2022-2023學(xué)年云南省曲靖市民族中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．將5封不同的電子郵件發(fā)送到4個(gè)電子信箱中，則不同的發(fā)送方法共有（    ）A．種 B．種 C．9種 D．20種【答案】B【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理分析運(yùn)算.【詳解】將5封不同的電子郵件發(fā)送到4個(gè)電子信箱中，共有種發(fā)送方法.故選：B.2．的展開式中的系數(shù)是（    ）A．40 B．80 C．10 D．60【答案】A【分析】根據(jù)給定二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式定理直接計(jì)算作答.【詳解】的展開式中是，所以的展開式中的系數(shù)是40.故選：A3．下列說法正確的是（    ）A．?dāng)?shù)列與是相同的B．?dāng)?shù)列可以表示為C．?dāng)?shù)列與是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為【答案】D【分析】運(yùn)用數(shù)列的定義、數(shù)列及項(xiàng)的表示方法、由通項(xiàng)寫出數(shù)列的項(xiàng)可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，數(shù)列與是不同的，表示數(shù)列，而表示數(shù)列中的第項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，是一個(gè)集合，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同，但順序不同，不是相同的數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：D.4．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（    ）A．3 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選：B.5．在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)的和為（    ）A．44 B．88 C．99 D．110【答案】B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式計(jì)算.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，故前11項(xiàng)的和為.故選：B．6．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】解：函數(shù)的定義域是，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．故選：D．7．曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程求得在點(diǎn)處的切線的方程，方法1：再結(jié)合l與拋物線相切時(shí)求得a的值.方法2：由l與拋物線相切，設(shè)出切點(diǎn)并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得a的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以所以在點(diǎn)處的切線的方程為，方法1：聯(lián)立方程，消去后整理為，因?yàn)?/span>l與拋物線相切，所以，解得.方法2：因?yàn)?/span>，設(shè)l與拋物線相切時(shí)切點(diǎn)為，則，解得.故選：C.8．已知，若，則（    ）A．-1 B．1 C．-8088 D．8088【答案】C【分析】令、求得k的值，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求得.【詳解】令得，所以令，則，所以，所以所以的展開式的通項(xiàng)為，令，則.故選：C. 二、多選題9．若，則m的值可以是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BC【分析】利用組合數(shù)的計(jì)算即可求解【詳解】因?yàn)?/span>，所以或，解得或5．故選：BC．10．對(duì)于的二項(xiàng)展開式，下列說法正確的有（    ）A．二項(xiàng)展開式共有個(gè)不同的項(xiàng) B．二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)為C．二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為 D．二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)【答案】AC【分析】利用二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和可判斷C選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，的展開式共有個(gè)不同的項(xiàng)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，展開式通項(xiàng)為，令當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可知，二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)或第項(xiàng)，D錯(cuò).故選：AC.11．在等比數(shù)列中，已知，，其前項(xiàng)和為，則下列說法中正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由等比數(shù)列的定義求得公比，從而求得，得通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，判斷各選項(xiàng)．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12．已知函數(shù)，則（    ）A．的極值點(diǎn)為 B．的極大值為C．的最大值為 D．只有1個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)函數(shù)可得，進(jìn)而可求函數(shù)的極值，可判斷ABC，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】∵函數(shù)，∴，由，得，由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)在上取得極大值，，且為函數(shù)的最大值，故Ａ錯(cuò)誤，BC正確；又因?yàn)?/span>，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：BCD. 三、填空題13．從0，1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則能組成______個(gè)不同的三位數(shù)．（用數(shù)字作答）【答案】100【分析】利用分步乘法計(jì)算原理，依次確定百位十位與個(gè)位上的數(shù)即可得解.【詳解】先確定百位上的數(shù)，可以是1，2，3，4，5中的任一個(gè)，有5種方法；再確定十位上的數(shù)，可以是剩下的5個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，有5種方法；最后確定個(gè)位上的數(shù)，可以是剩下的4個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，有4種方法；所以一共有個(gè)．故答案為：100.14．已知在一次降雨過程中，某地降雨量y（單位：）與時(shí)間t（單位：）的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為______.【答案】/【分析】將函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，再將代入上式的導(dǎo)函數(shù)，即可求解．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，故在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬間變化率）為.故答案為：.15．在數(shù)列，中，，，且，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則數(shù)列的最小值為___________.【答案】【分析】可由題意構(gòu)建為等差，求出通項(xiàng)公式，可由得出的通項(xiàng)公式，再利用作差法求出新數(shù)列單調(diào)性即可求出最小值.【詳解】由可得，即數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，首項(xiàng)，，可得，則，即，由，可得當(dāng)時(shí)，，，代入后符合，即的通項(xiàng)公式為，設(shè)新數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，得，即時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，得，即，綜上所述是最小值，即數(shù)列的最小值為，故答案為：16．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由題意可得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)判斷時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，可得時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令可得，若函數(shù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則可得方程有三個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，是以為頂點(diǎn)開口向下的拋物線，此時(shí)與的圖象沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出其圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開可求得結(jié)果；（2）由裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意知， 解得：∴.故的通項(xiàng)公式為.（2）∵ 即：的前n項(xiàng)和.18．求△ABC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的周長(zhǎng)為6．(1)證明：；(2)求△ABC面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)利用余弦定理和三角形周長(zhǎng)即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論和基本不等式得出，然后利用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理可得：，即，又因?yàn)?/span>，所以，整理可得：，所以得證.（2）由（1）可知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以或，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，故△ABC面積的最大值為.19．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)以及列方程，從而求得的值. （2）利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．（2）由（1）知，又因?yàn)?/span>，，所以曲線在處的切線方程為，即．20．如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD是菱形.， ，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn).(1)證明：PC⊥BD.(2)求平面PAB與平面BDE所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量垂直的判定條件證明即可；（2）通過第（1）問的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，，，，，，，，，，平面，平面，平面.過點(diǎn)作，則，，，分別以，，所在直線為，，軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，.，，，，，，，，.（2），，為中點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量為，，，，.設(shè)平面的法向量為，，，，，設(shè)平面與平面夾角為，則，平面與平面所成角的余弦值為.21．已知橢圓過點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過原點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得到直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可證得；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，證明即可．【詳解】（1）由題意知，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或．若直線的方程為，不妨設(shè)，，所以，所以；若直線的方程為，不妨設(shè)，，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，又直線與圓相切，所以，即．設(shè)，，由，得，所以，，，所以，所以．   綜上，以為直徑的圓過原點(diǎn)．22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)證明見解析 【分析】（1）分類討論參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）代入，化簡(jiǎn)不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，將不等式轉(zhuǎn)化為即可求證.【詳解】（1）解：由題可知，，．若，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，令，解得或（舍），所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明：若，要證，即證，即證．令函數(shù)，則．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．因?yàn)?/span>，所以，即，從而得證． 

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