?2023屆湖北省黃岡市浠水縣第一中學高三下學期5月高考仿真模擬數(shù)學試題

一、單選題
1．設(shè)集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解不等式得集合P，計算函數(shù)的定義域得集合Q，再計算兩個集合的交集.
【詳解】解不等式得，又因為，則集合，
因為在函數(shù)中作真數(shù)，所以，得，集合，
得.
故選：B.
2．已知復數(shù)滿足,是的共軛復數(shù),則等于（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡等式得到,計算得到共軛復數(shù),即可得到的值.
【詳解】由題意得,
∴,
∴.
故選:A.
3．如圖，在四邊形中，，，點在線段上，且，設(shè)，，則（????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量加、減法則及向量共線定理即可得出結(jié)果.
【詳解】在梯形中，，且，則，
因為在線段上，且，則，
，
所以，.
故選：D.
4．如圖是我國古代米斗，它是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行等必備的用具.它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的用具，早在先秦時期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進一步制度化，十升為斗、十斗為石的標準最終確定下來.若將某個米斗近似看作一個四棱臺.上、下兩個底面都是正方形，側(cè)棱均相等，上底面邊長為25cm，下底面邊長為15cm，側(cè)棱長為10cm，則該米斗的容積約為（????）

A．2830 B．2850 C．2870 D．2890
【答案】D
【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出棱臺的高，利用棱臺體積公式進行計算.
【詳解】畫出此四棱臺，如下：則cm，cm，
cm，過點B作BP⊥底面EFGH于點P，
點P落在對角線HF上，過點P作PQ⊥EF于點Q，連接BQ，因為平面EFGH，
所以BP⊥EF，因為，平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，
因為平面BPQ，所以EF⊥BQ，其中cm，
同理可得cm，由勾股定理得：cm，
故cm，
正方形EFGH的面積為 ，
正方形ABCD的面積為 ，
則該米斗的容積，
故選：D

5．馬林?梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物．梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對作了大量的計算、驗證工作．人們?yōu)榧o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù)（素數(shù)也稱質(zhì)數(shù)）．在不超過40的素數(shù)中，隨機選取3個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列舉法找出所有不超過40的素數(shù)和梅森素數(shù)，計算隨機抽取其中3個素數(shù)時，不含梅森素數(shù)的概率，用1減去即可求出含有一個梅森素數(shù)的概率.
【詳解】不超過40的素數(shù)，有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37一共有12個.其中梅森素數(shù)為：3，7，31，共有3個.不含梅森素數(shù)的概率為， 則隨機選取3個素數(shù)，至少有一個梅森素數(shù)的概率為.
故選：C.
6．記函數(shù)的最小正周期為T，若，且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則當取得最小值時，（????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由及的圖象關(guān)于對稱列出關(guān)系式，求出，，再由的圖象關(guān)于對稱，可求的最小值，從而可求的值．
【詳解】由已知得，，
因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，
所以，所以，
又因為，所以，，
由的圖象關(guān)于對稱得，
所以，即有，
又因為，所以當最小時，，此時，
所以，
故選：C．
7．設(shè)，，，則（????）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a
C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞b＞c
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)證明b＞c，構(gòu)造函數(shù)證明，構(gòu)造函數(shù)證明，從而得結(jié)論.
【詳解】令函數(shù)，則，當時，，當x＞1時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當且僅當x＝1時取等號， 即．， 所以，故，即b＞c．
令函數(shù)，x＞0，則，在上單調(diào)遞增，所以，故，即，故．
令函數(shù)，則，故當x＞1時，，所以，即，所以c＞a．
綜上b＞c＞a．
故選：B．
8．某正六棱錐外接球的表面積為，且外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，底面正六邊形邊長，則其體積的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正六棱錐和球的幾何性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式、棱錐的體積公式、導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】設(shè)該正六棱錐的高，側(cè)棱長為，設(shè)該正六棱錐外接球的半徑為，如圖，

因為正六棱錐外接球的表面積為，
所以有，
因為外接球的球心在正六棱錐內(nèi)部或底面上，所以，
設(shè)，在正六邊形中，因為正六邊形邊長為，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，
所以有，
由勾股定理可知，
因為，所以，
因此有4，而，所以，
該正六棱錐的體積，
，當時，單調(diào)遞增，
所以，，
因此該正六棱錐的體積的取值范圍是，
故選：C

二、多選題
9．正方體的棱長為1，則下列四個命題中不正確的是（????）
A．直線與平面所成的角等于 B．點到面的距離為
C．兩條異面直線和所成的角為 D．三棱柱的體積是
【答案】CD
【分析】采用逐一驗證法，根據(jù)線面角、點面距、線線角的概念以及柱體體積公式進行計算和判斷，可得結(jié)果.
【詳解】正方體的棱長為1，對于選項直線與平面所成的角為，故選項A正確.
對于選項 由平面，平面，所以 ，又，面，
所以面，所以點到面的距離為長度的一半，即，故選項B正確.??
對于選項 由//，所以異面直線和所成的角為，連接，所以為等邊三角形，則兩條異面直線和所成的角為，故選項C錯誤.
對于選項三棱柱的體積是，故選項D錯誤.
故選: CD.
10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（????）
A．有兩個極值點 B．的圖像關(guān)于原點對稱
C．有兩個零點 D．是的一個零點
【答案】AD
【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作圖，根據(jù)圖像變換，結(jié)合奇偶性，函數(shù)零點的定義，可得答案.
【詳解】對于函數(shù)，求導可得：，
令，解得，可得下表：













單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
則，，即可作圖，

通過圖像可知，有兩個極值點，故A正確；
因為，則不是奇函數(shù)，
所以函數(shù)的圖像不關(guān)于原點對稱，故B錯誤；
函數(shù)有三個零點，故C錯誤；
因為
，
則，
將代入解析式可得，
，
故D正確.
故選：AD.
11．已知拋物線C：，點，點，直線過M與拋物線C交于，則（????）
A． B．直線:
C．若時， D．若時，過兩切點分別作切線交于點Q，
【答案】ABC
【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，利用判別式可得結(jié)果判斷A，B選項；再計算通經(jīng)及面積的最小值判斷C，D選項.
【詳解】由拋物線C：與直線聯(lián)立方程組化簡為：，
則，A正確；
由于，則，
所以，B正確；
若時，則點是焦點，可得，
則，
當時，取到最小值，C正確；
設(shè)，直線，
聯(lián)立，整理得，則．
設(shè)過點A的切線方程為，
聯(lián)立，整理得，
由，可得，
則過點A的切線方程分別為：，可得，
同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，
聯(lián)立方程，解得，
即，所以兩條切線的交點在準線上，則，
又因為直線的斜率為，（也成立），
如圖，設(shè)準線與軸的交點為，

的面積，
當軸時，最短（最短為），也最短（最短為），
此時的面積取最小值，D不正確.
綜合上述，ABC正確.
故選：ABC.
12．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，函數(shù) 滿足：為奇函數(shù)，且對于定義域內(nèi)的所有實數(shù)，都有．則（????）
A．是周期為2的函數(shù) B．為偶函數(shù)
C． D．的值域為
【答案】BC
【分析】對求導，根據(jù)條件求得對稱性，并求得定義域上的單調(diào)性及周期性，從而對選項一一分析.
【詳解】解：因為，所以，
在時，，
所以，所以，故在上單調(diào)遞減．
因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱，即；
又，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
所以在單調(diào)遞增，且，
則，，
可得，是周期為的周期函數(shù)，A不正確．
因為，，結(jié)合草圖可知

，C正確．
對于定義域內(nèi)任一個，結(jié)合周期性可得，故為偶函數(shù)，B正確
而的函數(shù)最值無法確定，故D錯誤．
故選：BC

三、填空題
13．的展開式中的系數(shù)為_________．
【答案】5
【分析】根據(jù)給定條件，求出二項式展開式的通項，并求出含及的項，即可求解作答.
【詳解】二項式的展開式通項公式為，
當時，，當時，，
因此展開式中含的項為，
所以所求系數(shù)為5.
故答案為：5
14．寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線，易得切線的方程為；

因為，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；
可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，
在上取點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，則，
解得，則，
所以直線，即，
綜上，切線方程為或或.
故答案為：（答案不唯一，或均可以）
15．已知函數(shù)，若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實數(shù)a的取值范圍__________．
【答案】
【分析】設(shè)切點坐標，利用導數(shù)表示出切線方程，根據(jù)切線為同一直線可得其關(guān)系，然后分離參數(shù)，利用導數(shù)可解.
【詳解】設(shè)直線l與函數(shù)分別相切于點，
因為，
所以切線方程可表示為或
即或
所以，整理得
易知，在處的切線方程為，此時與不相切，故，，
所以，所以
記，則
當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，且當m從左邊趨近于1時，趨近于，當m從右邊趨近于1時，趨近于，當趨于時，且趨近于0，，于是可作的草圖如圖：

故．
故答案為：
16．在生活中，我們經(jīng)?？吹綑E圓，比如放在太陽底下的籃球， 在地面上的影子就可能是一個橢圓. 已知影子橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的最小值是________________．
【答案】
【分析】根據(jù)離心率得到橢圓的方程為及直線的斜率，進而利用直線的斜率，寫出直線的方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，利用弦長公式，由求得c，再利用基本不等式求解.
【詳解】解：∵橢圓的離心率為，
∴，∴，
∴橢圓的方程為，
不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，

∵，
∴，
∴為正三角形，
∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，
∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，
直線的方程：，
代入橢圓方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，
∴

則，
當且僅當
故答案為：.

四、解答題
17．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列前項和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）求出，從而利用等差數(shù)列通項公式求出，再利用求出答案；
（2）裂項相消法求和，并證明.
【詳解】（1）因為，則，
所以，可得，
當時，，
又因為適合上式，因此.
（2）由（1）可得：，
故.
18．在中，所對的邊分別為，且，其中是三角形外接圓半徑，且A不為直角.
(1)若，求A的大小；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求出A的大小；
（2）運用正弦定理和二倍角的余弦公式化簡，再利用基本不等式求解的最小值.
【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，
即，
由正弦定理可得，
所以 ，
又因為A不為直角，且，則，
則，所以.
（2）由（1）可知：由 ，可得，，
所以，
則



，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
19．如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.

(1)證明：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系計算直線方向向量和平面法向量，即可證明；
（2）根據(jù)三棱錐的體積求得三棱柱的高為，利用向量法先求二面角的余弦值，再求正弦值.
【詳解】（1）證明：在三棱柱中，平面，，，.
所以，則，則，則如下圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，

設(shè)，則
,
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，令，則，即，
所以，得，
又平面，所以平面；
（2）三棱錐的體積，
解得，則，
由（1）知平面的法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，，
所以，令，則，即，
則，
由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
于是，
故二面角的正弦值為.
20．一個航空航天的興趣小組，對500名男生和500名女生關(guān)于航空航天是否感興趣的話題進行統(tǒng)計，情況如下表所示．

男生
女生
感興趣
380
220
不感興趣
120
280
P（）
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

附：．
(1)是否有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)?
(2)一名興趣小組成員在試驗桌上進行兩艘飛行器模型間的“交會對接”游戲，左邊有2艘“Q2運輸船”和1艘“M1轉(zhuǎn)移塔”，右邊有3艘“M1轉(zhuǎn)移塔”．假設(shè)兩艘飛行器模型間的“交會對接”重復了n次，記左邊剩余2艘“Q2運輸船”的概率為，剩余1艘“Q2運輸船”的概率為，求與的遞推關(guān)系式；
(3)在（2）情況下，求的分布列與數(shù)學期望．
【答案】(1)有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)
(2)
(3)分布列見解析，，

【分析】（1）由題意得，結(jié)合題意，即可得出答案；
（2）分別求出，，即可得出答案；
（3）由（2）得，，利用等比數(shù)列的通項公式可得，求出，，即可得出答案．
【詳解】（1）解：
∴有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關(guān)聯(lián)．
（2），，
，．
當時，①
，②
2×①＋②，得．
從而．
（3）由（2）得，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，③，
聯(lián)立②③得，又，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，由③得，
，
的概率分布列為：








則，．
21．雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)， 后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”. 已知雙曲線的實半軸長為2，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.
(1)若軸時，，設(shè)直線的斜率分別為，求的值；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)實半軸長，得a值，根據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.
（2）法一：因為，根據(jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡計算，可得，進而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點坐標，即可得直線的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.
法二：設(shè)，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.
【詳解】（1）如圖所示，

法一：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為，顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，
聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設(shè)，則.因為，
所以 .
法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.
設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，
， .
（2）法一：因為，所以，又因為，所以，即，
將代入得，
因為在軸上方，所以，所以直線方程為，
聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，
代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，
所以的面積為.
法二：設(shè)，由，可得，，解得，
方程，聯(lián)立，可得，解得，
同理聯(lián)立，解得，
.
【點睛】方法點睛：
(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．注意觀察應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
22．設(shè)函數(shù)，．
(1)若函數(shù)上的一點，求在點處的切線方程；
(2)①已知m， n為實數(shù)，，求證：；
②設(shè)，．當時，判斷，，是否能構(gòu)成等差數(shù)列，并說明理由．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②不能構(gòu)成等差數(shù)列，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)點斜式求切線方程；
（2）①關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，②計算，并分別計算，證明，即可證明，，不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【詳解】（1），
，即；
（2）①證明：因為，所以要證，只需證明，
令，，
且，在上單調(diào)遞增，
，
，即.
②，，
同理可得，
，
所以，
下面證明．
，
且由(1)知，所以只需證明時，，
令，即證，
設(shè)，，
，
所以，
設(shè)，，
故在(0,1)單調(diào)遞減，，所以，故，，不能構(gòu)成等差數(shù)列．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二位關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，并分別計算，考查了學生分析問題、解決問題的能力.

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