2023年山西省晉中市平遙縣中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  計算的結(jié)果是(    )A.  B.  C.  D. 2.  中國地鐵是指中國建設(shè)和運營中的城市軌道交通下列城市地鐵圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  黃河之水，連天入海，浩蕩奔涌，在我國經(jīng)濟社會發(fā)展和生態(tài)安全方面具有十分重要的地位，是我國水電資源開發(fā)的富礦黃河流域水力資源理論蘊藏量萬千瓦該數(shù)據(jù)可用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A. 千瓦 B. 千瓦
C. 千瓦 D. 千瓦4.  在求解方程時，在方程兩邊同乘，把原方程化為：，這一變形過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是(    )A. 類比思想 B. 函數(shù)思想 C. 方程思想 D. 轉(zhuǎn)化思想5.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  將矩形繞點旋轉(zhuǎn)到如圖位置，若，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D.
 7.  用配方法解方程時，配方后正確的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  若點、、、分別在反比例函數(shù)的圖象上，則下列值最小的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  今年是我國現(xiàn)行憲法公布施行周年為貫徹黨的二十大精神，強化憲法意識，弘揚憲法精神，推動憲法實施，某學(xué)校開展法律知識競賽活動，全校一共名學(xué)生參與其中，得分情況如下表，則分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(    ) 分?jǐn)?shù)分人數(shù) A. ， B. ， C. ， D. ，10.  如圖，以直角頂點為圓心、以一定的長為半徑畫弧，恰好與邊相切，分別交，于點，，已知，則圖中陰影部分的面積是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.  計算： ______ ．12.  若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式的值是______ ．13.  若菱形的邊長為，一條對角線長為，則這個菱形的面積為______ ．14.  小良幫助爸爸媽媽一同在家裝市場選購新家的地板樣式，期間被一款如圖，類似魚骨的拼接方式所吸引通過和手工師傅交流，與自己實際動手操作，她發(fā)現(xiàn)圖中所有矩形地板是全等的，并且符合黃金分割比例比如點是的黃金分割點，即延長與相交于點，則 ______ 精確到
 15.  如圖，在中，，，點為斜邊的中點，點在上，，現(xiàn)將線段繞點旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為點，連接，當(dāng)時，的長為______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.  本小題分
計算：；
解不等式組：．17.  本小題分
如圖，在中，．
利用尺規(guī)：作的外接圓；作的角平分線交于點，連接；不寫作法，保留作圖痕跡
若，，求的長．
18.  本小題分
為優(yōu)化全民健身組織體系，強化全民健身政策激勵，我省推廣并貫徹實施山西省構(gòu)建更高水平的全民健身公共服務(wù)體系行動方案某社區(qū)積極響應(yīng)號召、為構(gòu)建分鐘健身圈，購買了甲、乙兩種健身器材，已知購買甲種器材共花費元，購買乙種器材共花費元，并且甲種健身器材的單價是乙種健身器材的倍，甲種器材比乙種器材少件．
甲、乙兩種健身器材一共購買了多少件？
相鄰社區(qū)決定效仿該社區(qū)，計劃購進甲、乙兩種健身器材共件，且費用不超過元，請問：相鄰社區(qū)甲種健身器材最多能購買多少件？
19.  本小題分
公司生產(chǎn)、兩種型號的洗碗機，為了解它們的用水量，工作人員從某月生產(chǎn)的、型洗碗機中各隨機抽取臺，保證洗碗數(shù)、臟污度等相同的情況下，記錄下它們的用水量的數(shù)據(jù)單位：，并進行整理、描述和分析用水量用表示，共分為三個等級：合格，良好，優(yōu)秀，下面給出了部分信息：
臺型洗碗機的用水量：，，，，，，，，，．
臺型洗碗機中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：，，，，．
抽取的、型洗碗機用水量統(tǒng)計表 型號平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差“優(yōu)秀”等級所占百分百
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
這個月公司預(yù)計銷售型洗碗機臺，估計該月型洗碗機“合格”等級的臺數(shù)；
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你為該公司接下來的生產(chǎn)計劃提出一條建議，并說明理由．20.  本小題分
閱讀與思考．
請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識可以解決許多關(guān)于三角形邊長、角度、面積等問題如圖，在銳角中，，，的對邊分別是，，過點作于點，則，即，于是在中，，在中，，，整理得．
任務(wù)：
______ ， ______ ；
已知中，，，所對邊分別是，，，，，，求．
21.  本小題分
預(yù)防青少年近視，從一點一滴做起，為提高同學(xué)們保護視力的意識，某學(xué)校開展了一系列愛眼護眼宣傳活動某數(shù)學(xué)小組從網(wǎng)課期間利用筆記本電腦學(xué)習(xí)的同學(xué)處得到啟發(fā)，準(zhǔn)備探究筆記本電腦屏幕與鍵盤的夾角以及屏幕上方邊界離桌面的距離與視力的關(guān)系．
如圖，當(dāng)屏幕與鍵盤所成夾角時，上方邊界處離桌面的高度的長為，通過發(fā)放調(diào)查問卷統(tǒng)計的數(shù)據(jù)顯示，多數(shù)同學(xué)表示此角度不理想通過不斷調(diào)整與問卷調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)多數(shù)同學(xué)認(rèn)為當(dāng)夾角時，感覺比較適宜求此時上方邊界處離桌面的高度的長結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，
22.  本小題分
如圖，和的頂點重合，，，，．
特例發(fā)現(xiàn)：如圖，當(dāng)點，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；
探究證明：如圖，將圖中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點恰好落在線段上，連接，中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
拓展運用：如圖，將圖中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點，當(dāng)時，求的值．
 23.  本小題分
綜合與探究．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，連接．

求，，三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達式；
點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點使？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
如圖，作出該二次函數(shù)圖象的對稱軸直線，交軸于點若點是二次函數(shù)圖象上一動點，且點始終位于軸上方，作直線，，分別交于點，，在點的運動過程中，的值是否為定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故選：．
直接根據(jù)負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)的運算法則計算即可．
本題考查有理數(shù)的乘法，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：選項圖形不是中心對稱圖形，故A錯誤，不符合題意；
B.選項圖形不是中心對稱圖形，故B錯誤，不符合題意；
C.選項圖形是中心對稱圖形，故C正確，符合題意；
D.選項圖形不是中心對稱圖形，故D錯誤，不符合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．
本題主要考查了中心對稱圖形的定義，掌握中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心是關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：萬千瓦千瓦，
故選：．
直接用科學(xué)記數(shù)法的表示形式進行改寫即可．
本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，即將一個絕對值大于的數(shù)表示成的形式，其中，為正整數(shù)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：在求解方程時，在方程兩邊同乘，
把原方程化為：，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，
這一變形過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化思想．
故選：．
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，故利用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．
本題考查了解分式方程，掌握數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想是解決關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、，計算錯誤，不符合題意；
B、，計算正確，符合題意；
C、，計算錯誤，不符合題意；
D、，計算錯誤，不符合題意；
故選：．
分別根據(jù)積的乘方、合并同類項、平方差公式和單項式除以單項式進行計算，進而判斷即可．
本題考查了積的乘方、合并同類項、平方差公式和單項式除以單項式，掌握各個運算法則是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有，
，
，
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有，根據(jù)同角的余角相等則可求出答案．
本題考查矩形的旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握同角的余角相等，求出的度數(shù)．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
先移項，再根據(jù)完全平方公式配方即可．
本題考查了用配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：由反比例函數(shù)可知，
在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，
點、、、分別在反比例函數(shù)的圖象上，
；
函數(shù)值最小的是；
故選：．
由反比例函數(shù)解析式可知，則有在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，進而問題可求解．
本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的兩個數(shù)是第、個數(shù)的平均數(shù)，
所以全班名同學(xué)的成績的中位數(shù)是：；
出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是，
所以這些成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是，．
故選：．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可．
此題考查了中位數(shù)和眾數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握求中位數(shù)和眾數(shù)的方法，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個數(shù)或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
 10.【答案】 【解析】解：過點作，交于點，

中，，
，
，
陰影部分的面積．
故選：．
過點作，交于點，先求出扇形的半徑長，根據(jù)陰影部分的面積等于的面積減去扇形的面積即可求解．
本題考查了不規(guī)則圖形的面積，涉及勾股定理，扇形面積公式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案為：．
先利用完全平方公式去括號，最后再計算加減即可．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
，．
，
故答案為：．
先由得到，進而得出和，代入求解即可．
本題主要考查無理數(shù)的估算及二次根式的運算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握無理數(shù)估算方法和無理數(shù)整數(shù)和小數(shù)部分的求解方法．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，菱形的邊長為，，
四邊形是菱形，
，，，
，
在中，，
，

故答案為：．
由四邊形是菱形，即可得，，，由勾股定理可求得的值，繼而求得菱形的兩條對角線的長，繼而求得這個菱形的面積．
此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為，寬為，

，
，
四邊形是矩形，
，
，
，即
，
，
即，
故答案為：．
設(shè)每個矩形的長為，寬為，表示出，再由已知條件得出，表示出，求解即可．
本題考查了黃金分割，近似數(shù)，分式的化簡，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】或 【解析】解：如圖所示，當(dāng)點在內(nèi)部時，連接，
在中，，，
，
點為斜邊的中點，
，，
，
、、三點共線，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
，
在中，由勾股定理得；

如圖所示，當(dāng)點在外部時，
同理可得、、三點共線，
，
在中，由勾股定理得；
故答案為：或．

分如圖所示，當(dāng)點在內(nèi)部時，如圖所示，當(dāng)點在外部時，兩種情況證明、、三點共線，求出，的長即可利用勾股定理求出的長．
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：原式

；
解不等式組：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式組的解集是． 【解析】先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值，再計算加減；
分別計算兩個一元一次不等式，再根據(jù)大大取較大，小小取較小，大小小大中間找，大大小小找不到求出不等式組的解集即可．
本題考查了實數(shù)的混合運算和解一元一次不等式組，掌握各個運算法則是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖所示，即為所求；

如圖所示，連接．
，
是的直徑，
，
，，

平分，
，
，，
．
 【解析】根據(jù)直角三角形外接圓圓心是斜邊的中點只需要作出線段的中點，再以為半徑畫圓即為；然后作出的角平分線交于點，連接即可；
如圖所示，連接先證明是的直徑，得到，利用勾股定理求出，再根據(jù)角平分線的定義和圓周角定理得到，，則．
本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，畫直角三角形外接圓，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，度圓周角所對的弦是直徑等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：設(shè)一件乙健身器材的單價為元，則一件甲健身器材的單價為元．
由題意可得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解且滿足題意，
件件，
件．
答：甲，乙兩種健身器材一共購買了件．
設(shè)相鄰社區(qū)甲種健身器材購買件，
由題意可得，
解得．
答：相鄰社區(qū)甲種健身器材最多能購買件． 【解析】設(shè)一件乙健身器材的單價為元，則一件甲健身器材的單價為元．根據(jù)甲種器材比乙種器材少件列分式方程求解即可；
設(shè)相鄰社區(qū)甲種健身器材購買件，根據(jù)費用不超過元列不等式求解即可．
本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】     【解析】解：，
將型洗碗機中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)從小到大排序為：，，，，，
中位數(shù)為；
由扇形統(tǒng)計圖可得，臺型洗碗機中“良好”等級的占，“優(yōu)秀”等級的占，
，
故答案為：；；；
臺，
答：該月型洗碗機“合格”等級的臺數(shù)為臺；
可以加大型洗碗機的生產(chǎn)量，因為其平均用水量較低，同時方差較小，說明用水量比較穩(wěn)定．答案不唯一
根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的意義求，根據(jù)中位數(shù)的計算求解，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖中各部分所占的百分比求解即可；
用乘以臺型洗碗機“合格”等級所占的百分比求解即可；
根據(jù)表格數(shù)據(jù)進行分析，即可得出答案．
本題考查了數(shù)據(jù)的整理和扇形統(tǒng)計圖，涉及中位數(shù)，平均數(shù)，方差等，掌握數(shù)據(jù)收集整理的相關(guān)概念是關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：根據(jù)進行類比，可得，．
故答案為：，；
，，，，
，
即，
解得，舍去，
．
直接根據(jù)進行類比即可求解；
根據(jù)代入數(shù)值可得，繼而求解即可．
本題考查了解直角三角形，讀懂題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：，
，
，
，
．
在中，，
由勾股定理得：，
解得．
由題意得：，
，
，
在中，，
此時上方邊界處離桌面的高度的長約． 【解析】先根據(jù)直角三角形中角所對的邊是斜邊的一半和勾股定理求出的長度，再解直角三角形即可．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及勾股定理，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】  ，垂直
結(jié)論成立．
理由：，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
；
如圖中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點．

，，
，
．
，
，，
當(dāng)時，四邊形是矩形，
，，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此時，
故答案為：，垂直；
見答案；
見答案．

解直角三角形求出，，可得結(jié)論；
結(jié)論不變，證明∽，推出，，可得結(jié)論；
如圖中，過點作于點，設(shè)交于點，過點作于點求出，，可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
 23.【答案】解：當(dāng)時，即，
解得：，．
圖象與軸交于點，，
當(dāng)時，，圖象與軸交于點，
直線的函數(shù)表達式為；

存在，理由如下：
當(dāng)點在上方時，
，
，即軸，
點與點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
，
拋物線的對稱軸為直線；
，
；
當(dāng)點在下方時，設(shè)交軸于點，
則，．
，
．
在中，，
，
解得：，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
聯(lián)立，得，
解得：舍去，，
．
綜上所述，點的坐標(biāo)為或；

存在，的值為定值，理由如下：
由得拋物線的對稱軸為直線，
，
設(shè)且，
設(shè)直線的解析式為，
將和點的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
，
同理，直線的解析式為：，
當(dāng)時，，
，
，
，
的值是定值，． 【解析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，，的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
分兩種情況討論，當(dāng)點在上方時，當(dāng)點在下方時，再利用勾股定理和待定系數(shù)法進行求解即可；
由得拋物線的對稱軸為直線，求出點的坐標(biāo)，設(shè)且，分別求出直線的解析式和直線的解析式，進而表示出，即可求解．
本題考查了二次函數(shù)的綜合題目，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
 

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2023年山西省晉中市榆次區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷(含答案解析)
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