2021-2022學(xué)年浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)蛟川書院八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共40分）下列方程中，是一元二次方程的是A.  B.
C.  D. 奧運火炬時隔年再次在“鳥巢”點燃，北京由此成為世界上首個既舉辦夏季奧運會又舉辦冬季奧運會的“雙奧之城”，下列各屆冬奧會會徽圖案中，是中心對稱圖形的是A.  B.
C.  D. 如圖，將?的一邊延長至點，若，則等于A.
B.
C.
D. 如圖，在中，、分別是、邊上的中點，若，則等于A.
B.
C.
D. 將方程改寫成的形式，則，，的值分別為A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，如圖所示，滿足函數(shù)和的大致圖象是
A.  B.  C.  D. 數(shù)學(xué)組老師在統(tǒng)計數(shù)學(xué)文化節(jié)志愿者參與情況時得到本次志愿者年齡情況統(tǒng)計如表：年齡歲歲歲歲歲人數(shù)人那么對于不同的值，則下列關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生變化的是A. 平均數(shù)、方差 B. 中位數(shù)、方差
C. 平均數(shù)、中位數(shù) D. 眾數(shù)、中位數(shù)已知和均是以為自變量的函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)值分別是和，若存在實數(shù)，使得，則稱函數(shù)和是“和諧函數(shù)”以下函數(shù)和是“和諧函數(shù)”的是A. 和 B. 和
C. 和 D. 和如圖，正方形紙片的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、，若，，則正方形的面積等于
A.  B.  C.  D. 如圖，在一個大長方形中放入三個邊長不等的小正方形，，，若要求兩個陰影部分的周長差，只要知道下列哪兩條線段的差的絕對值
A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共6小題，共30分）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則______．一組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，則這組數(shù)據(jù)的方差是______．如圖，五邊形是正五邊形，若直線，則的值為______．


  如圖，在菱形中，，，則菱形的面積為______．

  如圖，已知是邊長為的等邊三角形，點是邊上的一點，且，以為邊作等邊，過點作，交于點，連接，則四邊形______．
  如圖，點為直線上一點，過作的垂線交雙曲線于點，若，則的值為______．

    三、解答題（本大題共8小題，共80分）解方程：
．
．如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點，已知點的橫坐標為．
求的值；
求的面積；
直接寫出關(guān)于的不等式的解集．
如圖，在邊長為個單位的正方形網(wǎng)格中，經(jīng)過平移后得到，點的對應(yīng)點為根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點和無刻度的直尺畫圖并解答，保留痕跡：
畫出，線段掃過的圖形的面積為______；
在的右側(cè)確定格點，使的面積和的面積相等，請問這樣的點有______個？
朗讀者自開播以來，以其厚重的文化底蘊和感人的人文情懷，感動了數(shù)以億計的觀眾，岳池縣某中學(xué)開展“朗讀”比賽活動，九年級、班根據(jù)初賽成績，各選出名選手參加復(fù)賽，兩個班各選出的名選手的復(fù)賽成績滿分為分如圖所示．

根據(jù)圖示填寫表格；
結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個班級的復(fù)賽成績較好；
如果規(guī)定成績較穩(wěn)定班級勝出，你認為哪個班級能勝出？說明理由．
如圖，過邊的中點，作，交于點，過點作，與的延長線交于點，連接，，若平分，于點．
求證：是等腰三角形；
求證：四邊形是矩形．年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡．某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店年月的“冰墩墩”銷量為萬件，年月的“冰墩墩”銷量為萬件．
求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；
該零售店月將采用提高售價的方法增加利潤，根據(jù)市場調(diào)研得出結(jié)論：如果將進價元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可銷售件，在此基礎(chǔ)上售價每漲元，那么每天的銷售量就會減少件，該零售店要想每天獲得元的利潤，且銷量盡可能大，則每件商品的售價應(yīng)該定為多少元？給出如下新定義：在平面直角坐標系中，動點在反比例函數(shù)上，若點繞著點旋轉(zhuǎn)度后得到點，我們稱是關(guān)于的“伴隨點”．
若的橫坐標為，則點關(guān)于的“伴隨點”的所表示的點是______；
若的橫坐標為，一次函數(shù)與該反比例函數(shù)的交點記為，則點關(guān)于的“伴隨點”的所表示的點是______；
若關(guān)于的“伴隨點”為，由、和坐標原點構(gòu)成的三角形為等腰直角三角形，且為直角邊，求的值．點是線段上的動點，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形．
如圖，連結(jié)、，判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．
如圖，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點落在線段上，交于點，若，，求．
如圖，將方形繞點旋轉(zhuǎn)至如圖的位置，且，連結(jié)，作的角平分線交于點，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、，是一元一次方程，故A不符合題意；
B、，是一元二次方程，故B符合題意；
C、是常數(shù)，是一元二次方程，故C不符合題意；
D、是分式方程，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義，即可判斷．
本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】【解析】解：選項A、、都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 3.【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
故選：．
由平行四邊形的對角相等得，再求出，即可得出結(jié)論．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、鄰補角等知識，熟練掌握平行四邊形的對角相等是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】【解析】解：、分別是、邊上的中點，，
，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】【解析】解：可化為，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為，，，
故選：．
根據(jù)任何一個關(guān)于的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次項，叫做二次項系數(shù)；叫做一次項，是一次項系數(shù)；叫做常數(shù)項進行分析即可．
此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
 6.【答案】【解析】解：，
函數(shù)過點，
故不合題意；
當(dāng)時，函數(shù)過第一、三、四象限，函數(shù)在一、三象限；
當(dāng)時，函數(shù)過第一、二、四象限，函數(shù)在二、四象限；
故符合題意；
故選：．
分別根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點解答即可．
本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，關(guān)鍵是由的取值確定函數(shù)所在的象限．
 7.【答案】【解析】解：由表可知，年齡為歲與年齡為歲的頻數(shù)和為，
則總?cè)藬?shù)為：，
故該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為歲，中位數(shù)為歲，
即對于不同的，關(guān)于年齡的統(tǒng)計量不會發(fā)生改變的是眾數(shù)和中位數(shù)，
故選：．
由頻數(shù)分布表可知后兩組的頻數(shù)和為，即可得知總?cè)藬?shù)，結(jié)合前兩組的頻數(shù)知出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)及第個數(shù)據(jù)，可得答案．
本題主要考查頻數(shù)分布表及統(tǒng)計量的選擇，由表中數(shù)據(jù)得出數(shù)據(jù)的總數(shù)是根本，熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義和計算方法是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】【解析】解：、令，
則，
整理得：，
此方程無解，
函數(shù)和不是“和諧函數(shù)”，
故A不符合題意；
B、令，
則，
整理得：，
此方程無解，
函數(shù)和不是“和諧函數(shù)”，
故B不符合題意；
C、、令，
則，
整理得：，
此方程無解，
函數(shù)和不是“和諧函數(shù)”，
故C不符合題意；
D、、令，
則，
整理得：，
解得：，，
函數(shù)和是“和諧函數(shù)”，
故D符合題意；
故選：．
根據(jù)題意，令，若方程有解，則稱函數(shù)和是“和諧函數(shù)”，若無解，則稱函數(shù)和不是“和諧函數(shù)”．
本題考查了解一元二次方程公式法，根據(jù)題意令，然后進行計算是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】【解析】解：過點作于點，過點作于點，如圖所示：

則有，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
，
，，
，，
根據(jù)勾股定理，得，
正方形的面積，
故選：．
過點作于點，過點作于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證≌，可得，再根據(jù)題意，即可求出和，根據(jù)勾股定理，可得的長，進一步即可求出正方形的面積．
本題考查了正方形的性質(zhì)，涉及勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】【解析】解：如圖：

設(shè)小正方形，，的邊長分別是，，，
，，
，
，
，
又，
，
兩個陰影部分的周長差，
只要知道下，即可求出兩個陰影部分的周長差，
故選：．
設(shè)小正方形，，的邊長分別是，，，表示出，，相減即可得到答案．
本題考查的是整式的加減、列代數(shù)式、去括號，列代數(shù)式與去括號是解本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】【解析】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．
本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能根據(jù)一元二次方程的定義得出和是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】【解析】解：平均數(shù)為：，
故方差是：．
故答案為：．
根據(jù)題意可得平均數(shù)，再根據(jù)方差的定義可得答案．
本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差及平均數(shù)的定義．
 13.【答案】【解析】解：如圖，的延長線交于點，

五邊形是正五邊形，
正五邊形的每個外角相等．
．
，
，
，
，
．
故答案為：．
由，得由，得，那么欲求，需求由正五邊形的性質(zhì)，得，從而解決此題．
本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
 14.【答案】【解析】解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案為：．
由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理得，然后求出，則，得，即可得出答案．
此題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟記菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】【解析】解：連接，作于，
，都是等邊三角形，
，，，
，
在與中，
，
≌，
，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
．
連接，作于首先證明≌，再證明是等邊三角形即可解決問題．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題．
 16.【答案】【解析】解：延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點．

點為直線上的一點，
，
，
和均為等腰直角三角形，
，，，
．
，
，
整理得，，
即，
，
，
設(shè)點坐標為，
，
即，
．
故答案為：．
延長交軸于點，過點作軸于點，過點作軸于點根據(jù)題意可得和均為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，進而可得到，結(jié)合，可得，所以點的橫縱坐標之積為，即得的值．
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，
，
則，
，即，
，
，；
，
，
則，即，
或，
解得，．【解析】將常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項系數(shù)化為，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得；
先移項，再利用公式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程，再進一步求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
 18.【答案】解：在中，令，得，
，
，
；
設(shè)直線交軸于，如圖：

由得或，
，
在中令得，
，



；
由圖象可知：不等式的解集是或．【解析】求出，代入即得；
設(shè)直線交軸于，聯(lián)立解析式求出，由求出，從而可得；
數(shù)形結(jié)合直接寫出解集．
本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，當(dāng)自變量相同時，函數(shù)值大則在直角坐標系中對應(yīng)的點在上方．
 19.【答案】  【解析】解：如圖，即為所求，線段掃過的面積為，
故答案為：；

如圖，點有個，
故答案為：．
根據(jù)平移的性質(zhì)得出，線段掃過的面積用矩形面積減去周圍個直角三角形面積即可；
根據(jù)平行線之間的距離處處相等可得答案．
本題主要考查了作圖平移變換，平行四邊形的面積，平行線的性質(zhì)等知識，準確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：九班位同學(xué)的成績?yōu)椋?/span>、、、、，
其中位數(shù)為分；
九班位同學(xué)的成績?yōu)椋?/span>、、、、，
九班的平均數(shù)為分，其眾數(shù)為分，
補全表格如下：

九班成績好些，
兩個班的平均數(shù)都相同，而九班的中位數(shù)高，
在平均數(shù)相同的情況下，中位數(shù)高的九班成績好些．

九班的成績更穩(wěn)定，能勝出．
分，
分，
，
九班的成績更穩(wěn)定，能勝出．【解析】由條形圖得出兩班的成績，根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)及眾數(shù)分別求解可得；
由平均數(shù)相等得前提下，中位數(shù)高的成績好解答可得；
分別計算兩班成績的方差，由方差小的成績穩(wěn)定解答．
本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義即運用．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
 21.【答案】證明：如圖，設(shè)與交于點，

平分，
，
，
，
在與中，
，
≌，
；
點是的中點，
，
，
，，
在與中，
，
≌，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
在與中，
，
≌，
，
四邊形是矩形．【解析】根據(jù)角平分線定義得到，由垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到四邊形是矩形．
本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為，
由題意可得，，
解得，舍去，
答：該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為．
設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為元，
則每件商品的銷售利潤為元，
每天的銷售量為件，
依題意可得，
解得，，
要使銷量盡可能大，
，
答：每件商品的售價應(yīng)該定為元．【解析】設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為，由題意可列方程為，求解即可．
設(shè)每件商品的售價應(yīng)該定為元，根據(jù)題意可列方程為，求出的值，再使其滿足銷量盡可能大即可．
本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件列出方程是解答本題的關(guān)鍵．
 23.【答案】  或【解析】解：點在反比例函數(shù)上，且的橫坐標為，
，
點為的中點，
，
即，
故答案為：；
的橫坐標為，
，
當(dāng)時，
解得或，
或，
當(dāng)時，根據(jù)中點坐標公式得，
當(dāng)時，根據(jù)中點坐標公式得，
故答案為：或；
當(dāng)點在第三象限時，如圖，作于，
則，

，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
解得正值舍去，
當(dāng)點在第一象限時，如圖，
同理可知，，

綜上：．
根據(jù)“伴隨點”的定義可知，點為的中點，利用中點坐標公式可得答案；
首先聯(lián)立方程得，求出點的坐標，再利用中點坐標公式可得答案；
分點在第三象限和第一象限，作于，利用∽，得，表示出點的坐標，從而得出答案．
本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標的特征，中點坐標公式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，理解定義，并利用相似三角形的性質(zhì)表示出點的坐標是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：，．
證明：如圖，延長交于點，

在正方形和正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
過點作于點，

，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
．
證明：在上截取，連接，

正方形和正方形中，，
，，
，
≌，
，，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
，
．【解析】延長交于點，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
過點作于點，證明≌，得出，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出的長，由三角形面積公式可得出答案；
在上截取，連接，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
 

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