第七節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布考試要求：1．掌握二項(xiàng)分布和超幾何分布的概念．2．了解正態(tài)分布的含義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．n重伯努利實(shí)驗(yàn)具有如下共同特征：(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次．(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的聯(lián)系由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即n＝1時(shí)的二項(xiàng)分布．2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．3．超幾何分布的期望E(X)＝＝np (p為N件產(chǎn)品的次品率)．超幾何分布的特征(1)考察對象分兩類．(2)已知各類對象的個(gè)數(shù)．(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線函數(shù)f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，我們稱函數(shù)f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值．④曲線與x軸圍成的面積為1．⑤在參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖(1)所示．⑥當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖(2)所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝e，x∈R，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值．①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1及3σ原則解題．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．????????????? ????????????? (　√　)(2)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布．????????????? ????????????? (　×　)(3)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布． ????????????? (　√　)(4)一個(gè)盒中裝有4個(gè)黑球、3個(gè)白球，從中任取一個(gè)球．若是白球，則取出來，若是黑球，則放回盒中，直到把白球全部取出來．設(shè)取到黑球的次數(shù)為X，則X服從超幾何分布．????????????? ????????????? (　×　)(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于二項(xiàng)式(a＋b)n展開式的通項(xiàng)，其中a＝p，b＝1－p．????????????? ????????????? (　×　)(6)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布密度函數(shù)，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．????????????? (　√　)2．(2021·佛山期末)有一批谷類種子，如果每1粒種子發(fā)芽的概率為，那么插下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是(　　)A．   B．   C．   D．A　解析：3粒種子中發(fā)芽的粒數(shù)服從二項(xiàng)分布X～B，所以恰有2粒發(fā)芽的概率為C××＝．3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，則理論上在80分到90分的人數(shù)是(　　)A．32   B．16  C．8   D．20B　解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7．根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是×0.682 7×48≈16．4．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽取n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望是(　　)A．n   B．(n－1)C．   D．(n＋1)C　解：設(shè)抽到的次品數(shù)為X，則有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽取n 件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)X服從超幾何分布即X～H(n，M，N)，所以抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值E(X)＝．5．已知隨機(jī)變量ξ～B，則P(ξ＝3)＝________(用數(shù)字作答)．　解析：隨機(jī)變量ξ～B，則P(ξ＝3)＝C·3·＝．6．已知隨機(jī)變量X～N(1,62)，若P(X>0)＝0.8，則P(X≥2)＝________．0.2　解析：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,62)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對稱，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．考點(diǎn)1　二項(xiàng)分布——基礎(chǔ)性某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當(dāng)這兩位專家意見不一致時(shí)，再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)應(yīng)聘人員獲得每位初審專家通過的概率均為，復(fù)審能通過的概率為，各專家評(píng)審的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求某應(yīng)聘人員被錄用的概率；(2)若4人應(yīng)聘，設(shè)X為被錄用的人數(shù)，試求隨機(jī)變量X的分布列．解：設(shè)“兩位專家都同意通過”為事件A，“只有一位專家同意通過”為事件B，“通過復(fù)審”為事件C．(1)設(shè)“某應(yīng)聘人員被錄用”為事件D，則D＝A∪BC．因?yàn)?/span>P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．所以某應(yīng)聘人員被錄用的概率為．(2)根據(jù)題意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，Ai表示“應(yīng)聘的4人中恰有i人被錄用”(i＝0,1,2,3,4)．因?yàn)?/span>P(A0)＝C×＝，P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，P(A3)＝C××＝，P(A4)＝C××＝．所以X的分布列為X01234P 二項(xiàng)分布概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p．(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的．(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率．(2021·杭州二模)從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取3次，記摸得白球個(gè)數(shù)為X．若E(X)＝，則m＝________，P(X＝2)＝________．2　　解析：甲從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取3次，記摸得白球個(gè)數(shù)為X，則X～B，因?yàn)?/span>E(X)＝，所以E(X)＝3×＝，所以m＝2，所以P(X＝2)＝C××＝．考點(diǎn)2　超幾何分布——應(yīng)用性在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．解：(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M)＝＝．(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，因此X的分布列為X01234P (1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征：①考查對象分兩類．②已知各類對象的個(gè)數(shù)．③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布．(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．1．(多選題)在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球、4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球．設(shè)取出的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．P(X＝1)＝B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布D．E(X)＝ACD　解析：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確．X的取值分別為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正確．2．某高中德育處為了調(diào)查學(xué)生對“國安法”的關(guān)注情況，在全校組織了“國家安全知多少”的知識(shí)問卷測試，并從中隨機(jī)抽取了12份問卷，得到其測試成績(百分制)如下：52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94．(1)寫出該樣本的中位數(shù)，若該校共有3 000名學(xué)生，試估計(jì)該校測試成績在70分以上的人數(shù)；(2)從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人，記ξ表示測試成績在80分以上的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得中位數(shù)為76，樣本中70分以上的所占比例為＝，故可估計(jì)該校測試成績在70分以上的約為3 000×＝2 000(人)．(2)由題意可得ξ的可能取值為0,1,2,3,4．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝．所以ξ的分布列為ξ01234PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．考點(diǎn)3　正態(tài)分布——應(yīng)用性(1)(多選題)若隨機(jī)變量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0．下列等式成立的有(　　)A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)AC　解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)，所以正態(tài)曲線關(guān)于ξ＝0對稱，如圖．φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A項(xiàng)正確．φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2φ(x)，B項(xiàng)錯(cuò)誤．P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C項(xiàng)正確．P(|ξ|≥x)＝P(ξ≥x或ξ≤－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC．(2)(2021·重慶校級(jí)模擬)重慶合川桃片遠(yuǎn)近聞名，某個(gè)品種的合川桃片是小袋裝的，其質(zhì)量服從正態(tài)分布N(100，0.01)(單位：g)．現(xiàn)抽取500袋樣本，X表示抽取的桃片質(zhì)量在(100，100.2]的袋數(shù)，則X約為______．(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5．239　解析：因?yàn)橘|(zhì)量服從正態(tài)分布N(100,0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．因?yàn)?/span>P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，且μ＝100，σ＝0.1，所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.954 5，所以P(100＜X≤100.2)≈＝0.47725，則抽取的桃片質(zhì)量在(100,100.2)的袋數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(500,0.477 25)，則E(X)＝500×0.477 25≈239．(2021·湖南模擬)扶貧期間，扶貧工作組從A地到B地修建了公路，脫貧后，為了了解A地到B地公路的交通通行狀況，工作組調(diào)查了從A地到B地行經(jīng)該公路的各種類別的機(jī)動(dòng)車共4 000輛，匯總行車速度后作出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本中的這4 000輛機(jī)動(dòng)車的平均車速(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)．(2)由頻率分布直方圖可大致認(rèn)為，該公路上機(jī)動(dòng)車的行車速度Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取調(diào)查樣本中4 000輛機(jī)動(dòng)車的平均車速和車速的方差s2(s2＝204.75)．①請估計(jì)該公路上10 000輛機(jī)動(dòng)車中車速高于84.8 km/h的車輛數(shù)(精確到個(gè)位)；②現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機(jī)動(dòng)車中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車速低于84.8  km/h的車輛數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，取＝14.3．解：(1)由題意可知，＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．故樣本中的這4 000輛機(jī)動(dòng)車的平均車速為70.5 km/h．(2)由題意，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，則σ＝14.3．①因?yàn)?/span>P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.682 7，所以P(Z>84.8)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，所以車速高于84.8 km/h的車輛數(shù)的估計(jì)值為0.158 65×10 000＝1 586.5≈1 587．②行車速度低于84.8 km/h的概率為1－0.158 65＝0.841 35，又X～B(10,0.841 35)，所以E(X)＝10×0.841 35＝8.413 5． 

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