，所以，所以的最大值為.22．北京冬奧會(huì)已于月日開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫，與冬奧會(huì)相關(guān)的周邊產(chǎn)品也銷量上漲.因可愛而聞名的冰墩墩更是成為世界頂流，在國內(nèi)外深受大家追捧.對(duì)某商戶所售的冰墩墩在過去的一個(gè)月內(nèi)（以天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：冰墩墩的日銷售單價(jià)（元/套）與時(shí)間（被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（常數(shù)），冰墩墩的日銷量（套）與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：（套） 已知第天該商品日銷售收入為元，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①，②，③(1)選出你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，來描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系，并說明理由；(2)根據(jù)你選擇的模型，預(yù)估該商品的日銷售收入（，）在哪天達(dá)到最低．【答案】(1)模型③最合適，理由見解析；(2)第天達(dá)到最低. 【分析】（1）結(jié)合表中數(shù)據(jù)及其增速較慢的特點(diǎn)，分別對(duì)指數(shù)型、二次函數(shù)型、冪函數(shù)型三種函數(shù)模型進(jìn)行分析，即可選出最合適的一種函數(shù)模型；（2）由表中數(shù)據(jù)和第天日銷售收入，分別求出第（1）問中選擇的模型和中的參數(shù)，代入，化簡后使用基本不等式求解.【詳解】（1）模型③最合適，理由如下：對(duì)于模型①，為指數(shù)型函數(shù)模型，表格中對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)遞增的速度較慢，故模型①不合適；對(duì)于模型②，為二次函數(shù)模型，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，有，與表中數(shù)據(jù)不符，故模型②不合適；對(duì)于模型③，冪函數(shù)型增長模型滿足表格中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)較慢的遞增速度，將表中數(shù)據(jù)，代入模型③，有，解得，∴，經(jīng)驗(yàn)證，均滿足表中數(shù)據(jù)，因此，使用模型③來描述銷售量與時(shí)間的關(guān)系最合適.（2）∵第天冰墩墩的日銷售單價(jià)（元/套），∴第天的日銷售收入為（元），∴，∴，由（1）所選模型③，當(dāng)且時(shí)，（元）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴在第天時(shí)，該商品的日銷售收入達(dá)到最低元.