2022-2023學年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列前15項和為45，若，則（    ）A．16 B．55 C．-16 D．35【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，，進而可得答案.【詳解】依題意，，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握公式以及性質(zhì)是解題關鍵，屬于基礎題.2．設在處可導，則（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】變形，結合導數(shù)的定義，計算出結果.【詳解】因為在處可導, 由導數(shù)的定義可得：，所以，.故選：A.3．已知等比數(shù)列{}，且，則的值為（　　）A．3 B． C．± D．【答案】B【分析】求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】設公比為，因為，所以，所以，所以.故選：B.4．已知數(shù)列滿足， ，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出的前四項的值，可得出，由此可求得的值.【詳解】因為數(shù)列滿足，，，，，，由上可知，對任意的，，.故選：B.5．設函數(shù)，是的導數(shù)，則函數(shù)的部分圖像可以為（  ）A．     B．   C． D．【答案】A【分析】求出，利用函數(shù)奇偶性定義得到為奇函數(shù)，排除BC選項，進而利用時，排除D選項.【詳解】因為，所以，定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，所以排除BC選項，又，∴，所以排除D選項，故選：A.6．5名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有（    ）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種【答案】C【分析】先將5名同學分為3組，再將分好的三組安排到3個小區(qū)，利用分步乘法計算原理求出.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將5名同學分為3組，若分為1，2，2的三組，有種分組方法，若分為1?1?3的三組，有種分組方法，則有種分組方法，②將分好的三組安排到3個小區(qū)，有種情況，則有種不同的安排方法，故選：C.7．定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)的前項的“均倒數(shù)”為，又，則A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用“均倒數(shù)”的定義，求得的表達式，代入，利用裂項求和法求得所求的數(shù)值.【詳解】根據(jù)“均倒數(shù)”的定義，有，故，故，，兩式相減得，當時，也符合上式，故.所以，注意到，故，故選C.【點睛】本小題考查新定義概念的理解，考查數(shù)列求和方法中的裂項求和法，考查運算求解能力.屬于中檔題.8．已知函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，則的取值范圍是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與圖象有個不同交點，利用導數(shù)可求得時的單調(diào)性和最值，由此可得的圖象，采用數(shù)形結合方式可求得的取值范圍.【詳解】若有個不同零點，則與有個不同交點；當時，，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當時，恒成立，，由此可得與大致圖象如下圖所示，由圖象可知：當，即時，與有個不同交點；實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解. 二、多選題9．下列選項正確的是（　?。?/span>A．，則 B．，則C． D．【答案】BC【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】對于A，，則，故A錯誤；對于B，，則，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.10．關于的二項展開式，下列說法正確的是（    ）A．二項式系數(shù)和為128 B．各項系數(shù)和為C．項的系數(shù)為 D．第三項和第四項的系數(shù)相等【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)二項式系數(shù)和為即可判斷；對于B，賦值法即可判斷；對于C，根據(jù)通項為，取計算即可判斷；對于D，根據(jù)第三項的系數(shù)為，第四項的系數(shù)為，即可判斷.【詳解】由題知，中二項式系數(shù)和為，故選項A正確；將代入二項式中可得各項系數(shù)和為，故選項B錯誤；在中，第項，取，即，所以，所以項的系數(shù)為，故選項C正確. 在中，根據(jù)得第三項的系數(shù)為，第四項的系數(shù)為，因為，所以選項D錯誤；故選：AC.11．設等差數(shù)列的前n項和為Sn，公差為d．已知，S12＞0，，則（　　）A． B．C．Sn＜0時，n的最小值為14 D．數(shù)列中最小項為第7項【答案】ABD【分析】求得的正負情況判斷選項A；求得公差的取值范圍判斷選項B；求得Sn＜0時，n的最小值判斷選項C；求得數(shù)列中最小項判斷選項D.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為Sn，首項為，公差為d．由S12＞0，可得 ，則又，則，則選項A判斷正確；由， S12＞0，，可得，解之得，則選項B判斷正確；由可得或（舍）由，可得，則Sn＜0時，n的最小值為13. 則選項C判斷錯誤；由時，，時，，時，，時，，可得時，，，，時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸則在時，單調(diào)遞減，且又時，為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列則在時，數(shù)列為遞增數(shù)列，則時取得最小值. 則數(shù)列中最小項為第7項，則選項D判斷正確.故選：ABD12．已知函數(shù)f（x）滿足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，f（1）＝2．則當x＞0時，下列說法中正確的是（    ）A．f（2）＝ln2＋1 B．x＝2是函數(shù)f（x）的極大值點C．函數(shù)y＝f（x）－x有且只有一個零點 D．存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立【答案】AC【分析】通過函數(shù)f（x）滿足xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，可以求出，進而可以分析函數(shù)f（x）的極大值點，求解f（2）的值，判斷選項；對函數(shù)y＝f（x）－x，求導求零點，從而可以判斷選項；使用隔離參數(shù)法將k隔離之后，令，從而可以判斷D選項；【詳解】因為xf＇（x）＋f（x）＝1＋lnx，則，，則x∈（0，2）時，f（x）單調(diào)遞減；x∈（2，＋∞）時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴函數(shù)f（x）只有一個極小值點e，即只有一個極小值f（2）＝ln2＋1，故選項A正確，選項B錯誤；，則，所以當x→0時，y→＋∞，當x＝e時，所以函數(shù)y＝f（x）－x有且只有一個零點，故選項C正確；f（x）＞kx，可得，令，則，令，則，故x＞1時h（x）單調(diào)遞減，0＜x＜1時，h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）≤h（1）＜0，所以g（x）在x＞0上單調(diào)遞增，無最小值，所以不存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，故選項D錯誤；故選：AC． 三、填空題13．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為___________.【答案】【分析】求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程可得所求切線方程．【詳解】因為，得，則，所以切線的方程為，即.故答案為：.14．二項式的展開式中的項的系數(shù)為___________.【答案】【分析】先求出含，的項，再與對應乘積即可得答案.【詳解】展開式的通項為，，所以當時，，當時，，所以二項式的展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：.15．如圖，一圓形信號燈分成A，B，C，D四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有4種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為___________.【答案】84【分析】按照使用了多少種顏色分類計數(shù)，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得結果.【詳解】按照使用了多少種顏色分三類計數(shù)：第一類：使用種顏色，有種；第二類：使用種顏色，必有塊區(qū)域同色，有種；第三類：使用種顏色，必然是與同色，且與同色，有種，所以不同的信號總數(shù)為種.故答案為：84.16．已知數(shù)列滿足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____．【答案】2036【分析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當時，，所以，若滿足為正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036. 四、解答題17．為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）；（2），時，的最小值為.【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式求出，，代入通項公式即可求解. （2）利用等差數(shù)列的前項和公式可得，配方即可求解.【詳解】（1）設的公差為 ，由，，即，解得，所以.（2）， ，所以當時，的最小值為.18．設是函數(shù)的一個極值點，曲線在處的切線斜率為8.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在閉區(qū)間上的最大值為10，求的值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)4 【分析】（1）求導后，根據(jù)求出，再利用導數(shù)可求出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出最值，結合已知的最值列式可求出結果.【詳解】（1），由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函數(shù)的極大值點，符合題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，因為在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的最大值為，解得.19．（1）高二（10）班元旦晚會有2個唱歌節(jié)目a和b；2個相聲節(jié)目c和d．要求排出一個節(jié)目單，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，列出所有可能的排列.（2）甲乙丙丁戊已庚7個人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少種不同排法？（結果用數(shù)字表示）（3）從4名男教師和5名女教師中選出4名教師參加新教材培訓，要求有男有女且至少有2名男教師參加，有多少種不同的選法？（結果用數(shù)字表示）【答案】（1），bcda，bdca；（2）432；（3）80【分析】（1）利用排列的定義即得；（2）利用捆綁法，插空法即得；（3）由題可分選2名男教師與2名女教師，選3名男教師與1名女教師兩類，即得.【詳解】（1）歌唱節(jié)目記為a，b，相聲節(jié)目記為c，d，滿足第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目的排列為：，bcda，bdca. （2） 甲乙丙3人必須相鄰，把他們捆綁看作一個元素與除甲乙丙丁戊外的兩個元素排列，然后排其內(nèi)部順序，再在3個元素形成的4個空中插入丁和戊，故甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，共有種排法.（3）選2名男教師與2名女教師，共有種選法；選3名男教師與1名女教師，共有種選法，所以共有種選法.20．如圖所示，AB為沿海岸的高速路，海島上碼頭O離高速路最近點B的距離是120km，在距離B點300km的A處有一批藥品要盡快送達海島．現(xiàn)要用海陸聯(lián)運的方式運送這批藥品，設登船點C到B的距離為x，已知汽車速度為100km/h，快艇速度為50km/h．（參考數(shù)據(jù)：．）(1)寫出運輸時間關于x的函數(shù)；(2)當C選在何處時運輸時間最短？【答案】(1)(2)當點C選在距B點68km時運輸時間最短 【分析】（1）由題意知，OB⊥AB，可求得OC，AC，進而得出；（2）求出的導數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性求得結果．【詳解】（1）由題意知，OB⊥AB，則，∴.（2），令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以時，取最小值.所以當點C選在距B點68km時運輸時間最短.21．已知數(shù)列的前n項和為，當時，；數(shù)列中，.直線經(jīng)過點．(1)求數(shù)列的通項公式和；(2)設，求數(shù)列的前n項和，并求的最大整數(shù)n．【答案】(1)，(2)，7 【分析】（1）根據(jù)之間的遞推關系，可寫出。，采用和相減得方法，可求得，由題意可推得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式可求得答案；（2）寫出的表達式，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前n項和，進而利用數(shù)列的單調(diào)性求的最大整數(shù)n．【詳解】（1）∵，∴，則，∴，即，得．又，∴，即，可得數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則 ；∵點在直線上，∴，∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴；（2）∵，∴，∴，∴，兩式相減可得：，∴,設，則，故，是單調(diào)遞增的故當時，單調(diào)遞增的，當時，；當時，，故滿足的最大整數(shù)．22．設函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)若，k為整數(shù)，且當時，求k的最大值【答案】(1)答案見解析(2)2 【分析】(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導數(shù)，由于函數(shù)中含有字母，故應按照的取值范圍進行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間.(2)由題設條件結合(1),將不等式成立轉(zhuǎn)化為，由此將轉(zhuǎn)化為求在給定區(qū)間的最值問題.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，時， ，當，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由于，所以，故當， ，等價于令，①則，由(1)可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以在存在唯一零點，故在存在唯一零點，設此零點為，則有，當時，，當時，，所以在上的最小時為，又由，可得，所以 ，由于①等價于，故整數(shù)的最大值為2.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 

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