湖北省黃岡中學2023屆高三下學期5月三模數(shù)學試題（含解析）

這是一份湖北省黃岡中學2023屆高三下學期5月三模數(shù)學試題（含解析），共26頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?湖北省黃岡中學2023屆高三下學期5月三模數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．設全集，集合，則（????）
A． B． C． D．
2．已知，復數(shù)滿足，則（????）
A． B． C． D．
3．已知點在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（????）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對稱軸，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
5．中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（????）
A．72 B．84 C．88 D．100
6．拋物線：的準線與軸交于點，過的焦點作斜率為2的直線交于、兩點，則（????）
A． B． C． D．不存在
7．隨著科技的不斷發(fā)展，人民消費水平的提升，手機購物逐漸成為消費的主流，當我們打開購物平臺時，會發(fā)現(xiàn)其首頁上經(jīng)常出現(xiàn)我們喜歡的商品，這是電商平臺推送的結(jié)果．假設電商平臺第一次給某人推送某商品，此人購買此商品的概率為，從第二次推送起，若前一次不購買此商品，則此次購買的概率為；若前一次購買了此商品，則此次仍購買的概率為．記第n次推送時不購買此商品的概率為，當時，恒成立，則M的最小值為（????）
A． B． C． D．
8．定義在實數(shù)集上的函數(shù)，如果，使得，則稱為函數(shù)的不動點.給定函數(shù)，，已知函數(shù)，，在上均存在唯一不動點，分別記為，則（????）
A． B． C． D．

二、多選題
9．下列結(jié)論正確的有（????）
A．若隨機變量，滿足，則
B．若隨機變量，且，則
C．若線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越強
D．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，m，40，50；乙組：24，n，33，44．48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應相等，則
10．如圖所示，四邊形是由斜二測畫法得到的平面四邊形水平放置的直觀圖，其中，，，點在線段上，對應原圖中的點，則在原圖中下列說法正確的是（????）

A．四邊形的面積為14
B．與同向的單位向量的坐標為
C．在向量上的投影向量的坐標為
D．的最小值為17
11．已知函數(shù)，若不等式有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（????）
A． B． C． D．
12．（多選）如圖1所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PC⊥平面ABCD，AB=BC=PC=2，O為AP的中點，則下列說法正確的是（????）

A．若平面PAB∩平面PCD=l，則
B．過點O且與PC平行的平面截該四棱錐，截面可能是五邊形
C．平面PBD截該四棱錐外接球所得的截面面積為
D．A為球心，表面積為的球的表面與四棱錐表面的交線長度之和等于

三、填空題
13．展開式中的系數(shù)為________．
14．設，，，若，，則的最大值為__________．
15．已知數(shù)列滿足：，若
，且數(shù)列為遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為__________．
16．雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，分別是雙曲線的兩個焦點，過上焦點作斜率的直線交雙曲線上支于點,若，的內(nèi)心分別是，且，則雙曲線的離心率為________.

四、解答題
17．已知正項數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前100項和.
18．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．
(1)求證：；
(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．
19．某購物中心準備進行擴大規(guī)模，在制定末來發(fā)展策略時，對中心的現(xiàn)有顧客滿意度進行了一個初步的現(xiàn)場調(diào)查，分別調(diào)查顧客對購物中心的商品質(zhì)量、服務質(zhì)量、購物環(huán)境、廣告宣傳的滿意程度．調(diào)查時將對被抽中的每個顧客從這四個問題中隨機抽取兩個問題來提問，統(tǒng)計顧客的滿意情況．假設，有三名顧客被抽到，且這三名顧客對這四個問題的滿意情況如下表：

商品質(zhì)量
服務質(zhì)量
購物環(huán)境
廣告宣傳
顧客甲
滿意
不滿意
滿意
不滿意
顧客乙
不滿意
滿意
滿意
滿意
顧客丙
滿意
滿意
滿意
不滿意
每得到一個滿意加10分，最終以總得分作為制定發(fā)展策略的參考依據(jù)．
(1)求購物中心得分為50分的概率；
(2)若已知購物中心得分為50分，則顧客丙投出一個不滿意的概率為多少？
(3)列出該購物中心得到滿意的個數(shù)X的分布列，并求得分的數(shù)學期望．
20．如圖1，在四邊形中，，．將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體．
??
(1)若為的中點，證明：平面；
(2)若為上一動點，且二面角的余弦值為，求的值．
21．如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為．曲線是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設在第一象限且在雙曲線上，直線交橢圓于點，直線與橢圓交于另一點．
??
(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；
(2)設與軸交于點，是否存在點使得（其中為點的橫坐標），若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
22．已知函數(shù)．
(1)當時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．

參考答案：
1．A
【分析】由定義域得到，從而求出補集.
【詳解】由題意得，，解得，因為，所以，
故．
故選：A．
2．D
【分析】先利用復數(shù)運算規(guī)則求得，求得的值，進而得到的值.
【詳解】，
則，故.
故選：D
3．D
【分析】先根據(jù)點在圓上，求出，考慮的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點到直線距離列出方程，求出斜率和傾斜角.
【詳解】由題意得，
當?shù)男甭什淮嬖跁r，此時直線方程為，與圓相交，不合題意，
當?shù)男甭蚀嬖跁r，設切線的方程為，
則，解得，
設的傾斜角為，
故的傾斜角為.
故選：D
4．A
【分析】根據(jù)，，得到，數(shù)形結(jié)合得到，求出答案.
【詳解】因為，，
所以，
畫出的圖象，

要想圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對稱軸，則，
解得.
故選：A
5．D
【分析】由題意可知，若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.分別求出安排種法，相加即可得出甲去點的安排方法.同理，即可得出甲去點的安排方法，即可得出答案.
【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.
當剩余4人只去兩個點時，人員分配為或，
此時的分配方法有；
當剩余4人分為3組去3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，
綜上可得，甲去點，不同的安排方法數(shù)是.
同理，甲去點，不同的安排方法數(shù)也是，
所以，不同的安排方法數(shù)是.
故選：D.
6．C
【分析】由得出，再由同角三角函數(shù)的基本關系得出，最后根據(jù)倍角公式求解即可.
【詳解】作軸于，分別過，作準線的垂線，垂足分別為，，
則，∴
∴
由，可得.
又∵．∴．
∴
.
故選：C
7．A
【分析】寫出第n次（）推送時不購買此商品的概率，構(gòu)造得，從而利用等比數(shù)列通項得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】由題意知，根據(jù)第次推送時購買、沒有購買兩種情況，寫出第n次推送時沒有購買的概率
第n次（）推送時不購買此商品的概率，
所以，由題意知，則，
所以是首項為、公比為的等比數(shù)列，
所以，即．
顯然數(shù)列遞減，所以當時，，
所以M的最小值為．
故選:A．
8．C
【分析】由已知可得，則，.然后證明在上恒成立.令，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，即可得出.令，根據(jù)導函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，即可推得.
【詳解】由已知可得，，則，
且，所以.
又，.
令，，則恒成立，
所以，在上單調(diào)遞增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減.
又，，所以.
因為在上單調(diào)遞減，，所以.
又，所以，即.
令，，則恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減.
又，，
所以.
綜上可得，.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：證明在上恒成立.然后即可采用放縮法構(gòu)造函數(shù)，進而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關系.
9．BC
【分析】由方差的性質(zhì)判斷A；由正態(tài)分布的對稱性判斷B；由相關系數(shù)的定義判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷D.
【詳解】對于A，由方差的性質(zhì)可得，故A錯誤；
對于B，由正態(tài)分布的圖象的對稱性可得，故B正確；
對于C，由相關系數(shù)知識可得：線性相關系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關性越強，故C正確；
對于D，甲組：第30百分位數(shù)為30，第50百分位數(shù)為，
乙組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，則，
解得，故，故D錯誤；
故選：BC
10．ABD
【分析】根據(jù)直觀圖可得四邊形為直角梯形，從而可求得原圖形的面積，即可判斷A；以點為坐標原點建立平面直角坐標系，寫出的坐標，再根據(jù)與同向的單位向量為，即可判斷B；根據(jù)在向量上的投影向量的坐標為即可判斷C；設，根據(jù)向量線性運算的坐標表示及模的坐標表示即可判斷D.
【詳解】解：由直觀圖可得，
四邊形為直角梯形，且，
則四邊形的面積為，故A正確；
如圖，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，
則，
所以與同向的單位向量的坐標為，故B正確；
，
則在向量上的投影向量的坐標為，故C錯誤；
設，
則，
則，
，
當時，取得最小值，故D正確.
故選：ABD.

11．AB
【分析】依題意可得不等式有且只有三個整數(shù)解，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由且函數(shù)的圖象恒過點，作出兩函數(shù)的圖象，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因為定義域為，由，
可得，
即不等式有且只有三個整數(shù)解，
令，則，所以當時，
當時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
所以當時，當時，
易知函數(shù)的圖象恒過點，
在同一平面直角坐標系中作出與的圖象如下圖所示：
??
由題意及圖象可知，要使不等式有且只有三個整數(shù)解，
則，即，解得，
故符合題意的有A、B.
故選：AB
【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是轉(zhuǎn)化為不等式有且只有三個整數(shù)解，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，再數(shù)形結(jié)合得到不等式組.
12．AC
【分析】對于A項，利用線面平行證線線平行即可；對于B項，根據(jù)平面的性質(zhì)作四棱錐的截面即可判定；對于C項，先確定外接球球心的位置，再計算球心到平面PBD的距離，利用球的性質(zhì)計算即可；對于D項，先計算得該球半徑，以A為圓心依次再各面作弧，利用弧長公式計算各弧長求和即可判定.
【詳解】對于A，因為四邊形ABCD為矩形，所以，又AB平面PCD，CD平面PCD，所以平面PCD，而平面PAB∩平面PCD=l，AB平面PAB，所以，
故A正確；
對于B，如圖2，連接AC，記ACBD=E，連接OE．

因為AO=OP，AE=EC，所以，故過點O且與PC平行的平面必過直線OE．
設過點O且與PC平行的平面與BC交于點N，假設點N與點C重合，此時截面為；當點N與點B重合時，連接OB，OD，則截面為．當點N在線段BC上，且不為端點時，連接EN，直線EN與線段AD交于點M，過點N作交PB于F，連接OM，OF，則截面為四邊形OMNF．
顯然幾何體P-ABCD關于平面PAC對稱，故當截面與線段AB相交（不含端點）時，得到的截面也是四邊形．綜上，截面圖形是三角形或四邊形，不可能是五邊形，故B錯誤．
對于C，由已知易得，四棱錐P-ABCD的外接球球心就是AP的中點O，故四棱錐外接球半徑．
由O是AP的中點得，其中，，分別表示點O到平面PBD的距離、點A到平面PBD的距離、點C到平面PBD的距離．
由V得，得，得，
所以．
所以平面PBD截該四棱錐外接球所得的截面圓半徑
，
故截面面積，故C正確．
對于D，設A為球心，表面積為的球半徑為R1，則，解得．
如圖3，作出此球球面與四棱錐各面的交線，分別與棱BC，BP，AP，DP，交于點M1，M2，M3，M4，M5，連接AM1，AM2，AM4，AM5．

易知AB⊥平面PBC，所以，即，解得．
又，所以球面與側(cè)面PBC的交線是以B為圓心，為半徑，為圓心角的圓弧，其長度為．同理，球面與側(cè)面PCD的交線的長度．
在底面正方形ABCD中，，故，同理，，
所以，所以球面與底面正方形ABCD的交線的長度．在側(cè)面PAB中，，，
，所以，．
設，則，

所以球面與側(cè)面PAB的交線的長度（其中）．
同理，可求得球面與側(cè)面PAD的交線的長度（其中）．
綜上所述，A為球心，表面積為的球的表面與四棱錐表面的交線長度之和

（其中），故D不正確．
故選：AC．
13．
【分析】由題意可知，進而利用展開式的通項公式化簡整理，即可得出結(jié)果.
【詳解】由題意可知，展開式的通項中時，
展開式的通項公式為


由于要求展開式中的系數(shù)，所以，，當時，展開式的項為，
所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
14．3
【分析】由已知可解得，.根據(jù)換底公式可得，.根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】因為，所以，.
又，，
所以，.
因為，，根據(jù)基本不等式有，
當且僅當，即，時等號成立，
所以.
則，
所以的最大值為.
故答案為：.
15．
【分析】根據(jù)題意，兩邊同時取倒數(shù)，然后變形即可得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到，再根據(jù)其為遞增數(shù)列，列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，兩邊取倒數(shù)可得：，
變形可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，
則，又，數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以，即.
當時，，即，解得.
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為:.
16．
【分析】設邊邊上的切點分別為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到軸，設直線的傾斜角為，在和中得到的值，進而得到，再將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式列等式求解即可.
【詳解】如圖所示，在中，設邊邊上的切點分別為，
則縱坐標相等，且，

由雙曲線的性質(zhì)可得，
設，則，解得，所以，
同理可得內(nèi)心的縱坐標也為，則軸，
設直線的傾斜角為，則，，，
由解得，
又因為，所以，
所以，
設雙曲線方程為，，，，，
則直線為，即，
聯(lián)立得，
則，，則
所以
，
所以，即，
所以，解得，
故答案為：
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
17．(1)
(2)9089

【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關系，即可得到數(shù)列是等差數(shù)列。從而得到其通項公式；
（2）根據(jù)題意，由分組求和即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）依題意，當時，解得，
，當時，有，作差得：
，
，
，
數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
.
（2）由（1）得，，又，同時，


.
所以的前100項和為9089.
18．(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化化簡，再由余弦定理即可得到，再由正弦定理的邊角互化即可證明；
（2）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由的范圍，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又為銳角三角形，則，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因為為銳角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此線段長度的取值范圍.
19．(1)
(2)
(3)分布列見解析，40

【分析】（1）得分為50分即在六個問題的結(jié)果中，有五個滿意，一個不滿意，然后按照古典概型的概率進行計算；
（2）由條件概率的公式進行計算即可；
（3）按求分布列的步驟進行計算，進而可得數(shù)學期望.
【詳解】（1）將得分為50分記為事件A；得分為50分即在六個問題的結(jié)果中，有五個滿意，一個不滿意，
可能的結(jié)果共有：（種）
三名顧客產(chǎn)生的反饋結(jié)果總共有：（種）
則，∴購物中心得分為50分的概率為
（2）將顧客丙投出一個不滿意記為事件B，則
，，
（3）可能的取值為2、3、4、5、6
，
，


2
3
4
5
6







∵，∴．
20．(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）取BE中點O，先證CO⊥面ABE，再由CO∥DG，證線面垂直即可；
（2）以E為中心建立空間直角坐標系，設F坐標，由空間向量計算二面角求得F的坐標即可得結(jié)果.
【詳解】（1）??
如圖，取的中點，連接，易得∥．
因為∥，故∥，且，
所以四邊形為平行四邊形，則∥．
因為面，所以平面．
而平面，所以．
因為，所以．
因為面，所以平面，所以平面．
（2）如圖，過點作直線∥，則直線面面，
又，所以直線兩兩相互垂直，
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設，則，．
??
設面的一個法向量為，則，
令，則，即．
設面的一個法向量為，則，
令，則，即，
由圖象可知二面角為銳角，
所以，解得或6（舍去），
即，所以.
21．(1)
(2)存在，

【分析】（1）根據(jù)雙曲線以及橢圓的幾何性質(zhì)即可求解的值，
（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達定理，結(jié)合坐標運算即可求解.
【詳解】（1）由已知可設雙曲線方程為，橢圓方程，則雙曲線的一條漸近線方程為，即，故，即，又，解得，所以雙曲線方程：，橢圓方程為：；
（2）設，直線，
，顯然，
由，又因為在雙曲線上，滿足，即，
所以，即．
同理直線
，
由于是直線與橢圓的兩個交點，所以,
在雙曲線上，滿足,即

可得，所以，若存在，即，
而在第一象限，所以，即
【點睛】解析幾何簡化運算的常見方法：
（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算；
（2）坐標化，把幾何關系轉(zhuǎn)化為坐標運算；
（3）巧用定義，簡化運算.
22．(1)極大值為，極小值
(2)答案見解析

【分析】（1）求導，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值情況；
（2）分，和，結(jié)合，對進行分類討論，求出零點個數(shù).
【詳解】（1）當時，，
由，得或，則和隨的變化如下表所示：




0




+
0
-
0
+
0
-


極大

極小

極大

∴在上有2個極大值：在上有1個極小值．
（2）由，知．
（?。┊敃r，，
∴，故在上無零點．
（ⅱ）當時，．
故當時，即時，是的零點；
當時，即時，不是的零點．
（ⅲ）當時，．故在的零點就是在的零點，
．
①當時，，故時，在是減函數(shù)，
結(jié)合，可知，在有一個零點，
故在上有1個零點．
②當時，，故時，在是增函數(shù)，
結(jié)合可知，在無零點，故在上無零點．
③當時，，使得時，在是增函數(shù)；
時，在是減函數(shù)；
由知，．
當，即時，在上無零點，故在上無零點．
當，即時，在上有1個零點，故在上有1個零點．
綜上所述，時，有2個零點；時，有1個零點；時，無零點
【點睛】導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方