2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)試題卷（銀川一中第三次模擬考試）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集定義可得，由此可得元素個(gè)數(shù).【詳解】，，共個(gè)元素.故選：B.2. 已知，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】為實(shí)數(shù)，，解得：.故選：A.3. 命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（    ）A. 任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù) B. 任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)C. 存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù) D. 存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題，否定為，即可解得正確結(jié)果.【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是“任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)”.故選：B4. 如圖，是年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅制成），尊內(nèi)底鑄有行、字銘文．銘文中寫(xiě)道“唯武王既克大邑商，則廷告于天，曰：‘余其宅茲中國(guó)，自之辟民’”，其中宅茲中國(guó)為“中國(guó)”一詞最早的文字記載．“何尊”可以近似看作是圓臺(tái)和圓柱組合而成，經(jīng)測(cè)量，該組合體的高約為，上口的直徑約為，圓柱的高和底面直徑分別約為，，則“何尊”的體積大約為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用圓柱和圓臺(tái)體積公式直接求解即可.【詳解】由題意知：圓柱的底面半徑為，高為；圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，高為，圓柱的體積；圓臺(tái)的體積，“何尊”的體積大約為.故選：A.5. 已知，是第一象限角，且，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可求得，由兩角和差正切公式可求得結(jié)果.【詳解】為第一象限角，，，.故選：C6. 已知兩條不同的直線l，m及三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（    ）A. l與α，β所成角相等 B. ，C. ，， D. ，，【答案】C【解析】【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關(guān)系進(jìn)行證明.【詳解】對(duì)于A，正方體中，設(shè)邊長(zhǎng)為，連接，則為與平面所成角，由勾股定理得到，故，同理可得和所成角的正弦值為，故與平面和所成角大小相等，但平面與平面不平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，平面⊥平面，平面⊥平面，但平面與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，又，所以，故C正確；對(duì)于D，l與m可同時(shí)平行于α與β的交線，故D錯(cuò)誤．故選：C．7. 函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得，解出實(shí)數(shù)的取值范圍為.【詳解】由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D8. 如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，將△POA的面積表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[﹣π，π]上的圖象大致為  A.      B.     C.      D.    【答案】A【解析】【詳解】試題分析：注意長(zhǎng)度、距離為正，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到f（x）的表達(dá)式，然后化簡(jiǎn)，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇解：在直角三角形OMP中，OP=0A=1，∠POA=x，∴s△POA=×1×1sinx=|sinx|，∴f（x）=|sinx|，其周期為T=π，最大值為，最小值為0，故選；A．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．9. 在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D．若，則（    ）A.  B.  C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由角平分線定理求得，然后由向量的線性運(yùn)算可用表示出，從而求得，得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，又是的平分線，所以，，，又，所以，所以．故選：B．10. 已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，若存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實(shí)軸長(zhǎng)和漸近線方程，結(jié)合雙曲線定義和點(diǎn)所在直線可確定雙曲線與有交點(diǎn)，由此可得漸近線與直線斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而解不等式求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：實(shí)軸長(zhǎng)，漸近線方程為；由雙曲線定義知：在雙曲線上半支任取一點(diǎn)，則；直線上，若存在點(diǎn)，使得，則雙曲線與有交點(diǎn)，，解得：（舍）或，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.11. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒1712年提出了泰勒公式，這個(gè)公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一.其正弦展開(kāi)的形式如下：，（其中，），則的值約為（1弧度）（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>，又，則，當(dāng)時(shí)，則有，又，則．故選：B．12. 已知關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值為（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)，，若，對(duì)任意恒成立，則，對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，顯然，由圖可知，對(duì)任意不恒成立；當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時(shí)，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，∴當(dāng)的切線斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以即兩邊同除以，，令求導(dǎo)令，得，即當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且故的最大值為故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，需要結(jié)合圖象分類討論，構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力，是難題.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知展開(kāi)式中，第三項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則_____.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的概念以及組合數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，得，即.故答案為：.14. 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)題意可得,即可得實(shí)數(shù)的取值范圍為【詳解】由可知，其定義域?yàn)?/span>，則，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則需滿足，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：15. 已知直線l：被圓C：所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l有______條.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題意可知直線l恒過(guò)定點(diǎn)，分別求得直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值和最小值，利用對(duì)稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)；圓心，半徑；所以當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)取最大值，此時(shí)弦長(zhǎng)為直徑；易知，當(dāng)圓心與的連線與直線l垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，如下圖所示；  此時(shí)弦長(zhǎng)為，所以截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)可取；由對(duì)稱性可知，當(dāng)弦長(zhǎng)為時(shí)，各對(duì)應(yīng)兩條，共8條，當(dāng)弦長(zhǎng)為8時(shí)，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：916. 已知的三邊分別為，，，所對(duì)的角分別為，，，且滿足，且的外接圓的面積為，則的最大值的取值范圍為__________．【答案】【解析】【詳解】由的三邊分別為，，可得：，可知：，，，可知可知當(dāng)時(shí)，則的最大值的取值范圍為點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)與解三角形綜合題目，需要學(xué)生有一定計(jì)算能力，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，在解答此類題目時(shí)往往將邊的范圍轉(zhuǎn)化為求角的范圍問(wèn)題，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，本題還是有一定難度．三、共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17. 已知公差不為零的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前20項(xiàng)的和．【答案】（1），    （2）210【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）利用分組求和法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以．因?yàn)?/span>是一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)，所以．即又，所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，【小問(wèn)2詳解】由（1）知數(shù)列的前項(xiàng)和所以，數(shù)列的前20項(xiàng)的和為18. 如圖所示，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，.（1）求證：平面；（2）若E為PC的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）先證，，由此即可證得平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出,平面的一個(gè)法向量為，然后利用公式，即可求得本題答案.【小問(wèn)1詳解】作，垂足為，易證，四邊形為正方形.所以，.又，因?yàn)?/span>，所以.因平面，平面，所以.   又，平面，平面，所以平面.         【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.   則，，.設(shè)平面的法向量為，由，得，令，可得平面的一個(gè)法向量為.           設(shè)與平面所成角為，則.19. 為保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè)某高校為了解全校學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間x(單位：小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表)；（2）由直方圖可以看出，目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間x大致服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名，記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)，求Z的均值.參考數(shù)據(jù)：，若，則.【答案】（1），；    （2）①；②.【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)和方差的方法直接計(jì)算作答.(2)①利用給定公式直接計(jì)算；②利用①的結(jié)論結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖知，閱讀時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的頻率分別為，，，所以樣本平均數(shù)和樣本方差分別為9，1.78.【小問(wèn)2詳解】①由題意知，，則有，，，②由①知，可得， 所以Z的均值.20. 已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且的最小值為；當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是.請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）    （2）直線的斜率為定值，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，即可得到，再根據(jù)及求出、，即可得解；（2）首先求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，，，表示出的方程，聯(lián)立求出，把換為得，即可求出、，從而求出直線的斜率，即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，橢圓的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，故，即，則，又，即，解得，所以，即橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立，解得或，又在第一象限，所以，由題意知的內(nèi)角平分線的斜率不存在，即該角平分線與軸垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，，直線的方程為，即，由消去得，因?yàn)?/span>、為直線與橢圓的交點(diǎn)，所以，即，把換為得，所以，所以，所以直線的斜率，即直線的斜率為定值.21. 已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）求a，b的值；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
①證明：；
②當(dāng)時(shí)，是否成立？如果成立，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1），    （2）①證明見(jiàn)解析，②成立，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)即在切線上又再曲線上，解出方程，解之即可；（2）①，由（1）求得函數(shù)的解析式及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的最值，再根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得函數(shù)的最值的關(guān)系，即可得證；②，分別求出當(dāng)直線過(guò)，時(shí)和直線過(guò)，時(shí)割線方程，從而得結(jié)合①即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，所以，，∴，或，（舍），所以，；【小問(wèn)2詳解】①證明：由（1）可知，，令，則，令，得，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，又，，，，且，，∴，使得，即，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，∵，∴，令，則    ，所以函數(shù)在上遞增，故，所以，即，∴；②解：成立，理由如下：當(dāng)直線過(guò)，時(shí)割線方程為，得，當(dāng)直線過(guò)，時(shí)割線方程為，得，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)得幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題，考查了不等式的證明問(wèn)題，，考查了數(shù)據(jù)分析和處理能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量比較大，屬于難題.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22. 下圖所示形如花瓣的曲線稱為四葉玫瑰線，并在極坐標(biāo)系中，其極坐標(biāo)方程為．（1）若射線：與相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)，與極軸的交點(diǎn)為，求；（2）若，為上的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得到、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，代入距離公式即可；（2）設(shè)， ，根據(jù)極坐標(biāo)方程求出、，將三角形面積表示為的三角函數(shù)，根據(jù)三角恒等變換求三角函數(shù)的最大值.【小問(wèn)1詳解】將代入方程，得， ，則的極坐標(biāo)為.又與極軸的交點(diǎn)為的極坐標(biāo)為.則.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，，則，所以，的面積
 所以，當(dāng)，即時(shí)，.所以，面積最大值為.[選修4-5：不等式選講]23. 設(shè)函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為，正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】（1）    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再分類討論，分別求出不等式的解集，從而得解；（2）由（1）可得函數(shù)圖象，即可求出函數(shù)的最小值，再利用基本不等式證明即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，所以不等式，即或或，解得或或，綜上可得原不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得函數(shù)的圖象如下所示：所以，即，所以，又，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.  
 

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