2023屆山東省濟南市高三三模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，則圖中陰影部分代表的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)Venn圖，由集合運算可解.【詳解】由題意，而陰影部分為.故選：C2．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的值為（    ）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【分析】解方程可得與，利用乘法運算直接計算即可.【詳解】由，得，，所以.故選：D3．若，則的值為（    ）A．-1 B．0 C． D．1【答案】A【分析】利用賦值法可得：令可得；令可得：，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，令可得；令可得：；故.故選：A4．在平面直角坐標系中，如圖所示，將一個半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細線，細線的端頭（開始時與圓盤上點重合）系著一支鉛筆，讓細線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點為，細繩的粗細忽略不計，當時，點與點之間的距離為（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)扇形的弧長公式，和展開過程中的長度關(guān)系即可.【詳解】展開過程中：,,故選：D.5．已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)有四個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，再數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】依題意，函數(shù)有四個不同的零點，即有四個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，由函數(shù)函數(shù)可知，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.故選：A6．在數(shù)列中,若,則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因為,所以.故選:C.7．如圖，正四面體的棱與平面平行，且正四面體內(nèi)的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形面積的最小值是，則該正四面體的棱長為（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)，按不同的階段，分析四面體繞旋轉(zhuǎn)過程中在面內(nèi)的投影形狀，并確定面積的變化趨勢，結(jié)合已知最小投影面積即可求棱長.【詳解】由題圖，當四面體繞旋轉(zhuǎn)過程中，在面內(nèi)的投影可能為三角形或四邊形，若四面體的棱長為，、為、中點，如下圖，，，正四面體體高為，所以，故，不妨以順時針旋轉(zhuǎn)過程為例：①從面面到面面，四面體在面上的投影為三角形，以投影為底邊，其對應(yīng)的高從△的高變成的體高，所以從逐漸變小為，則投影面積從逐漸變小為；②從面面到面，四面體在面上的投影從三角形變成四邊形，將平移至面內(nèi)，起止位置如下圖示，若面與面的夾角為，注意，面與面的夾角為，所以，垂直于投影的投影長為，所以投影面積從逐漸變大為且；③從面到面面，四面體在面上的投影從四邊形變成三角形，由上分析知：過程變化剛好是①②的逆過程，即投影面積先變小后變大，所以投影面積從且先變小為，再變大為；④從面面到面，四面體在面上的投影為三角形，以投影為底邊，其對應(yīng)的高從△的高變成異面直線的距離，所以，投影面積從逐漸變小為；⑤從面到面面，變化過程與④剛好相反，即面積在變大；上述5個過程，對應(yīng)投影面積變化的一個周期，其中面積最小，即，所以四面體的棱長為.故選：B8．在中，若，則面積的最大值為（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】延長至點，使得，延長至點，使得，可得，，再由可得答案.【詳解】如圖，延長至點，使得，延長至點，使得，若，則，，所以，則面積的最大值為1    .故選：C. 二、多選題9．某學(xué)校組建了辯論?英文劇場?民族舞?無人機和數(shù)學(xué)建模五個社團，高一學(xué)生全員參加，且每位學(xué)生只能參加一個社團.學(xué)校根據(jù)學(xué)生參加情況繪制如下統(tǒng)計圖，已知無人機社團和數(shù)學(xué)建模社團的人數(shù)相等，下列說法正確的是（    ）A．高一年級學(xué)生人數(shù)為120人B．無人機社團的學(xué)生人數(shù)為17人C．若按比例分層抽樣從各社團選派20人，則無人機社團選派人數(shù)為3人D．若甲?乙?丙三人報名參加社團，則共有60種不同的報名方法【答案】AC【分析】根據(jù)圖表所給出的數(shù)據(jù)，分別計算出5個社團的具體人數(shù)和占高一年級總?cè)藬?shù)的比例，再逐項求解.【詳解】由題目所給的數(shù)據(jù)可知：民族舞的人數(shù)為12，占高一年級總?cè)藬?shù)的比例為，所以高一年級的總?cè)藬?shù)為 ，英文劇場的人數(shù) ，辯論的人數(shù)=30，無人機=數(shù)學(xué)建模= ，占高一年級人數(shù)的比例是 ，故A正確，B錯誤，分層抽樣20人，無人機應(yīng)派出（人），C正確，甲乙丙三人報名參加社團，每人有5種選法，共有種報名方法，D錯誤；故選：AC.10．拋物線的準線為，焦點為，且經(jīng)過點，點關(guān)于直線的對稱點為點，設(shè)拋物線上一動點到直線的距離為，則（    ）A．B．的最小值為C．直線與拋物線相交所得弦的長度為4D．過點且與拋物線有且只有一個公共點的直線共有兩條【答案】BC【分析】A選項，代入坐標即可求出；B選項，利用拋物線的定義和三角形三邊關(guān)系求解即可；C選項，注意到軸，根據(jù)對稱性，所求弦長為；D選項，是符合的直線，然后設(shè)出直線方程和拋物線聯(lián)立求解.【詳解】A選項，代入拋物線方程，解得，故A錯誤；D選項，由A知，此時拋物線方程為，故準線為，由題意，于是過點且和拋物線只有一個交點，過斜率不存在的線顯然和拋物線不相交，故設(shè)，和拋物線聯(lián)立得到，整理得，由，解得或，于是，是拋物線的兩條切線，綜上，過點且與拋物線有且只有一個公共點的直線共有三條，D選項錯誤；C選項，注意到，故軸，設(shè)直線與拋物線相交所得弦為，根據(jù)對稱性，，C選項正確；B選項，設(shè)準線，垂足為，由題意，，根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，于是，當落在線段上取等號，故B選項正確.故選：BC11．如圖，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，圓柱的體積為，則（    ）A．圓錐的表面積為B．圓柱的體積最大值為C．圓錐的外接球體積為D．【答案】ABC【分析】根據(jù)圓錐的截面確定底面半徑和母線，代入圓錐表面積公式計算可判斷A，利用相似找到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求出圓柱體積的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法求解最大值可判斷B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半徑，求出體積即可判斷C，作差變形，判斷符號即可判斷D.【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，所以圓錐的母線長為2，底面圓的半徑為1，圓錐的高，所以圓錐的表面積為，故選項A正確；設(shè)圓柱的高為h，如圖則，解得，則圓柱的體積為，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以圓柱的體積最大值為，故選項B正確；如圖，設(shè)圓錐的外接球球的半徑為，則由是正三角形可得，,在中，，解得，所以圓錐的外接球體積為，故選項C正確；因為，所以，，所以，由于與1的關(guān)系無法判斷，所以與大小關(guān)系不確定，故選項D錯誤.故選：ABC.12．若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，則稱為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，其中，則（    ）A．B．數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列C．D．關(guān)于的不等式的解有無限個【答案】BCD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，得出數(shù)列遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)及不等式證明逐一判斷各選項.【詳解】對于A，由得，所以，故A錯誤；對于B，由得，，所以，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故B正確；對于C，，，由，得，所以，所以，令，則，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又，，所以，即，所以，，即.對于C，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：.當時，，命題成立；假設(shè)當時，命題成立，即；當時，即，，命題成立；所以命題成立；綜上成立.對于D，，因為，所以，即，，所以不等式的解有無限個,故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由和，構(gòu)造等比數(shù)列，考查了運算求解能力和邏輯推理能力,屬于偏難題目. 三、填空題13．已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】18【分析】對等式進行變形，再根據(jù)基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，則，又，是正數(shù)，所以，當取得等號，即且時取等號，所以的最小值為，故答案為：.14．已知隨機變量，其中，則___________.【答案】0.2【分析】由服從的分布類型可直接求出，，從而求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，又因為，所以，因為，所以，且，又因為，所以，所以.故答案為：0.2.15．山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為______米.【答案】【分析】根據(jù)已知角的關(guān)系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【詳解】由題意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案為：16．已知函數(shù)，，當實數(shù)滿足時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】同構(gòu)，對函數(shù)多次求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)求得，從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值即可求解.【詳解】，令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，有，記，則，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，由題意，所以，所以，不等式恒成立即恒成立，所以時，恒成立，即在上恒成立，記，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，故.故答案為：【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式計算可得答案；（2）由題意可知，利用錯位相減求和可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為.所以，所以，，所以；（2）由題意可知，所以①，②，①②得，，，，.18．如圖，四邊形與均為菱形，，且.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）設(shè)AC與BD相交于點O，連接FO，易證、，應(yīng)用線面垂直判定證結(jié)論；（2）連接，求證兩兩垂直，構(gòu)建空間之間坐標系，向量法求線面角的正弦值.【詳解】（1）設(shè)AC與BD相交于點O，連接FO.因為四邊形ABCD為菱形，所以，且為中點，因為，所以，又，面，所以平面.（2）連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為為中點，所以，又，面，所以平面.所以兩兩垂直，如圖所示，建立空間直角坐標系，因為四邊形為菱形，，所以.因為為等邊三角形，所以，所以，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則.19．已知，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，若將其圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)的解析式及圖象的對稱中心；(2)在鈍角中，內(nèi)角的對邊分別是，若，求的取值范圍.【答案】(1)，對稱中心為(2) 【分析】（1）根據(jù)的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出，再根據(jù)圖像平移得到 ，由對稱中心公式求得結(jié)果；（2）由得出三角的關(guān)系，利用正弦定理及角度關(guān)系化簡，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間得出結(jié)果.【詳解】（1）已知的圖象相鄰對稱軸間的距離為，則.由周期公式得，，所以，，令，所以，故函數(shù)的對稱中心為（2）由題意得，，，所以.所以或（舍），所以.因為在鈍角中，所以，所以，則令，，當時，；當時，；可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以當，即時，有最小值；，所以故.20．某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進新征程”知識競賽，知識競賽包含預(yù)賽和決賽.(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）和平均數(shù)；(2)決賽共有編號為的5道題，學(xué)生甲按照的順序依次作答，答對的概率依次為，各題作答互不影響，若累計答錯兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記為比賽結(jié)束時學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)上四分位數(shù)：96，平均數(shù)：(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望： 【分析】（1）直接利用百分位數(shù)的求解步驟即可求出上四分位數(shù)，再利用平均數(shù)的計算公式即可計算平均數(shù)；（2）找出的所有可能取值，然后分別求出其概率，即可列出分布列，進而求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因為，所以上四分位數(shù)為第八個成績，為96；平均數(shù)為.（2）由題意可知的取值為，所以，，，，所以的分布列為：2345.21．已知橢圓，圓與軸的交點恰為的焦點，且上的點到焦點距離的最大值為.(1)求的標準方程；(2)不過原點的動直線與交于兩點，平面上一點滿足，連接交于點（點在線段上且不與端點重合），若，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)(2)直線與圓相離，理由見解析 【分析】（1）由題意列出橢圓中的，，的關(guān)系解方程組即可求解；（2）需判斷圓心到直線的距離與圓的半徑的大小系，重視設(shè)而不求的思想方法.【詳解】（1）由題意，圓與軸的交點為，可得，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，又因為，可得，，所以橢圓的標準方程為（2）如圖所示，設(shè)，當直線的斜率存在時，設(shè)直線，與聯(lián)立可得，，且有，，由可得點為中點，可得，且有，所以可得，，即點的坐標為，將點代入橢圓，可得，化簡后，得，由于點分別滿足，代入上式可得，，即.代入韋達定理可得，，滿足式，點到直線的距離，由于，可得，所以，所以有，所以直線與圓相離，當直線的斜率不存在時，此時有，代入，可得，又，可得，所以直線的方程為，也滿足直線與圓相離.綜上，直線與圓相離.22．已知函數(shù).(1)討論的極值點個數(shù)；(2)若有兩個極值點，直線過點.（i）證明：；（ii）證明：.【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）（i）由（1）知，，不妨設(shè)，且，，依題意只需證明，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；（ii）依題意可得，則只需證明，即證明，結(jié)合（i）的結(jié)論即可得證.【詳解】（1）因為定義域為，且，當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為；當時，對于函數(shù)，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，極值點個數(shù)為；當時，由得，或，由得，或；由得，.所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以為極大值點，為極小值點，極值點個數(shù)為.綜上，當時，極值點個數(shù)為；當時，極值點個數(shù)為2.（2）（i）由（1）知，，不妨設(shè)，則，，所以，要證成立，只需證明，只需證明，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以成立.所以.（ii）由得，要證成立，只需證明，因為，所以只需證明，只需證明，只需證明，即，因為成立，所以成立.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 

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