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學(xué)校開(kāi)展大課間活動(dòng)，某班需要購(gòu)買(mǎi)，兩種跳繩，已知購(gòu)買(mǎi)根型跳繩和根型跳繩共需元；購(gòu)買(mǎi)根型跳繩和根型跳繩共需元．
購(gòu)買(mǎi)根型跳繩和根型跳繩各需多少元？
若班級(jí)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)，兩型跳繩共根，型跳繩個(gè)數(shù)不少于型跳繩個(gè)數(shù)的倍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)型跳繩根，求購(gòu)買(mǎi)跳繩所需最少費(fèi)用是多少元？24. 本小題分
如圖，已知．
在圖中用直尺和圓規(guī)作的角平分線，作，使得，射線交于點(diǎn)不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡；
在的條件下，判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．
25. 本小題分
如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上，且．
求的值及線段的長(zhǎng)；
點(diǎn)為點(diǎn)上方軸上一點(diǎn)，當(dāng)與的面積相等時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
26. 本小題分
對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形，，給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形，間的“最小距離”，記作已知點(diǎn)，，連接．
填空：點(diǎn)， ______ ；
的半徑是，若，直接寫(xiě)出的取值范圍；
的半徑是，若將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，求此時(shí)的值；
對(duì)于取定的值，若存在兩個(gè)不同的值使得，直接寫(xiě)出的取值范圍．
27. 本小題分
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．
填空： ______ ；
若是以為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
連接，過(guò)點(diǎn)作直線交軸正半軸于點(diǎn)若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
28. 本小題分
如圖，已知中，，，，是邊上一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)、不重合，平分，交邊于點(diǎn)．
如圖，若是邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
若與相似，求的值；
若的面積是面積的倍，直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了相反數(shù)的意義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上“”號(hào)；一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，的相反數(shù)是．
根據(jù)相反數(shù)的意義，的相反數(shù)即是在的前面加負(fù)號(hào)．
【解答】
解：根據(jù)相反數(shù)的概念及意義可知：的相反數(shù)是．
故選：． 2.【答案】 【解析】解：式子有意義，
，
解得．
故選：．
根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
3.【答案】 【解析】解：由三視圖可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．
故選：．
從三視圖的俯視圖看是一個(gè)三角形，而主視圖是一個(gè)矩形，左視圖為矩形，可知這是一個(gè)三棱柱．
本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀．熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助．
4.【答案】 【解析】解：三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，
第三邊的長(zhǎng)度范圍為：．
故選：．
由三角形的兩邊長(zhǎng)分別為和，可得第三邊的長(zhǎng)度范圍即可得出答案．
此題考查了三角形的三邊關(guān)系．注意已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于這兩邊的和．
5.【答案】 【解析】解：、與，無(wú)法合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故此選項(xiàng)正確；
C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．
此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
6.【答案】 【解析】解：底面周長(zhǎng)是，
則圓錐的側(cè)面積是：
故選：．
已知底面半徑即可求得底面周長(zhǎng)，即展開(kāi)圖中，扇形的弧長(zhǎng)，然后根據(jù)扇形的面積公式即可求解．
本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．
7.【答案】 【解析】解：當(dāng)油箱中剩余的油量為時(shí)，那么該汽車(chē)已行駛的路程為：，
故選：．
由圖象可知，汽車(chē)行駛耗油，據(jù)此解答即可．
本題考查了函數(shù)的圖象，由題意得出汽車(chē)行駛耗油是解答本題的關(guān)鍵．
8.【答案】 【解析】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示，
根據(jù)題意可知，，
設(shè)，
四邊形的面積為，
為的中點(diǎn)，軸，軸，
為的中位線，
，，
四邊形的面積為，
，
解得：，
．
故選：．
根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義構(gòu)造出矩形，利用方程思想解答即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，正確作出輔助線構(gòu)造出矩形是解決本題的關(guān)鍵．
9.【答案】 【解析】解：，
的算術(shù)平方根是，即．
故答案為：．
利用算術(shù)平方根定義計(jì)算即可求出值．
此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．
10.【答案】 【解析】解：
，
故答案為：．
運(yùn)用同分母分式相加減，分母不變分子相加減進(jìn)行運(yùn)算．
此題考查了分式加減的運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該計(jì)算法則進(jìn)行正確地計(jì)算．
11.【答案】 【解析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：，
故答案為：．
本題考查了運(yùn)用公式法分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
13.【答案】 【解析】解：且，，
則．
故答案為：．
由數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)可以知道：且根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則即可判斷．
本題主要考查了利用數(shù)軸比較數(shù)的大小的方法，以及有理數(shù)的運(yùn)算法則．
14.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，
．
故答案為：．
直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，拋物線向下開(kāi)口是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】 【解析】解：，，
四邊形是平行四邊形，，，
，
，
，，
，，
四邊形的周長(zhǎng)，
四邊形的周長(zhǎng)，
，
四邊形的周長(zhǎng)．
故答案為：．
由，，得四邊形是平行四邊形，，，再由和等量代換，即可求得四邊形的周長(zhǎng)．
本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】 【解析】解：，
，
四邊形內(nèi)接于，
，
由圓周角定理，得，
故答案為：．
根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理解答即可．
本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】 【解析】解：作于，于，
平分，
，
，，，
，
的面積，
，
，
，
點(diǎn)到的距離是．
故答案為：．
由角平分線的性質(zhì)定理，推出，由三角形面積公式求出的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)到的距離．
本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)定理，推出，由三角形面積公式求出的長(zhǎng)．
18.【答案】 【解析】解：連接，
正方形的邊長(zhǎng)為，
，，
點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，
將沿翻折得到，
，
點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
．
故答案為：．
根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得的長(zhǎng)，再由翻折知，得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最?。?/span>
本題主要考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，確定當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】利用二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；
利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，熟練掌握上述法則與公式是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式組的解集是，
解集在數(shù)軸上表示如下：
【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：被調(diào)查總?cè)藬?shù)：人，
，
；
．
故可估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生中每日完成書(shū)圖作業(yè)所需時(shí)長(zhǎng)滿足的人數(shù)是人． 【解析】先求出被調(diào)查總?cè)藬?shù)，再根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出，用總?cè)藬?shù)減去、、的人數(shù)，即可得的值；
利用樣本估計(jì)總體的思想，用乘以樣本中每日完成書(shū)面作業(yè)所需時(shí)長(zhǎng)滿足的人數(shù)所占的百分比即可得到答案．
本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表，解題的關(guān)鍵是掌握從圖表中尋找“完整信息”從而求出被調(diào)查的總數(shù)．
22.【答案】 【解析】解：攪勻后從中任意摸出個(gè)球，這個(gè)球是紅球的概率是，
故答案為：；
樹(shù)狀圖略
所有等可能結(jié)果共有種，其中兩次摸到的球恰好是個(gè)紅球和個(gè)白球共有種，
兩次摸到的球恰好是個(gè)紅球和個(gè)白球，
答：是兩次摸到的球恰好是個(gè)紅球和個(gè)白球的概率．
直接根據(jù)概率公式求解即可；
畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好摸出個(gè)紅球、個(gè)白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹(shù)狀圖法，熟練掌握列表法與樹(shù)狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)根型跳繩需要元，根型跳繩需要元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購(gòu)買(mǎi)根型跳繩需要元，根型跳繩需要元；
班級(jí)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)，兩型跳繩共根，且購(gòu)買(mǎi)型跳繩根，
購(gòu)買(mǎi)型跳繩根．
根據(jù)題意得：，
解得：．
設(shè)購(gòu)買(mǎi)跳繩所需費(fèi)用為元，則，
即，
，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值．
答：購(gòu)買(mǎi)跳繩所需最少費(fèi)用是元． 【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)根型跳繩需要元，根型跳繩需要元，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)根型跳繩和根型跳繩共需元；購(gòu)買(mǎi)根型跳繩和根型跳繩共需元”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
由購(gòu)買(mǎi)兩種跳繩的數(shù)量及購(gòu)買(mǎi)型跳繩的數(shù)量，可得出購(gòu)買(mǎi)型跳繩根，由購(gòu)買(mǎi)型跳繩個(gè)數(shù)不少于型跳繩個(gè)數(shù)的倍，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設(shè)購(gòu)買(mǎi)跳繩所需費(fèi)用為元，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問(wèn)題．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
24.【答案】解：如圖，和為所作；
是等腰三角形．
證明如下：平分，
，
，
．
．
是等腰三角形． 【解析】理由基本作圖先作的平分線，然后作；
先利用平分得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，所以則，于是可判斷是等腰三角形．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定．
25.【答案】解：點(diǎn)在正比例函數(shù)上，軸，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，代入，得，
，
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
，
點(diǎn)在線段上，且．
設(shè)點(diǎn)，
，，
，解得：，
點(diǎn)，
，
，；
如圖，
設(shè)點(diǎn)，
點(diǎn)為點(diǎn)上方軸上一點(diǎn)，
，，
，，
，，
與的面積相等，
，解得：，
． 【解析】根據(jù)正比例函數(shù)的解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，由在反比例函數(shù)上，可求出，再根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得線段的長(zhǎng)；
設(shè)點(diǎn)，根據(jù)與的面積相等，得出關(guān)于的方程，解方程即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及解析式，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離建立方程式求解點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
26.【答案】 【解析】解：點(diǎn)，，
軸，
點(diǎn)，，
故答案為：；
如圖，，則與線段有交點(diǎn)，
此時(shí)，
的取值范圍是；
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
，，
，，
點(diǎn)落在軸上，
，
；
若存在兩個(gè)使，即線段在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，
，，
的取值范圍是．
證明軸，則可得出答案；
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由直角三角形的性質(zhì)及“最小距離”的定義得出答案；
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；
由題意可知線段在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形即可得出答案．
本題是圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“最小距離”的概念，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)．
27.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，
，
解得；
故答案為：；
拋物線交軸于點(diǎn)，
．
，
，直線的函數(shù)表達(dá)式是；
如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，
，
∽，
，
是以為底邊的等腰三角形，
．
，
設(shè)點(diǎn)，
則點(diǎn)，
，
舍去，，
；
由題意可知點(diǎn)，
，
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．
，
設(shè)點(diǎn)，
則，，
，
，
解得舍去，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，解方程即可得出結(jié)論；
先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出：：，和直線的表達(dá)式，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，可表達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)建立方程，求解即可得出結(jié)論；
過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為則，設(shè)點(diǎn)，則，，所以，由此列出關(guān)于的方程，解之即可得出結(jié)論．
本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等相關(guān)知識(shí)，用表達(dá)各線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
28.【答案】解：，若是邊的中點(diǎn)，
，
平分，
，
，
．
如圖，
當(dāng)與∽，
則，
，
，
平分，
，
，
如圖，
當(dāng)∽，
則．
．
平分，
．
，
綜上所述，的值為或；
如圖；過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
則，．
的面積是面積的倍，
．
．
，，
，
∽，
．
，
．
．
． 【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論；
分兩種情況：當(dāng)∽時(shí)，可證得，再根據(jù)平分，可得，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求得答案；當(dāng)∽時(shí)，則，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；
如圖；過(guò)點(diǎn)作，垂足為則，求得得到根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得于是得到結(jié)論．
本題是相似綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，三角函數(shù)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想和方程思想解決問(wèn)題．
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