武漢市2023屆高三年級五月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制    2023.5.24本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。★?？荚図樌?/span>★注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號，考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，，則A.    B.    C.    D. 2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則A.1   B.    C.    D.23.已知：，：，則是的A.充分不必要條件   B.必要不充分條件C.充要條件    D.既不充分也不必要條件4.已知，為單位向量，若，則A.    B. C.    D. 5.函數(shù)的部分圖象可能為A.    B.C.    D.6.將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?/span>.若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為A.4   B.5   C.6   D.77.已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動(dòng)圓C：的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時(shí)，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時(shí)，的最小值為A.3   B.4   C.5   D.68.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A.    B.    C.    D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知圓：，直線：，則A.直線在y軸上的截距為1   B.直線的傾斜角為C.直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)    D.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為10.在去年的足球聯(lián)賽上，甲隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是1.5，方差為1.1；乙隊(duì)每場比賽平均失球數(shù)是2.1，方差是0.4，下列說法正確的有A.平均來說甲隊(duì)比乙隊(duì)防守技術(shù)好   B.乙隊(duì)比甲隊(duì)的防守技術(shù)更穩(wěn)定C.每輪比賽甲隊(duì)的失球數(shù)一定比乙隊(duì)少  D.乙隊(duì)可能有一半的場次不失球11.已知函數(shù)，其中，，則A.若存在最小正周期且，則B.若，則存在最小正周期且C.若，，則的所有零點(diǎn)之和為2D.若，，則在上恰有2個(gè)極值點(diǎn)12.在中，，，點(diǎn)D滿足，將沿直線BD翻折到位置，則A.若，則     B.異面直線PC和BD夾角的最大值為C.三棱錐體積的最大值為  D.點(diǎn)Р到平面BCD距離的最大值為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_______.14.如圖，一個(gè)水平放置在桌面上的無蓋正方體容器，，容器內(nèi)裝有高度為的水，現(xiàn)將容器繞著棱所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，容器中溢出的水剛好裝滿一個(gè)半徑為的半球形容器，不考慮容器厚度以及其它因素影響，則_______.15.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，則A，B，C三個(gè)事件________（填“是”或“不是”）兩兩獨(dú)立，且________.（第1個(gè)空2分，第2個(gè)空3分）16.已知橢圓：，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，Р為橢圓上一點(diǎn)，且PF垂直于x軸.過原點(diǎn)О作直線PA的垂線，垂足為M，過原點(diǎn)О作直線PB的垂線，垂足為N，記，分別為，的面積.若，則橢圓的離心率為_________.四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若恒成立，求正整數(shù)的最大值.18.（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的面積.19.（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點(diǎn)，F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面PBC；（2）求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.20.（12分）2023年5月10日長征七號火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號貨運(yùn)飛船為中國空間站運(yùn)送補(bǔ)給物資，為中國空間站的航天員們長時(shí)間探索宇宙奧秘提供強(qiáng)有力的后援支持.某校部分學(xué)生十分關(guān)注中國空間站的發(fā)展，若將累計(jì)關(guān)注中國空間站發(fā)展的消息達(dá)到6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天達(dá)人”.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取50人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示： 航天達(dá)人非航天達(dá)人合計(jì)男20 26女 14 合計(jì)   （1）補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)?（2）現(xiàn)從抽取的“航天達(dá)人”中，按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，然后從這6人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中女“航天達(dá)人”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821.（12分）新酈已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長軸長為4，其中.過點(diǎn)的動(dòng)直線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)Р的動(dòng)直線交于M，N兩點(diǎn).（1）求雙曲線和橢圓的方程；（2）是否存在定點(diǎn)Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22.（12分）已知，其中.（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.  武漢市2023屆高三年級五月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：題號123456789101112答案CADDABBAABCABADBD填空題：13.32  14.   15.是；2  16. 解答題：17.（10分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)時(shí)，.所以.因?yàn)閿?shù)列中各項(xiàng)均不為零，即.所以數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即易知.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，.故正整數(shù)的最大值為63.18.（12分）解：（1）在中有.即.因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，即.同理.在中有.解得，，.由，得：.（2）面積，代入，，整理得：.由（1）知，，即，.中由正弦定理可得，即.所以.19.（12分）解：（1）中，E為PB的中點(diǎn)，所以.在正方形ABCD中，.因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，即.又因?yàn)?/span>，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因?yàn)?/span>，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC. （2）因?yàn)?/span>平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP兩兩垂直.以A為原點(diǎn)， AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有，，，，，PB中點(diǎn)，設(shè)，.，，，.設(shè)平面PCD的法向量，由，得，取.設(shè)平面的法向量，由，得，取.所以平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值為.令，，則，所以當(dāng)即時(shí)，平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值取得最大值，此時(shí)平面AEF與平面PCD的夾角取得最小值.20.（12分）解：（1）補(bǔ)全2×2列聯(lián)表如下表： 航天達(dá)人非航天達(dá)人合計(jì)男20626女101424合計(jì)302050零假設(shè)：假設(shè)“航天達(dá)人”與性別無關(guān).根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得到.查表可知.所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，因此“航天達(dá)人”與性別無關(guān).（2）在“航天達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取，男航天達(dá)人有（人），女航天達(dá)人有2人.X所有可能取值為：0，1，2.則，，.所以X的分布列如下：012X的數(shù)學(xué)期望為.21.（12分）解：（1）已知雙曲線漸近線為，即.因?yàn)闄E圓的長軸長，即，.所以雙曲線的方程為：.橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線、的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.故直線的方程設(shè)為：，直線過點(diǎn)，即.與雙曲線方程聯(lián)立，得.故，.設(shè)，，有，.設(shè)..化簡得.代入韋達(dá)定理得：.將代入其中消去化簡得：.由動(dòng)直線、互不影響可知，要滿足為定值，則為定值，為定值.因此要滿足為定值，則有：①若，，計(jì)算得，.經(jīng)檢驗(yàn)滿足，此時(shí).②若，即，，有.無解.綜上，當(dāng)，.下面只需驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否為定值.設(shè)直線方程為：，直線過點(diǎn)，即.橢圓方程聯(lián)立，得.故.設(shè)，，有，..化簡得.代入韋達(dá)定理化簡可得：.將代入其中可得：.所以當(dāng)，，，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為.22.（12分）解：（1）若，即..①若，則，即在單調(diào)遞減；②若，令有，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上有，當(dāng)，在單調(diào)遞減.當(dāng)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）由題意知：已知，是的兩個(gè)零點(diǎn)，.即，.所以，即.要證：.只需證：.即證：.即證：，令.即證：.令，有.即在上單調(diào)遞增，則，即.設(shè)，有.所以在上單調(diào)遞減，則，即綜上可得：.
 

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