2022-2023學年廣東省廣州大學附中八年級（下）期中數(shù)學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列二次根式中，是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列值中，能滿足在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列命題中是假命題的是(    )A. 中，若，則是直角三角形
B. 中，若，則是直角三角形
C. 中，若：：：：，則是直角三角形
D. 中，若：：：：，則是直角三角形5.  九章算術中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D. 6.  如圖，平行四邊形的對角線、相交于點，已知，，，則的面積為(    )A.
B.
C.
D. 7.  四邊形中，已知，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  下列命題的逆命題是真命題的是(    )A. 如果兩個角是直角，那么它們相等
B. 如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等
C. 如果一個四邊形是菱形，那么它的四條邊都相等
D. 如果一個四邊形是矩形，那么它的對角線相等9.  如圖，四邊形中，點、、、分別是線段、、、的中點，則四邊形的周長(    )
 A. 只與、的長有關 B. 只與、的長有關
C. 只與、的長有關 D. 與四邊形各邊的長都有關．10.  如圖，平面內(nèi)三點、、，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  如圖所示：數(shù)軸上點所表示的數(shù)為，則的值是______．
12.  平行四邊形的一個角的平分線分對邊為和兩部分，則平行四邊形的周長為______ ．13.  使成立的條件是______ ．14.  由于四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，將正方形向下擠壓變形后得到菱形若，則菱形與原正方形的面積之比為______．
 15.  如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別是、、、，則正方形的邊長是          ．
 
  
 16.  如圖，在中，，，分別以的三邊為邊向外作三個正方形，，，連接過點作的垂線，垂足為，分別交，于點，若，，則四邊形的面積是          ．
 三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  計算：
；
．四、解答題（本大題共8小題，共66.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
如圖，在四邊形中，：：：：：：，且．
求的度數(shù)；
若，求的值．
19.  本小題分
已知垂直平分，，．
證明四邊形是平行四邊形；
若，，求的長．
20.  本小題分
如圖，將兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構成的四邊形是否為菱形？請說明理由．
21.  本小題分
小明在解決問題：已知，求的值，他是這樣分析與解答的：
．
．
，即．
．
請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：
計算：______；
計算：；
若，求的值．22.  本小題分
如圖，在四邊形中，和相交于點，，．
求證：四邊形是平行四邊形；
如圖，，，分別是，，的中點，連接，，，若，，，求的周長．
 23.  本小題分
如圖，為線段上一動點，分別過點、作，，連接、已知，，，設．

用含的代數(shù)式表示的長為______ ；
求的最小值______ ；
根據(jù)中的規(guī)律和結論，請模仿圖在網(wǎng)格中圖構圖并求代數(shù)式的最小值．24.  本小題分
長方形在平面直角坐標系中的位置如圖：、滿足．
求，的值；
點在邊上運動，將長方形沿直線折疊．
：如圖，折疊后點落在邊上的點處，求點的坐標；
：如圖，折疊后點落在軸下方的點處，與交于點，與交于點，且，求的長．
 25.  本小題分
在正方形中，點是邊上任意一點連接，過點作于交于．
如圖，過點作于，求證：≌；
如圖，點為的中點，連接，求證：；
如圖，，連接，點為的中點，在點從點運動到點的過程中，點隨之運動，請直接寫出點運動的路徑長．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
利用最簡二次根式的定義對各選項進行判斷．
本題考查了最簡二次根式：最簡二次根式的條件：
被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；
被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．
【解答】
解：．，故本選項不合題意；
B.，故本選項不合題意；
C.是最簡二次根式，故本選項符合題意；
D.，故本選項不合題意．
故選：．  2.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)二次根式的乘除運算法則及同類二次根式的概念逐一判斷即可得．
本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．
【解答】
解：．，此選項計算正確；
B.與不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤；
C.與不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤；
D.，此選項錯誤；
故選：．  3.【答案】 【解析】解：由題意可得：，
解得：，
觀察選項，可能的值為，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出的取值范圍．
本題考查了二次根式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解本題的關鍵．
 4.【答案】 【解析】解：、，所以，所以是直角三角形，故本選項不符合題意．
B、若，所以，所以是直角三角形，故本選項不符合題意．
C、若：：：：，最大角為，故本選項符合題意．
D、若：：：：，則是直角三角形，故本選不項符合題意．
故選C．
有一個角是直角的三角形是直角三角形，兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形．
本題考查直角三角形的概念，和勾股定理的逆定理．
 5.【答案】 【解析】解：如圖，設折斷處離地面的高度為尺，則，，
在中，，即．
故選：．
根據(jù)題意畫出圖形，設折斷處離地面的高度為尺，再利用勾股定理列出方程即可．
本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖，領會數(shù)形結合的思想的應用．
 6.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
的面積；
故選：．
由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，則，由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，由三角形面積公式即可得出答案．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出為直角三角形是解題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了學生對平行四邊形的判定的掌握情況．對于判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，應用時要注意必須是“一組”，而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形．平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
【解答】
解：根據(jù)平行四邊形的判定，、、均能判定它是平行四邊形，則不能判定是平行四邊形．
故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
根據(jù)逆命題的概念分別寫出各個命題的逆命題，根據(jù)平方的概念、菱形、矩形的判定定理判斷．
【解答】
解：、如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，逆命題是假命題；
B、如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)相等，逆命題是假命題；
C、如果一個四邊形是菱形，那么它的四條邊都相等的逆命題是如果一個四邊形四條邊都相等，那么這個四邊形是菱形，逆命題是真命題；
D、如果一個四邊形是矩形，那么它的對角線相等的逆命題是如果一個四邊形的對角線相等，那么這個四邊形是矩形，逆命題是假命題，
故選：．  9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查三角形的中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形的中位線定理解答即可．
【解答】
解：點、、、分別是線段、、、的中點，
，，，，
四邊形的周長．
故選B．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．如圖將繞點順時針旋轉得到由旋轉不變性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出當的值最大時，的值最大，利用三角形的三邊關系求出的最大值即可解決問題
【解答】
解：如圖將繞點順時針旋轉得到．

由旋轉不變性可知：，，
是等腰直角三角形，
，
當的值最大時，的值最大，
，
，
的最大值為，
的最大值為，
故選：．  11.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應關系，考查勾股定理．
根據(jù)數(shù)軸上點的特點和相關線段的長，利用勾股定理求出斜邊的長，即知表示的點和之間的線段的長，進而可推出表示的值．
【解答】
解：圖中直角三角形的兩直角邊為，，
斜邊長為，
那么和之間的距離為，
那么的值是：．
故答案為．  12.【答案】或 【解析】解：如圖，?中，，
，
是的平分線，
，
，
，
時，，
則，
，
平行四邊形的周長，
時，，
則，
，
平行四邊形的周長，
綜上所述，平行四邊形的周長為或．
故答案為：或．
作出圖形，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后求出，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得，然后分，兩種情況解答即可．
本題主要考查了平行四邊形的對邊平行的性質(zhì)，角平分線的定義，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．
 13.【答案】 【解析】解：由題意得，且．
．
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡、二次根式有意義的條件解決此題．
本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡、二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)與化簡、二次根式有意義的條件是解決本題的關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意可知菱形的高等于，
菱形的面積為，正方形的面積為．
菱形的面積與正方形的面積之比是．
故答案為：．
根據(jù)，得所對的直角邊等于斜邊的，可知菱形的高等于，再根據(jù)正方形的面積公式和平行四邊形的面積公式即可得解．
本題主要考查了正方形與菱形的面積，熟知角所對的直角邊等于斜邊的一半是解答本題的關鍵．
 15.【答案】 【解析】【分析】
分別設中間兩個正方形和最大正方形的邊長為，，，由勾股定理得出，，，即最大正方形的面積為，可得結論．
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．
【解答】
解：設中間兩個正方形的邊長分別為、，正方形的邊長為，則由勾股定理得：
，，；
即最大正方形的面積為：．
則正方形的邊長是．
故答案為：．  16.【答案】 【解析】解：過點作，交的延長線于點，過點作于點，

為直角三角形，四邊形，為正方形，過點作的垂線，，
，，，，，，，，
，，
，，
在和中，

，
，，
在和中，

，
，，
，
在和中，

，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四邊形為正方形，
，
四邊形為矩形，
四邊形的面積為：，
故答案為：．
過點作于點，過點作于點，由正方形的性質(zhì)可證得≌，≌，可得，，可證得≌，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，，從而可得，可得與，即可求解．
本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，解題的關鍵是正確作出輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)進行求解．
 17.【答案】解：原式
；
原式


． 【解析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則運算，然后合并即可；
先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡后合并即可．
本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．
 18.【答案】解：連接，
設、、、分別為、、、，
，，，
，，
，，
，
，
；
，：：：：：：，
，，，
由得，
． 【解析】連接，設、、、分別為、、、，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出，計算即可；
根據(jù)的結論，利用三角形面積公式計算即可．
本題考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．
 19.【答案】證明：垂直平分，
，，
在與中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
解：四邊形是平行四邊形，，
?是菱形，
，
，
設，則，
，
即
解得：，
，
． 【解析】先證得≌求得，從而得到，所以，因為，，所以，即可證得．
先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．
本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應用，掌握相關知識是解題的關鍵．
 20.【答案】解：四邊形是菱形，
理由如下：如圖，作于點，于點，

，，
四邊形是平行四邊形，
兩張等寬的長方形紙條交叉疊放在一起，
，
，
，
?是菱形． 【解析】作于點，于點，根據(jù)兩張等寬的長方形紙條交叉疊放在一起可得，再根據(jù)等面積法證明，進而證明四邊形的形狀一定是菱形．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，利用等面積法解決本題是關鍵．
 21.【答案】解：；
原式

；
，
，，
則有，，



．
答：的值為． 【解析】解：，
故答案為：；
見答案
見答案．

根據(jù)小明的解答過程即可進行計算；
結合進行分母有理化，再合并即可得結果；
根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．
本題考查了分母有理化的應用，能求出的值和正確變形是解此題的關鍵．
 22.【答案】證明：，
，
在與中，
，
≌，
，
四邊形是平行四邊形；
解：連接，

四邊形是平行四邊形，
，，，，，
，
，
，
點是的中點，
，，
，
在中，，
點是的中點，，
，
點，點分別是，的中點，
是的中位線，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
的周長，
的周長為． 【解析】根據(jù)已知可得，然后再利用證明≌，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得，最后利用平行四邊形的判定方法即可解答；
連接，利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，，從而可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而在中，利用勾股定理求出的長，然后利用直角三角形斜邊上的中線可求出的長，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，，從而可得四邊形是平行四邊形，，進而可得，最后進行計算即可解答．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．
 23.【答案】  【解析】解：，，
和是直角三角形，
，，，設，
，
在中，，
在中，，
，
故答案為：；
過點作，垂足為點，連接，如圖所示：

，，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
要使的值最小，則需滿足點、、三點共線即可，即最小值為的長，
的最小值；
取為線段上一動點，分別過點、作，，連接、已知，，，如圖所示：

設，則根據(jù)勾股定理可得：，
，
同理可知的最小值即為點與點之間的距離，
的最小值為．
由勾股定理即可求解；
過點作，垂足為點，連接，則有，，要使的值最小，則需滿足點、、三點共線即可，即最小值為的長，然后問題可求解；
取為線段上一動點，分別過點、作，，連接、已知，，，然后同理可進行求解．
本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
 24.【答案】解：，
，
；
，，
，，
四邊形是長方形，
，
設，則，
由折疊得：，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
；
設，則，由折疊得：，，
，，，
≌，
，，
，
即，
，，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
． 【解析】由，即可得出、的值；
由，，得，，設，則，再由折疊得，，再根據(jù)勾股定理求得，則，在中，由勾股定理即可求出的長，從而求得點的坐標；
設，則，由折疊得：，，利用證出≌，推出，，，在中，由勾股定理即可求出的長．
本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識，由勾股定理列出方程求解是解題的關鍵．
 25.【答案】證明：四邊形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
證明：過點作于，交的延長線于，如圖所示：
四邊形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
點為的中點，
，
，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
四邊形是正方形，
，
，
；
解：如圖，取的中點，連接，延長交于，過點作于，于，
設，
由得：≌，
，
，點為的中點，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
點在線段上運動，是等腰直角三角形，
，
點的運動軌跡的長為． 【解析】由正方形的性質(zhì)得，，再證，然后由證≌即可；
過點作于，交的延長線于，先證≌，得，再證≌，得，，則四邊形是正方形，得，則，進而得出結論；
取的中點，連接，延長交于，過點作于，于，設，由得≌，則，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后由等腰三角形的性質(zhì)得，，則，證出，最后證點在線段上運動，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，即可求解．
本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題綜合性強，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明≌和≌是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．
 

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