2022-2023學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列運算正確的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如圖，兩只手的食指和拇指在同一平面內(nèi)，在以下四種擺放方式中，它們構(gòu)成的一對角可以看成內(nèi)錯角的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如果把分式中的，都擴大為原來的倍，那么分式的值(    )A. 擴大倍 B. 不變 C. 縮小為原來的 D. 擴大到原來的倍4.  若，，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，下列條件能判斷兩直線和平行的是(    )A.
B.
C.
D. 6.  小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，分別對應(yīng)下列六個字：勤，健，奮，美，勵，志，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息應(yīng)是(    )A. 勤奮健美 B. 健美勵志 C. 勵志勤奮 D. 勤奮勵志7.  九章算術(shù)中的算籌圖是豎排的，現(xiàn)在改為橫排，如圖，圖圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)，的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項把圖所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖所示的算籌圖中有一個圖形被墨水覆蓋了，如果圖所表示的方程組中的值為，則被墨水所覆蓋的圖形為(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  已知，，其中，則、的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 不能確定9.  如圖，長方形中放置個形狀、大小都相同的小長方形，與的差為，小長方形的周長為，則圖中陰影部分的面積為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，將長方形紙片沿折疊后，點，分別落在，的位置，再將沿著對折，將沿著對折，使得落在直線上，則下列說法正確的是(    )
；
；
當(dāng)時，．
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）11.  要使分式有意義，則的取值范圍為______．12.  分解因式： ______ ．13.  若的計算結(jié)果中項的系數(shù)為，則 ______ ．14.  為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，某市公交站亭裝上了太陽能電池板當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光平行光線與水平線最大夾角為，如圖，電池板與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板與水平線夾角為，要使，需將電池板逆時針旋轉(zhuǎn)度，則為．
15.  若，則 ______ ．16.  若，，則用含的代數(shù)式表示為______ ．17.  在計算兩位數(shù)的平方運算時，我們可以利用“豎式”方式進行快速運算，其步驟如圖所示圖，，，現(xiàn)有一個兩位數(shù)，其十位數(shù)字為，在進行平方運算時，部分步驟如圖所示為小于的正整數(shù)，則這個兩位數(shù)是______ 用含的代數(shù)式表達．
 18.  已知、、是正數(shù)，且滿足，，則 ______ ．三、解答題（本大題共6小題，共46.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
計算或化簡：
；
．20.  本小題分
先化簡，再求值：，再從、、、，中選擇一個合適的數(shù)代入并求值．21.  本小題分
某商場從廠家購進了甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進價比乙種商品每件的進價多元，購進甲種商品件與購進乙種商品件的進價相同．
求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元？
該商場從廠家購進了甲、乙兩種商品共件，所用資金為元甲種商品在進價的基礎(chǔ)上提高后標(biāo)價，又以折優(yōu)惠售出；乙商品售出后，每件可獲利元，則甲、乙兩種商品全部售出后共可獲利多少元？22.  本小題分
已知直線，點、分別是直線、上的點．
若點在、之間，
求證；
若，與的平分線交于點，求的度數(shù)．
若點在的上方，與的平分線交于點，若，用含的代數(shù)式表示．
 23.  本小題分
如果一個非零整數(shù)能被整除，那么就稱是“倍數(shù)”．
蛟蛟說“”是“倍數(shù)”，川川說“，也是“倍數(shù)”，請判斷誰的說法正確，并說明理由；
如果一個正整數(shù)是“倍數(shù)”，且各個數(shù)位上的數(shù)字都不為，滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是十位數(shù)字的平方，千位數(shù)字與十位數(shù)字的和為，請寫出滿足條件的所有“倍數(shù)”，并說明理由．24.  本小題分
已知兩個長方形和如圖放置，已知，，且，．
如圖，表示的面積，表示的面積，
用含、的代數(shù)式分別表示、；
已知，，求；
如圖，當(dāng)時，、分別是、上的兩個點，，，以、為邊作長方形，已知長方形的面積為，求．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，故此選項不合題意；
B.，故此選項符合題意；
C.，故此選項不合題意；
D.，故此選項不合題意．
故選：．
直接利用合并同類項法則以及同底數(shù)冪的乘除運算法則、冪的乘方運算法則分別計算，進而判斷得出答案．
此題主要考查了合并同類項以及同底數(shù)冪的乘除運算、冪的乘方運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、構(gòu)成的一對角不可以看成內(nèi)錯角，故A不符合題意；
B、構(gòu)成的一對角可以看成同旁內(nèi)角，故B不符合題意；
C、構(gòu)成的一對角可以看成內(nèi)錯角，故C符合題意；
D、構(gòu)成的一對角可以看成同位角，故D不符合題意．
故選：．
兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線截線的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角，由此即可得到答案．
本題考查內(nèi)錯角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯角的定義．
 3.【答案】 【解析】解：


，
即分式的值不變，
故選：．
先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡即可．
本題考查了分式的基本性質(zhì)，能根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：

，
，，
，，
原式．
故選：．
把代數(shù)式拆分成完全平方公式的展開式的形式，化成完全平方，再整體代入求值．
本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和整體代入求值．
 5.【答案】 【解析】解：能判斷直線的條件是，
理由如下：，
內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
B、、不能判定；
故選：．
由平行線的判定方法：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；得出能判斷，、、不能判斷；即可得出結(jié)論．
本題考查了平行線的判定方法，掌握平行線的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：

，
故選：．
先把代數(shù)式分解因式，再對照密碼手冊求解．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，理解因式分解的意義是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)據(jù)為，根據(jù)題意得，
，
把代入，得，
由得，，
把代入得，，
，
故選：．
設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)據(jù)為，根據(jù)題意列出方程組，把代入，求得的值便可．
本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此題是一道材料分析題，先要讀懂材料所給出的用算籌表示二元一次方程組的方法，再解方程組．
 8.【答案】 【解析】解：，，



，
，
，，
，
即，
．
故選：．
把兩式相減，再與比較即可．
本題主要考查分式的減法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
 9.【答案】 【解析】解：設(shè)小長方形的長為，寬為，
根據(jù)題意得：，
解得：，
圖中陰影部分的面積．
故選：．
設(shè)小長方形的長為，寬為，根據(jù)“與的差為，小長方形的周長為”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可得出，的值，再利用圖中陰影部分的面積大長方形的面積小長方形的面積，即可求出結(jié)論．
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：由折疊可知：，，，，，
，
，
，
；故正確；
不一定為，
不一定垂直，故錯誤；
，，
與共線，
，
，
，故正確；
故選：．
由折疊的性質(zhì)可得，，，，，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解．
本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得．
故答案為：．
根據(jù)分式有意義，分母不等于列不等式求解即可．
本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：
分式無意義分母為零；
分式有意義分母不為零；
分式值為零分子為零且分母不為零．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此題主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次分解，注意分解要徹底．
 13.【答案】 【解析】解：

．
的計算結(jié)果中項的系數(shù)為，
．
．
故答案為：．
先利用多項式乘多項式法則算乘法，再根據(jù)計算結(jié)果與項的系數(shù)為確定的值．
本題主要考查了整式的運算，掌握多項式乘多項式法則是解決本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】解：電池板與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，
與水平線的夾角為：，
要使，需要與水平線的夾角為，
所以需將電池板逆時針旋轉(zhuǎn)：．
故答案為：． 【解析】利用平行線的性質(zhì)和判定求解．
本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
，
，即，
，即，
，
故答案為：．
根據(jù)等式的性質(zhì)得到，再根據(jù)完全平方公式計算即可．
本題考查的是分式的化簡求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：，
，




．
故答案為：．
根據(jù)條件求得，根據(jù)冪的乘方公式對進行變形，再整體代入求值即可．
本題考查了冪的乘方，掌握冪的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：由題意可得：這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之積的倍為，
則這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之積為，
這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為，
這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為，
這個兩位數(shù)是．
故答案為：．
觀察圖形可發(fā)現(xiàn)：“豎式”的第一行從左向右分別為十位數(shù)字與個位數(shù)字的平方，每個數(shù)的平方占兩個空，平方是一位數(shù)的前面的空用填補；第二行從左向右是這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字之積的倍，乘積為兩位的填中間兩個空格，乘積為三位數(shù)的從第一個空格開始填．以此規(guī)律即可解答．
本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，通過觀察圖形，總結(jié)出圖形中數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，．
等式可變形為：，
．
．
，
．
．
故答案為：．
設(shè)，先用含的代數(shù)式分別表示出、、，代入分式，再利用分式的性質(zhì)化簡等式，最后整體代入求值．
本題主要考查了分式的混合運算和化簡求值，掌握分式的運算法則和整體的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程組的解是：；


． 【解析】利用加減消元法進行運算即可；
先算單項式乘單項式，積的乘方，再算整式的除法即可．
本題主要考查整式的混合運算，解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．
 20.【答案】解：原式



，
由分式有意義的條件可知：不能取，，，，
故，
原式 【解析】根據(jù)分式的加減運算法則以及乘除運算法則進行化簡，然后將的值代入即可求出答案．
本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 21.【答案】解：設(shè)甲種商品每件的進價是元，乙種商品每件的進價是元，
依題意得：，
解得：，
答：甲種商品每件的進價是元，乙種商品每件的進價是元；
設(shè)該商場從廠家購進了甲種商品件，則購進乙種商品件，
依題意得：，
解得：，
則，
元，
答：甲、乙兩種商品全部售出后共可獲利元． 【解析】設(shè)甲種商品每件的進價是元，乙種商品每件的進價是元，由題意：甲種商品每件的進價比乙種商品每件的進價多元，購進甲種商品件與購進乙種商品件的進價相同．列出二元一次方程組，解方程組即可；
可設(shè)該商場從廠家購進了甲種商品件，則購進乙種商品件，根據(jù)所用資金恰好為元的等量關(guān)系列出方程可求該商場從廠家購進了甲種商品的件數(shù)，乙種商品的件數(shù)，即可解決問題．
此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
 22.【答案】證明：過作，如圖：則，

，
，
，
；
由得：，
，
與的平分線交于點，
，，
，
由得：；
如圖，過作，過作，
則，
，
，
，
，
同理：，
與的平分線交于點，
，，
 【解析】過作，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行證明；
根據(jù)的結(jié)論及角平分線的性質(zhì)求解；
添加輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的平分線的性質(zhì)求解．
本題考查了平行線的性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：，
“”不是“倍數(shù)”，
蛟蛟斷的說法不正確；
，
是“倍數(shù)”，
川川的說法正確；
設(shè)千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，
由題意得：，．
，
，
，
的整數(shù)，的整數(shù)，的整數(shù)，
的可能值為，，，
或或不合題意，舍去．
當(dāng)時，
，
，．
當(dāng)時，
，
，不合題意，舍去．
，，，
這個正整數(shù)是“倍數(shù)”，且各個數(shù)位上的數(shù)字都不為，“倍數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為的倍數(shù)，
滿足條件的所有“倍數(shù)”有：，，． 【解析】利用平方差公式和完全平方公式進行運算說明即可；
設(shè)千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，利用平方差公式和數(shù)位上的數(shù)字的特征解答即可．
本題主要考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握實數(shù)公式是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：，，，，
，，
，；
，，
；
由題意得：，即，
，




． 【解析】根據(jù)三角形的面積公式求解；
由的結(jié)論，利用完全平方公式的變形，整體代入求解；
根據(jù)完全平方公式吧變形，整體代入求解．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的變形及整體代入求解是解題的關(guān)鍵．
 

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