?2023年云南省昭通市永善縣中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題3分，共36分）
1．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2021年5月11日公布了第七次全國(guó)人口普查結(jié)果，全國(guó)總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010
2．如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的大小是（　?。?br />
A．60° B．80° C．100° D．120°
3．遵義市2019年6月1日的最高氣溫是25℃，最低氣溫是15℃，遵義市這一天的最高氣溫比最低氣溫高（　?。?br /> A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
4．函數(shù)y＝和一次函數(shù)y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．如圖，△ABC中，CE交AB于點(diǎn)D，∠A＝∠E，AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，則DC的長(zhǎng)等于（　?。?br />
A． B． C． D．
6．在2023年“五四青年節(jié)”來(lái)臨之際，實(shí)驗(yàn)中學(xué)開展“我的青春，我的夢(mèng)”演講比賽中，五名選手的成績(jī)及部分統(tǒng)計(jì)信息如表：
組員及項(xiàng)目
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成績(jī)
得分
91
89
□
92
90
□
90
其中被遮住的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（　?。?br /> A． B．88，2 C． D．90，2
7．下列幾何體中，哪一個(gè)幾何體的三視圖完全相同（　?。?br /> A． B． C． D．
8．關(guān)于x的分式方程+1＝的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（　?。?br /> A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
9．如圖，AC＝BC，AD＝BD，這個(gè)圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　?。?br />
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
10．下列計(jì)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)2+2a2＝3a4 B．a(chǎn)6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
11．觀察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，
根據(jù)其中的規(guī)律可得31+32+33+…+32023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（　?。?br /> A．0 B．2 C．7 D．9
12．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E；B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）
13．已知x2﹣2x+1＝0，則x﹣＝　 ?。?br /> 14．如圖，在底邊BC為2，腰AB為2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則△ACE的周長(zhǎng)　 　．

15．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，作DF⊥AE于點(diǎn)F，且滿足DF＝AB．下面結(jié)論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正確的結(jié)論是 　 ?。?br />
16．如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8小題，共56分）
17．先化簡(jiǎn)，再求值：
，其中．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1）．
（1）作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，A1的坐標(biāo)為　 ?。?br /> （2）再將△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2畫出△A1B2C2；
（3）求出在（2）的變換過(guò)程中，點(diǎn)B1到達(dá)點(diǎn)B2走過(guò)的路徑長(zhǎng)．

19．為了解學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)的情況，增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某學(xué)校舉行了“垃圾分類人人有責(zé)”的知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（滿分10分，6分及6分以上為合格）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
七年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?br /> 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、8分及以上人數(shù)所占百分比如表所示：
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
8分及以上人數(shù)所占百分比
七年級(jí)
7.5
a
7
45%
八年級(jí)
7.5
8
b
c
八年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）直接寫出上述表中的a，b，c的值；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七、八年級(jí)共1200名學(xué)生參加了此次測(cè)試活動(dòng)，估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)是多少？

20．如果一個(gè)兩位正整數(shù)，某個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“兩位遞增數(shù)”（如14，56，37）．在一次趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)中，參加者需從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取兩張，組成一個(gè)“兩位遞增數(shù)”
（1）寫出所有個(gè)位數(shù)字是4的“兩位遞增數(shù)”：　 ?。?br /> （2）請(qǐng)用列表法或樹狀圖，求組成的“兩位遞增數(shù)”剛好是2的倍數(shù)的概率．
21．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，則?ABCD的面積是　 　．

22．某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)的空調(diào)，已知采購(gòu)3臺(tái)A型空調(diào)和2臺(tái)B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元；4臺(tái)A型空調(diào)比5臺(tái)B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元．
（1）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需多少元；
（2）若學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)空調(diào)共30臺(tái)，且A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號(hào)空調(diào)的采購(gòu)總費(fèi)用不超過(guò)217000元，該校共有哪幾種采購(gòu)方案？
（3）在（2）的條件下，采用哪一種采購(gòu)方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？
23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BO為△ABC的角平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點(diǎn)D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的長(zhǎng)．

24．如圖所示，△OAB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，過(guò)點(diǎn)A、B分別作y軸的垂線AE、BF，垂足分別為點(diǎn)E、F，且AE＝1．
（1）若點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，求k的值；
（2）若△OAB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面積小于3．
①求證：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|稱為M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)間的“ZJ距離”，記為d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．



參考答案
一、選擇題（本大題共12小題，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每小題3分，共36分）
1．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2021年5月11日公布了第七次全國(guó)人口普查結(jié)果，全國(guó)總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
解：14.1億＝1410000000＝1.41×109．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的大小是（　?。?br />
A．60° B．80° C．100° D．120°
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可求解．
解：如果∠2＝∠1＝120°，
那么a∥b．
所以要使a∥b，則∠2的大小是120°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定定理，掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．
3．遵義市2019年6月1日的最高氣溫是25℃，最低氣溫是15℃，遵義市這一天的最高氣溫比最低氣溫高（　　）
A．25℃ B．15℃ C．10℃ D．﹣10℃
【分析】所求的數(shù)值就是最高氣溫與最低氣溫的差，利用有理數(shù)的減法法則即可求解．
解：25﹣15＝10℃．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．這是需要熟記的內(nèi)容．
4．函數(shù)y＝和一次函數(shù)y＝﹣ax+1（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，利用分類討論的方法可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)圖象是否正確，從而可以解答本題．
解：∵函數(shù)y＝和一次函數(shù)y＝﹣ax+1（a≠0），
∴當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝在第一、三象限，一次函數(shù)y＝﹣ax+1經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝在第二、四象限，一次函數(shù)y＝﹣ax+1經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的方法解答．
5．如圖，△ABC中，CE交AB于點(diǎn)D，∠A＝∠E，AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，則DC的長(zhǎng)等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】先根據(jù)題意得出△BDE∽△CDA，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出DC的長(zhǎng)即可．
解：∵∠A＝∠E，∠ADC＝∠EDB，
∴△BDE∽△CDA．
∵AD：DB＝2：3，AB＝10，ED＝5，
∴AD＝×10＝4，BD＝10﹣4＝6，
∴＝，即＝，
解得DC＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
6．在2023年“五四青年節(jié)”來(lái)臨之際，實(shí)驗(yàn)中學(xué)開展“我的青春，我的夢(mèng)”演講比賽中，五名選手的成績(jī)及部分統(tǒng)計(jì)信息如表：
組員及項(xiàng)目
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成績(jī)
得分
91
89
□
92
90
□
90
其中被遮住的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次是（　?。?br /> A． B．88，2 C． D．90，2
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式先求出丙的得分，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
解：根據(jù)題意得：
90×5﹣（91+89+90+92）＝88（分），
則丙的得分是88分；
方差＝[（91﹣90）2+（89﹣90）2+（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2]＝2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
7．下列幾何體中，哪一個(gè)幾何體的三視圖完全相同（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
解：球體的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，鍛煉了學(xué)生的空間想象能力．
8．關(guān)于x的分式方程+1＝的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組有解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【分析】由關(guān)于y的一元一次不等式組有解得到a的取值范圍，再由關(guān)于x的分式方程+1＝的解為正數(shù)得到a的取值范圍，將所得的兩個(gè)不等式組成不等式組，確定a的整數(shù)解，結(jié)論可求．
解：關(guān)于x的分式方程+1＝的解為x＝，
∵關(guān)于x的分式方程+1＝的解為正數(shù)，
∴a+4＞0，
∴a＞﹣4，
∵關(guān)于x的分式方程+1＝有可能產(chǎn)生增根2，
∴，
∴a≠﹣1，
解關(guān)于y的一元一次不等式組得，
∵關(guān)于y的一元一次不等式組有解，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
綜上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1，
∵a為整數(shù)，
∴a＝﹣3或﹣2或0或1，
∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式組，確定分式方程的解時(shí)，注意分式方程可能產(chǎn)生增根的情形是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，AC＝BC，AD＝BD，這個(gè)圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
解：在△ACD和△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（SSS），故①正確；
∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD是AB的垂直平分線，
∴AO＝BO，AB⊥CD，故②③正確；
由已知和圖形無(wú)法判斷∠CAB＝∠ABD，故④錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10．下列計(jì)算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+2a2＝3a4 B．a(chǎn)6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方積的乘方以及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．
解：a2+2a2＝3a2，因此選項(xiàng)A不符合題意；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此選項(xiàng)B不符合題意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此選項(xiàng)C不符合題意；
（ab）2＝a2b2，因此選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方積的乘方以及完全平方公式，掌握計(jì)算法則是正確計(jì)算的前提．
11．觀察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，
根據(jù)其中的規(guī)律可得31+32+33+…+32023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（　?。?br /> A．0 B．2 C．7 D．9
【分析】由已知發(fā)現(xiàn)末尾數(shù)字每四個(gè)一組循環(huán)，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81四個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字之和是0，又由于2020÷4＝505，則可求解．
解：由已知可知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，……
末尾數(shù)字每四個(gè)一組循環(huán)，
∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81四個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字之和是0，
又∵2023÷4＝505…3，
∴3+9+27＝39，
∴31+32+33+…+32023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是9，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律；能夠通過(guò)所給例子，找到式子的規(guī)律，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算解題是關(guān)鍵．
12．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E；B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】首先根據(jù)圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數(shù)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC，AC的長(zhǎng)，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝圖中陰影部分的面積求出即可．
解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAD＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵的長(zhǎng)為π，
∴＝，
解得：R＝4，
∴AB＝ADcos30°＝4，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×6＝6，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S△ABC﹣S扇形BOE＝6﹣＝6﹣．
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）
13．已知x2﹣2x+1＝0，則x﹣＝　±2?。?br /> 【分析】先將方程兩邊都除以x得出x+＝2，再兩邊平方可得x2+＝10，繼而知x2+﹣2＝8，即（x﹣）2＝8，最后兩邊開方即可得．
解：當(dāng)x＝0時(shí)，x2﹣2x+1＝1≠0，
∴方程x2﹣2x+1＝0的解不是x＝0，
兩邊都除以x，得：x﹣2+＝0，
則x+＝2，
兩邊平方，得：x2+2+＝12，
∴x2+＝10，
∴x2+﹣2＝8，即（x﹣）2＝8，
∴x﹣＝±2，
故答案為：±2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的概念、分式的性質(zhì)、完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)．
14．如圖，在底邊BC為2，腰AB為2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則△ACE的周長(zhǎng)　2+2?。?br />
【分析】根據(jù)DE垂直平分AB，可得BE＝AE，進(jìn)而AE+CE＝BE+CE＝BC＝2，即可求得△ACE的周長(zhǎng)．
解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴AE+CE＝BE+CE＝BC＝2，
∴△ACE的周長(zhǎng)為：AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2．
故答案為：2+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
15．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC上的一點(diǎn)，作DF⊥AE于點(diǎn)F，且滿足DF＝AB．下面結(jié)論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE＝S△ADF；③AF＝AB；④BE＝AF．其中正確的結(jié)論是 　①②④?。?br />
【分析】證明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正確；在證明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正確；得出BE＝AF，④正確，③不正確；即可得出結(jié)論．
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正確；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴S△ABE＝S△ADF；②正確；
∴BE＝AF，④正確，③不正確；
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
16．如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為　﹣3或6?。?br />
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出另外兩個(gè)頂點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，繼而得出對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入解析式求解可得．
解：∵點(diǎn)A（﹣4，0）、B（﹣2，0），
∴點(diǎn)C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），
則對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），
根據(jù)題意，將點(diǎn)P（﹣3，﹣1）代入解析式y(tǒng)＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，
得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，
整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，
解得：n＝﹣3或n＝6，
故答案為：﹣3或6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)找到符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
三、解答題（本大題共8小題，共56分）
17．先化簡(jiǎn)，再求值：
，其中．
【分析】先化簡(jiǎn)分式，然后代入x求值，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪以及絕對(duì)值計(jì)算出x的值．
解：原式＝[﹣]?
＝（﹣）?
＝?
＝，
∵x＝2﹣+2﹣1﹣3+1＝1﹣，
∴原式＝＝﹣+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題，熟記計(jì)算法則即可解答．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1）．
（1）作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1，A1的坐標(biāo)為?。ī?，﹣3）??；
（2）再將△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B2C2畫出△A1B2C2；
（3）求出在（2）的變換過(guò)程中，點(diǎn)B1到達(dá)點(diǎn)B2走過(guò)的路徑長(zhǎng)．

【分析】（1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)B2、C2，從而得到△A1B2C2；
（3）先計(jì)算出A1B1的長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)計(jì)算點(diǎn)B1到達(dá)點(diǎn)B2走過(guò)的路徑長(zhǎng)．
解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；A1（﹣1，﹣3）；
故答案為（﹣1，﹣3）；
（2）如圖，△A1B2C2為所作；
（3）A1B1＝＝，
所以點(diǎn)B1到達(dá)點(diǎn)B2走過(guò)的路徑長(zhǎng)＝＝π．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對(duì)稱變換．
19．為了解學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)的情況，增強(qiáng)學(xué)生環(huán)保意識(shí)，某學(xué)校舉行了“垃圾分類人人有責(zé)”的知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)（滿分10分，6分及6分以上為合格）進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
七年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?br /> 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、8分及以上人數(shù)所占百分比如表所示：
年級(jí)
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
8分及以上人數(shù)所占百分比
七年級(jí)
7.5
a
7
45%
八年級(jí)
7.5
8
b
c
八年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖．
根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）直接寫出上述表中的a，b，c的值；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)較好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫出一條理由即可）；
（3）該校七、八年級(jí)共1200名學(xué)生參加了此次測(cè)試活動(dòng)，估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)是多少？

【分析】（1）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以得到a、b、c的值；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，可以得到該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生掌握垃極分類知識(shí)較好，然后說(shuō)明理由即可；
（3）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生人數(shù)是多少．
解：（1）∵七年級(jí)20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椋?，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，
∴a＝7，
由條形統(tǒng)計(jì)圖可得，b＝（7+8）÷2＝7.5，
c＝（5+2+3）÷20×100%＝50%，
即a＝7，b＝7.5，c＝50%；
（2）八年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)較好，
理由：八年級(jí)的8分及以上人數(shù)所占百分比大于七年級(jí)，故八年級(jí)學(xué)生掌握垃圾分類知識(shí)較好；
（3）∵從調(diào)查的數(shù)據(jù)看，七年級(jí)2人的成績(jī)不合格，八年級(jí)2人的成績(jī)不合格，
∴參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生有1200×＝1080（人），
即估計(jì)參加此次測(cè)試活動(dòng)成績(jī)合格的學(xué)生有1080人．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，掌握數(shù)形結(jié)合的思想是關(guān)鍵．
20．如果一個(gè)兩位正整數(shù)，某個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“兩位遞增數(shù)”（如14，56，37）．在一次趣味數(shù)學(xué)活動(dòng)中，參加者需從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取兩張，組成一個(gè)“兩位遞增數(shù)”
（1）寫出所有個(gè)位數(shù)字是4的“兩位遞增數(shù)”：　14，24，34?。?br /> （2）請(qǐng)用列表法或樹狀圖，求組成的“兩位遞增數(shù)”剛好是2的倍數(shù)的概率．
【分析】畫樹狀圖列出所有“兩位遞增數(shù)”，根據(jù)概率公式求解可得．
解：畫樹狀圖如圖所示：

（1）所有個(gè)位數(shù)字是4的“兩位遞增數(shù)”：14，24，34，
故答案為14，24，34；

（2）一共有10種可能，組成的“兩位遞增數(shù)”剛好是2的倍數(shù)的有4種可能，
所求概率＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
21．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若tan∠CAB＝，∠CBG＝45°，BC＝4，則?ABCD的面積是　24　．

【分析】（1）根據(jù)已知條件得到AF＝CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFA＝∠BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△BCG是等腰直角三角形，求得BG＝CG＝4，解直角三角形得到AG＝10，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴?ABCD的面積＝6×4＝24，
故答案為：24．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行相交線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
22．某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)的空調(diào)，已知采購(gòu)3臺(tái)A型空調(diào)和2臺(tái)B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元；4臺(tái)A型空調(diào)比5臺(tái)B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元．
（1）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需多少元；
（2）若學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)A、B兩種型號(hào)空調(diào)共30臺(tái)，且A型空調(diào)的臺(tái)數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號(hào)空調(diào)的采購(gòu)總費(fèi)用不超過(guò)217000元，該校共有哪幾種采購(gòu)方案？
（3）在（2）的條件下，采用哪一種采購(gòu)方案可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式組，從而可以求得有幾種采購(gòu)方案；
（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)果，可以解答本題．
解：（1）設(shè)A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需x元、y元，
，解得，，
答：A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺(tái)各需9000元、6000元；
（2）設(shè)購(gòu)買A型空調(diào)a臺(tái)，則購(gòu)買B型空調(diào)（30﹣a）臺(tái)，
，
解得，10≤a≤12，
∴a＝10、11、12，共有三種采購(gòu)方案，
方案一：采購(gòu)A型空調(diào)10臺(tái)，B型空調(diào)20臺(tái)，
方案二：采購(gòu)A型空調(diào)11臺(tái)，B型空調(diào)19臺(tái)，
方案三：采購(gòu)A型空調(diào)12臺(tái)，B型空調(diào)18臺(tái)；
（3）設(shè)總費(fèi)用為w元，
w＝9000a+6000（30﹣a）＝3000a+180000，
∴當(dāng)a＝10時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝210000，
即采購(gòu)A型空調(diào)10臺(tái)，B型空調(diào)20臺(tái)可使總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是210000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用函數(shù)和不等式的思想解答．
23．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BO為△ABC的角平分線，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點(diǎn)D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的長(zhǎng)．

【分析】（1）過(guò)O作OH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OH＝OC，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)⊙O的半徑為3x，則OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】 （1）證明：過(guò)O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH為⊙O的半徑，
∵OH⊥AB，
∴AB為⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為3x，則OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA＝，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝4x，
∴AO＝＝＝5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA＝，
∴BC＝AC?tanA＝8×＝6，
∴OB＝＝＝3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
24．如圖所示，△OAB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，過(guò)點(diǎn)A、B分別作y軸的垂線AE、BF，垂足分別為點(diǎn)E、F，且AE＝1．
（1）若點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，求k的值；
（2）若△OAB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面積小于3．
①求證：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|稱為M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)間的“ZJ距離”，記為d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．

【分析】（1）由點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可知A點(diǎn)坐標(biāo)為：，代入解析式即可求出k；
（2）①由△OAB為等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根據(jù)同角的余角相等可證∠AOE＝∠FBO，由AAS即可證明△OAE≌△BOF；
②由“ZJ距離”的定義可知d（M，N）為MN兩點(diǎn)的水平距離與垂直距離之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可，設(shè)點(diǎn)A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），進(jìn)而代入直線AB解析式求出k值即可解答．
解：（1）∵點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，OC＝5，
∴，即：E點(diǎn)坐標(biāo)為，
又∵AE⊥y軸，AE＝1，
∴，
∴．
（2）①在△OAB為等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y軸，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
設(shè)直線AB解析式為：lAB：y＝nx+5，將AB兩點(diǎn)代入得：
則．
解得，
當(dāng)m＝2時(shí)，OE＝2，，，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
當(dāng)m＝3時(shí)，OE＝3，，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
綜上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
【點(diǎn)評(píng)】此題屬于代幾綜合題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定和數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．

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