專題六 圓的綜合 1.如圖,在圓O中,AB是直徑,AD是弦,點(diǎn)C在圓O上,于點(diǎn)E,,交AD的延長線于點(diǎn)F,且.（1）求證:CF是圓O的切線:（2）若,,求BE的長.2.如圖,在中,點(diǎn)D在邊AC上,BD平分,經(jīng)過點(diǎn)B,C的圓O交BD于點(diǎn)E,連接OE交BC于點(diǎn)F,.（1）求證:AB是圓O的切線;（2）若,,,求圓O的半徑.3.如圖,內(nèi)接于圓O,AD是圓O直徑,E是CB延長線上一點(diǎn),且.（1）求證:直線AE是圓O的切線;（2）若,,,求EB的長及圓O的半徑.4.如圖矩形ABCD中,過A,B兩點(diǎn)的圓O切CD于E,交BC于F,于H,連結(jié)EF.（1）求證:,（2）若,求BF的長.5.已知，如圖，在圓O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，AD平分并交圓O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AD上，且.(1)求證：BE平分；(2)若圓O的半徑，，求AC的長.6.如圖,已知AD是圓O的直徑,B,C為圓上的點(diǎn),,,垂足分別為E,F.（1）求證:;（2）若,,求陰影部分的面積.7.如圖1，四邊形OMTN中，，，我們把這種兩組鄰邊相等的四邊形叫做箏形.(1)探究結(jié)論：試探究箏形對(duì)角線之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，在箏形ABCD中，已知，，，BD，AC為對(duì)角線，.若存在一個(gè)圓使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)圓上，試求出這個(gè)圓的半徑；(3)拓展延伸：如圖，將正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到正方形GBEF，AD與EF相交于點(diǎn)K，延長DA交GF于點(diǎn)H.①證明四邊形KABE是箏形 ；②若，求AH的長.8.(1) 如圖 (1), 等邊三角形ABC的邊長為 6 , 則該等邊三角形的外接圓半徑長為(2) 如圖 (2), 在 中, ,, 點(diǎn)D,E,F 分別在邊 BC,AB和AC 上, , 若點(diǎn)D 為BC 邊的中點(diǎn), , 求 AF的長度.(3) 如圖 (3), 在 中, ，, 等邊三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊BC,AB 和AC 上, 該等邊三角形的面積是否存在最大值? 如果存在, 求出面積最大值; 如果不存在, 說明 理由.9.在四邊形中，，，，.直角三角板含角的頂點(diǎn)E在上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與交于點(diǎn)F.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖2，在上有一點(diǎn)P，.若點(diǎn)E從點(diǎn)B到點(diǎn)C移動(dòng)的速度為每秒個(gè)單位長，求點(diǎn)P在直角三角板內(nèi)部(包括邊界)的時(shí)長；(3)連接，當(dāng)的外心落在的邊上時(shí)，求的值；(4)直接寫出點(diǎn)E移動(dòng)過程中的外接圓半徑的最小值.
答案以及解析1.答案：（1）見解析（2）BE的長解析:（1）連接OC,AC,,,且,是的平分線,,,,,,,是圓O半徑,是圓O的切線.（2）,,,,,,,,.答:BE的長.2.答案：（1）見解析（2）圓O的半徑是5解析:（1）證明:連接OB,如圖,,,BD平分,,,,,AB是圓O的切線;（2）解:,BD平分,,,解得,,,,,解得,令,,,在中,,即解得,圓O的半徑是5.3.答案：（1）見解析（2）圓O的半徑為解析:（1）證明:連結(jié)BD.是圓O的直徑,..,,..即.是圓O的直徑,直線AE是圓O的切線.（2）解:過點(diǎn)B作于點(diǎn)F,則.,,.,,=15.由（1）,又,.,設(shè),則,在中,由勾股定理得,可求得.圓O的半徑為.4.答案：（1）見解析（2）解析:（1）證明:CE切圓O于E,,四邊形ABCD是矩形,,,,（2）CE切圓O于E,,5.答案：(1)證明見解析(2)解析：(1)證明：為直徑，.，，.又平分，.，，，平分.(2)解：，.，.設(shè)BC與AD交于點(diǎn)M，如圖，則.，，，即，，.易證，，即，.6.答案：（1）見解析（2）解析:（1）證明:連接BD,AD是圓O的直徑,B為圓上的點(diǎn),,,,,,AD是圓O的直徑,即O為AD的中點(diǎn),E為AB的中點(diǎn),.AD是圓O的直徑,B,C為圓上的點(diǎn),,,,即.（2）解:,又,,即.,,,.如圖,連接BD,,AD是圓O的直徑,,.同理,,,,,.AD是圓O的直徑,B,C為圓上的點(diǎn),,.,,.,,,.7.答案：(1)見解析(2)(3)①四邊形KABE是箏形②解析：(1)如圖1，連接MN、OT，則，理由：，，，，，，；(2)設(shè)AC、BD交于點(diǎn)M，在中，，，，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)圓上，，，，BD為所求圓的直徑，，，，，解得，A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的半徑為；(3)①連接BK，四邊形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到正方形GBEF，，，，，，四邊形KABE是箏形；②，，，，，，，，，，.8.答案： (1) (2)3(3) 等邊三角形DEF 的面積存在最大值解析： (1)略(2) 如圖 (1), 連接AD, 過點(diǎn)D 分別作 于點(diǎn)M, 于點(diǎn)N, 則,, 點(diǎn)D 是BC 的中點(diǎn),，(依據(jù): 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等).易證，.在四邊形AMDN 中, ,,, 即,在和中, ，，，，，在中,.在中, ,(3) 等邊三角形DEF 的面積存在最大值.如圖 (2), 過點(diǎn)D 作 于點(diǎn) G,于點(diǎn)H, 連接AD.由 (2) 可知, ,又,,,,AD是 的平分線,.是等邊三角形,.易知 ,當(dāng) 且AD 取得最大值時(shí),面積最大.作 的外接圓, 過點(diǎn) O作BC 的垂線, 垂足為點(diǎn)Q, 交 于點(diǎn), M,N 則MN 平分, 連接AN, 如圖(3)又,A,N,D三點(diǎn)共線,即AN 交BC 于點(diǎn)D.,., 當(dāng)ND 最小,即 時(shí), AD取得最大值,此時(shí)AN 為 直徑, 點(diǎn) A與點(diǎn)M 重合, AD 最大.連接OB,OC, 在優(yōu)弧BC 上任取一點(diǎn)K, 連接KB,KC,四邊形 ABKC是圓內(nèi)接四邊形,,,.,,,,, 的最大值為.9.答案：(1)證明見解析(2)2s(3)的長為或(4)解析：(1)，，.在和中，；(2)如圖1，分別過點(diǎn)A，D作，，垂足分別為M，N.則.當(dāng)三角板過點(diǎn)P時(shí)，如圖2，圖3.設(shè)，由(1)知，，，，即，解得，.點(diǎn)P在直角三角板內(nèi)部(包括邊界)的時(shí)長為：；(3)如圖4，當(dāng)時(shí)，.，，，；如圖5，當(dāng)時(shí)，.，，，；綜上，當(dāng)的外心落在的邊上時(shí)，的長為或；(4)設(shè)外接圓的圓心為O，其半徑為r.，劣弧所對(duì)圓周角為45°.劣弧所對(duì)圓心角，，當(dāng)最小時(shí)，也最小，當(dāng)最大時(shí)，最小.設(shè)，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí).如圖6，過點(diǎn)F作，交的延長線于點(diǎn)H，則，，








 

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