浙江省杭州四校聯(lián)盟（杭州第二中學(xué)等四校）2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.考生須知：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校?班級?姓名?試場號?座位號及準(zhǔn)考證號；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 在空間直角坐標(biāo)系中，，則的值為（    ）A. 0  B. 1  C. 2  D. -1【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，又，所以，解得，故選：A.2. 已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和為，且，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】依題意，即，解得或，又，所以，所以.故選：D.3. 第19屆亞運(yùn)會將于今年在杭州舉行.你在西湖邊遇到了志愿者裝扮的吉祥物“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”.假如你要和三個(gè)吉祥物一起拍合照,且你不希望站在兩端,則共有(   )種不同的站法.A. 24 B. 18 C. 12 D. 9【答案】C【解析】4人站成一排共有種排法,你站在左右兩端的排法有種,所以滿足題意的有種.故選:C.4. 如圖，在正方體中，棱長為2，點(diǎn)分別為棱?中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A. 2  B.     C.   D. 【答案】B【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.5. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 一定有極大值B. 當(dāng)時(shí)，有極小值C. 當(dāng)時(shí)，可能無零點(diǎn)D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】D【解析】由題意可得：，若，則恒成立，即在定義域上單調(diào)遞增，無極值，故A錯誤；若，令，易得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有極大值，故B錯誤；若，由上知在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故使得，故C錯誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則由上可知①時(shí)，恒成立，滿足題意；②時(shí)，則，即，綜上可得，故D正確.故選：D.6. 已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（    ）A.     B.   C.   D. 1【答案】B【解析】已知圓的圓心為，半徑，由題意可知：直線過圓心，即，表示直線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故的最小值即為到直線的距離.故選：B.7. 已知，則的大小為（    ）A.     B. C.     D. 【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，，又因?yàn)?/span>，所以.故選：D.8. 已知雙曲線，以右頂點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn)（不在軸上）處的切線與交于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A.   B. C.     D. 【答案】A【解析】由題意得雙曲線漸近線，，圓，切點(diǎn)在雙曲線左支和右支之間，由對稱性，不妨設(shè)切點(diǎn)在軸上方；設(shè)，，，則，因?yàn)橹本€的斜率，所以切線斜率.因?yàn)?/span>①，②；②—①得，可得，所以 ，，，故.又在圓上，所以.因?yàn)榍悬c(diǎn)在軸的上方，切線與雙曲線交于兩點(diǎn)，一條漸近線的斜率為，所以有，代入，可得，故，即.故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 已知的二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為32，則下列說法正確的是（    ）A.       B. 含的項(xiàng)系數(shù)為90C. 第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10  D. 常數(shù)項(xiàng)為1【答案】AC【解析】對于A，將代入得，解得，故正確；對于B，因?yàn)?/span>，所以的展開式中第項(xiàng)為：，所以當(dāng)時(shí)，，故錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，故正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，即常數(shù)項(xiàng)為-1，故錯誤.故選：AC.10. 已知函數(shù)，則（    ）A.      B. 是周期函數(shù)C. 在單調(diào)遞減  D. 【答案】ACD【解析】定義域?yàn)?/span>，，對于A，，A正確；對于B，由于不是周期函數(shù)，不具備周期性，B錯誤；對于C，令，則，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞減.C正確；對于D，要證，即證.令，即證.當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，.D正確.故選：ACD.11. 已知數(shù)列滿足，其中是給定的實(shí)數(shù).設(shè)，以下判斷正確的是（    ）A. 是等差數(shù)列B. C. 的通項(xiàng)公式為D. 數(shù)列的最小項(xiàng)是【答案】BCD【解析】由已知條件，得，即，所以，，…，，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得，即，代入驗(yàn)證也符合，所以C正確；根據(jù)的通項(xiàng)公式依次求出數(shù)列前三項(xiàng)，，，顯然不是等差數(shù)列，所以A錯誤；再由，，得，同理根據(jù)，，得，所以B正確；設(shè)數(shù)列的最小項(xiàng)為，則，即，所以，解得，由于，，所以，即數(shù)列的最小項(xiàng)是.故選：BCD.12. 二次曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A. 曲線關(guān)于軸對稱B. 曲線在處的切線為C. 曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)D. 曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)【答案】CD【解析】對于選項(xiàng)A，設(shè)點(diǎn)為二次曲線上任意一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)代入曲線方程，得，所以點(diǎn)不在二次曲線上，所以曲線不關(guān)于軸對稱，故選項(xiàng)A錯誤.對于選項(xiàng)B，聯(lián)立方程，得到或，直線與二次曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)和，所以曲線在處不相切，故選項(xiàng)B錯誤.對于選項(xiàng)C，聯(lián)立方程，得到或，所以曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)和，故選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，聯(lián)立方程，得到 ，即，所以，解得，當(dāng)時(shí)，直線過，又因?yàn)?/span>在的內(nèi)部，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線過，又因?yàn)?/span>在的內(nèi)部，所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；所以兩條直線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，曲線與圓有四個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：CD.第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. “楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為______.【答案】【解析】因?yàn)閺纳贤旅織l線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，所以可以判斷從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是它前兩個(gè)數(shù)的和，所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，因此第10條斜線上，各數(shù)之和為，故答案為：.14. 橢圓，直線與橢圓截得的弦的中點(diǎn)分別為，則橢圓的上頂點(diǎn)到直線的距離為__________.【答案】【解析】由橢圓的對稱性知，和直線的交點(diǎn)的中點(diǎn)為，設(shè)與橢圓的交點(diǎn)為，由，消去得到，即，由韋達(dá)定理得，所以，所以，所以直線的方程為，又上頂點(diǎn)為，所橢圓的上頂點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：.15. 從1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4個(gè)不同的數(shù)，分別記作，若和的奇偶性相同，則的取法共有__________種（用數(shù)字作答）.【答案】912【解析】若和都是奇數(shù)，則為一奇一偶，也一奇一偶，有種取法；若和都是偶數(shù)，則有以下兩種情況：①兩奇（偶）數(shù)，兩奇（偶）數(shù)，有種取法；②兩奇（偶）數(shù)，兩偶（奇）數(shù)，有種取法；共計(jì)576+48+288=912種取法.故答案為：912.16. 已知不等式恒成立，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】易知，由，得到，即，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到在區(qū)間上恒成立，令，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以，得到，又，所以，故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 設(shè)數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，.（1）求、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，對任意的，.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，因此，.（2）因?yàn)?/span>，所以，，，兩式相減：，于是.18. 已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍.解：（1）依題意，，，所以，又，所以切線方程為.（2）因?yàn)?/span>，所以：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.所以在處取得極大值也即是最大值，對于函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的取值范圍是.19. 為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀測站和（點(diǎn)在點(diǎn)?點(diǎn)之間），它們到平臺的距離分別為1海里和4海里，記海平面上到兩觀測站的距離之比為的點(diǎn)的軌跡為曲線，規(guī)定曲線及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)（如圖）.（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，1海里為單位長度，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；（2）海平面上有巡航觀察點(diǎn)可以在過點(diǎn)垂直于的直線上運(yùn)動.（i）若為的中點(diǎn)，求的最小值；（ii）過作直線與曲線相切于點(diǎn).證明：直線過定點(diǎn).（1）解：設(shè)，則由題意，根據(jù)題意可知，，，故曲線的方程為：；（2）（i）解：直線的方程為.若為的中點(diǎn)，則，，當(dāng)三點(diǎn)共線且重合時(shí)，的最小值為；（ii）證明：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，此時(shí)過點(diǎn)的切線方程為或，不妨設(shè)切線方程為，此時(shí)，故，設(shè)過的另一條切線方程為，則，解得，解得，聯(lián)立與，解得，此時(shí)直線為，整理得，當(dāng)時(shí)，斜率為0，此時(shí)過點(diǎn)的切線方程為，此時(shí)與直線無交點(diǎn)，不合要求，當(dāng)且時(shí)，，則過點(diǎn)的切線方程為，整理得，即，因?yàn)?/span>，故切線方程為，因?yàn)?/span>在切線方程上，故，設(shè)，同理可得，則直線的方程為，過定點(diǎn)，顯然也過點(diǎn)，過定點(diǎn).20. 如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，梯形底面，.設(shè)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角余弦為，請說明理由.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則共面又，所以；由底面是菱形，，所以為正三角形，所以，又，平面，所以平面，又，，所以，所以平面.（2）解：因?yàn)槠矫?/span>平面平面，，平面平面，所以平面，則以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量,由，則，則,所以，整理得，由，所以方程無實(shí)數(shù)根，故不存在這樣符合條件的點(diǎn).21. 已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，.（1）求的方程；（2）設(shè)，直線與交于，若的重心在上，求面積的最大值.解：（1）是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，所以到準(zhǔn)線的距離，解得，拋物線方程為：.（2）設(shè)直線， F，E為AN，BN中點(diǎn)，D為的重心，如圖所示，由，得到，則，設(shè)重心為，則，重心在上，則，則，直線與交于兩點(diǎn)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，于是，又，設(shè)，則，易得當(dāng)時(shí)，，所以.22. 已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求的取值范圍.解：（1）易知，因?yàn)?/span>，則，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)，當(dāng)，綜上，當(dāng)，的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>等價(jià)于函數(shù)的最小值小于或等于0，考慮反面：對恒成立.由，得到，化簡得，設(shè)，令，則在區(qū)間上恒成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，令，則在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，存在，使，所以，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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