2023年山東省泰安市岱岳區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的倒數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  年是中國共產(chǎn)黨建黨百年，走過百年光輝歷程的中國共產(chǎn)黨，成為世界最大的馬克思主義執(zhí)政黨，截止年月日全國共有萬名中國共產(chǎn)黨員，將“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為(    )A.  B.  C.  D. 4.  如圖，，，，則為(    )A.
B.
C.
D.
 5.  如圖和圖，分別是一個紙杯和個紙杯疊放在一起的示意圖，如圖，杯子底部到杯沿底邊高為，杯子沿高為，如圖，個杯子疊在一起的總高度為，此情景中變量之間的函數(shù)關(guān)系為(    )A. 正比例函數(shù)
B. 一次函數(shù)
C. 反比例函數(shù)
D. 二次函數(shù)6.  如圖，，是上直徑兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)，則(    )A.
B.
C.
D. 7.  祖沖之是中國數(shù)學(xué)史上偉大的數(shù)學(xué)家，他把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后位，這是祖沖之最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們對圓周率的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)字進(jìn)行了統(tǒng)計： 數(shù)字頻數(shù)那么，圓周率的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)字的眾數(shù)與中位數(shù)分別為(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為(    )A.
B.
C.
D. 9.  精準(zhǔn)扶貧戰(zhàn)略的實(shí)施，必須形成嚴(yán)密的政策與法律實(shí)施體系習(xí)近平總書記在黨的十九大報告中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”去年某鄉(xiāng)鎮(zhèn)精準(zhǔn)扶貧項(xiàng)目共獲利萬元，計劃明年精準(zhǔn)扶貧項(xiàng)目獲利比去年翻一翻即為去年的倍，若設(shè)每年的平均增長率為，則以下關(guān)系正確的是(    )A.  B.  C.  D. 10.  我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)數(shù)學(xué)興趣小組畫出一個“鵲橋”函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：若的取值范圍是，則直線與的圖象有個公共點(diǎn)，則正確的是(    )
A.  B.  C.  D. 11.  如圖，已知正方形的邊長為，是對角線上一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，給出下列結(jié)論：；四邊形的周長為；一定是等腰三角形；其中正確結(jié)論的序號為(    )
 A.  B.  C.  D. 12.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個整數(shù)點(diǎn)，其順序按圖中“”方向排列，如，，，，，，，，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第個點(diǎn)的坐標(biāo)是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）13.  ______ ．14.  如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交邊的延長線于點(diǎn)分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是______ ．
 15.  ，兩地相距米，甲，乙兩人從起點(diǎn)勻速步行去點(diǎn)，已知甲先出發(fā)分鐘，在整個步行過程中，甲，乙兩人之間的距離米與甲出發(fā)的時間分之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論中：
甲步行的速度為米分；
乙走完全程用了分鐘；
乙用分鐘追上甲；
乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲離終點(diǎn)還有米．
正確的結(jié)論有______填序號．
16.  如圖，我海軍艦艇在某海域島附近巡航，計劃從島向北偏東方向的島直線行駛測得島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，之間的距離為海里，則島到航線的最短距離是______ 海里．
17.  在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“黎點(diǎn)”，如，，等拋物線上的“黎點(diǎn)”是______ ．18.  如圖，在中，，，垂足為，，，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共56.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.  本小題分
．
解不等式組：．20.  本小題分
某中學(xué)積極落實(shí)國家的“雙減”教育政策，決定增設(shè)：跳繩；書法；舞蹈；足球四項(xiàng)課外活動來促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校面向七年級參與情況開展了“你選修哪項(xiàng)活動”的問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：

本次調(diào)查中，一共調(diào)查了        名同學(xué)；
條形統(tǒng)計圖中，        ，        ；
扇形統(tǒng)計圖中，書法所在扇形的圓心角的度數(shù)        ；
小紅和小強(qiáng)分別從這四項(xiàng)活動中任選一門參加，求兩人恰好選到同一門課程的概率用樹狀圖或列表法解答．21.  本小題分
如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，已知，．
求和的值；
設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
22.  本小題分
某校為美化校園，計劃在假期對教室的地磚進(jìn)行更換，每間教室的面積大小相同，安排了甲、乙兩個工程隊(duì)完成月份施工時，甲工程隊(duì)天完成了間教室的地磚鋪設(shè)；乙工程隊(duì)天鋪完了間教室地磚后再鋪設(shè)了的地磚，已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天少完成的地磚鋪設(shè)．
求每間教室需要鋪設(shè)地磚的面積；
月份施工時，甲、乙兩個工程隊(duì)各自需要完成間教室的鋪磚工作由于天氣炎熱，甲、乙兩個工程隊(duì)均調(diào)整了施工速度，甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)的地磚面積是乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)的地磚面積的，乙工程隊(duì)比甲工程隊(duì)少用天完成任務(wù)，求月份甲、乙兩個工程隊(duì)每天各鋪設(shè)地磚的面積．23.  本小題分
在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本一道習(xí)題“如圖，，，，四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個角上．倉庫和分別位于和上，且證明兩條直路且”為背景開展數(shù)學(xué)探究．
獨(dú)立思考：將上題條件中的去掉，將結(jié)論中的變?yōu)闂l件，其他條件不變，那么還成立嗎？請寫出答案并說明理由；
合作交流：“祖沖之”小組的同學(xué)受此問題的啟發(fā)提出：如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)作，點(diǎn)、分別在正方形的對邊、上，點(diǎn)、分別在正方形的對邊、上，那么與相等嗎？并說明理由．
拓展應(yīng)用：“楊輝”小組的同學(xué)受“祖沖之”小組的啟發(fā)，想到了利用圖的結(jié)論解決以下問題：
如圖，將邊長為的正方形紙片折疊，使點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．請你畫出折痕，則折痕的長是______；線段的長是______．
 24.  本小題分
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，連接，．

求拋物線的解析式．
點(diǎn)是拋物線第二象限上的一個動點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積最大時，求點(diǎn)此時的橫坐標(biāo)．
若點(diǎn)是第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到，距離相等時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25.  本小題分
在中，在上，且．

如圖，若，，求的長度．
如圖，作于，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，作于，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)為．
故選：．
乘積是的兩數(shù)互為倒數(shù)，由此即可得到答案．
本題考查倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握倒數(shù)的定義．
 2.【答案】 【解析】解：，故A錯誤，不符合題意；
B.，故B錯誤，不符合題意；
C.，故C正確，符合題意；
D.，故D錯誤，不符合題意；
故選：．
根據(jù)冪的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，逐一判斷，即可解答．
本題考查了冪的乘方，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪相除，完全平方公式，掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：萬．
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般形式為，準(zhǔn)確確定、的值是解答本題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作，如圖所示：
，
，，
，，
，
故選：．

根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
此題主要考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
 5.【答案】 【解析】解：由題可知，，
因?yàn)?/span>，是常量，，是變量，
因此此情景中變量之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)．
故選：．
根據(jù)題意列出解析式，，是常量，，是變量，直接判斷即可．
此題考查一次函數(shù)的定義，根據(jù)題意列出解析式是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：是的直徑，
，
，
，
，
故選：．
由是直徑可得，由可知，再根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù)，即可得出答案．
本題考查了圓周角定理，由是直徑求出是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：圓周率的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)字中，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為，
第個和第個數(shù)字都是，故中位數(shù)是．
故選：．
直接根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義可得答案．
本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：連接交于點(diǎn)，如圖，
以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，
，
，
四邊形為矩形，
，
四邊形和四邊形為矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
陰影部分的面積．
故選：．
連接交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再證明四邊形和四邊形為矩形，則，，接著證明≌得到，所以陰影部分的面積，從而根據(jù)扇形的公式計算即可．
本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了矩形的性質(zhì)和扇形面積的計算．
 9.【答案】 【解析】解：依題意有：．
故選：．
根據(jù)等量關(guān)系：計劃明年精準(zhǔn)扶貧項(xiàng)目獲利比去年翻一翻即為去年的倍，列出方程即可求解．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
 10.【答案】 【解析】解：由圖可知，或，故錯誤；
由可知，當(dāng)，；當(dāng)，；而，則或，故錯誤；
對稱軸為，故正確；
如圖，

當(dāng)時，一次函數(shù)是直線；當(dāng)時，一次函數(shù)是直線；由圖可知，時，直線與的圖象有個公共點(diǎn)，故正確；
故選：．
根據(jù)圖象，可直接判斷，，的符號；根據(jù)二次函數(shù)和橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得對稱軸；兩個函數(shù)的交點(diǎn)可直接畫出圖象進(jìn)行判斷．
此題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是此題中的絕對值表示所有的函數(shù)值非負(fù)，即可畫出圖象，重難點(diǎn)是一次函數(shù)中的取值范圍影響一次函數(shù)和軸的交點(diǎn)位置，而交點(diǎn)個數(shù)看圖直接判斷即可．
 11.【答案】 【解析】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
在中，，
，
故正確；
，，，
四邊形為矩形，
四邊形的周長，
故正確；
點(diǎn)是正方形的對角線上任意一點(diǎn)，，
當(dāng)或或時，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，
故錯誤；
連接，

四邊形為矩形，
，，
正方形為軸對稱圖形，
，
，
故正確；
故選：．
根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，得是等腰直角三角形，在中，，即可判斷；先證明四邊形為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可得其周長為，即可判斷；根據(jù)的任意性可以判斷不一定是等腰三角形，即可判斷；四邊形為矩形，通過正方形的軸對稱性，即可判斷．
此題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：把第一個點(diǎn)作為第一列，和作為第二列，
依此類推，則第一列有個點(diǎn)，第二列有個點(diǎn)，，
第列有個點(diǎn)，則列共有個點(diǎn)，并且在奇數(shù)列點(diǎn)的順序是由上到下，偶數(shù)列點(diǎn)的順序由下到上，
，
第個點(diǎn)一定在第列，由下到上是第個點(diǎn)，
因而第個點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故選：．
應(yīng)先判斷出第個點(diǎn)在第幾行，第幾列，再根據(jù)分析得到的規(guī)律求解．
本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．
 13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
先算乘法，再算減法即可．
此題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，然后將二次根式化簡成最簡二次根式后合并同類二次根式．
 14.【答案】 【解析】解：由題可知，是的平分線，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案為：．
先從題意推出角平分線，然后根據(jù)證明≌，得到，最后直接求解即可．
此題考查角平分線的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明全等后得到角度的數(shù)量關(guān)系直接求解．
 15.【答案】 【解析】解：由圖可得，
甲步行的速度為：米分，故正確；
乙走完全程用的時間為：分鐘，故正確；
乙追上甲用的時間為：分鐘，故錯誤；
乙到達(dá)終點(diǎn)時，甲離終點(diǎn)距離是：米，故錯誤．
故其中正確的結(jié)論有個．
故答案為：．
根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 16.【答案】 【解析】解：過作于，
，，，
又，
，，
，
海里，
海里，
海里，
在中，海里．
故答案為：．

根據(jù)已知度數(shù)先推出，，證明三角形為直角三角形，計算出邊長，構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理直接求解即可．
此題考查解決航海問題勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．
 17.【答案】， 【解析】解：由題可知，“黎點(diǎn)”的坐標(biāo)為，代入，
得，即，
解得，，
故坐標(biāo)為：，．
故答案為：，
根據(jù)題意，橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“黎點(diǎn)”，得到橫縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，直接將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，解一元二次方程即可．
此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，推出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：在上取一點(diǎn)，使得，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
設(shè)，則，
在中，，
即，解得，
．
故答案為：．
根據(jù)作出輔助線，證明全等三角形，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)勾股定理列方程求解．
 19.【答案】解：



；
，
解不等式，得：；
解不等式，得，
原不等式組的解集為． 【解析】先通分括號內(nèi)的式子，同時將括號外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后化簡即可；
先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．
此題考查分式的混合運(yùn)算、解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則和解一元一次不等式的方法是解答本題的關(guān)鍵．
 20.【答案】       【解析】解：名．
故答案為：．
，
．
故答案為：；．
．
故答案為：．
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有種，
兩人恰好選到同一門課程的概率為．
用參與項(xiàng)課外活動的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．
用乘以可得的值，用可得的值．
用乘以本次調(diào)查中書法所占的百分比，即可得出答案．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，能夠理解條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：，，
，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，解得，
直線為：，
把代入得，，
，
點(diǎn)在雙曲線上，
，
，，
，
，
，
，
，
或． 【解析】根據(jù)已知條件求出、、點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出和的值；
根據(jù)三角形面積公式求得的長，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．
 22.【答案】解：設(shè)每間教室需要鋪設(shè)地磚的面積，依題意得：
，
解得：，
答：每間教室需要鋪設(shè)地磚的面積；
設(shè)乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)，則甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)，依題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
則甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)的面積為：，
答：甲工程隊(duì)每天各鋪設(shè)地磚的面積為，乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)的面積為． 【解析】可設(shè)每間教室需要鋪設(shè)地磚的面積，分別表示出甲、乙每天的鋪設(shè)的面積，即可列出相應(yīng)的方程；
可設(shè)乙工程隊(duì)每天鋪設(shè)，則甲工程隊(duì)每天鋪設(shè)，結(jié)合所用的時間可列出方程，求解即可．
本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到相應(yīng)的等量關(guān)系．
 23.【答案】  【解析】解：，
理由如下：，
，
又，，
≌，
；

解：，理由如下：
如圖，作交于，作交于，

，，
四邊形四邊形都是平行四邊形，
，，
由知，，
；
解：如圖，

為的中點(diǎn)，
，
，
，由可知，
，
設(shè)，則．
在中，，
即，
解得．
線段的長為．
故答案為：，．
根據(jù)可求出，再由，，可證明≌，則結(jié)論得出；
可通過構(gòu)建與已知條件相關(guān)的三角形來求解．作交于，作交于，那么，，中我們已證得、全等，那么，即；
求出長，由可知，設(shè)，則將所有未知量轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用勾股定理解答即可．
本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折不變性等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：將，代入，
，
解得：，
拋物線的解析式為；

設(shè)的表達(dá)式為，
將，代入，
，
解得：，
直線的表達(dá)式為，中，
令，則或，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)面積最大時，四邊形面積最大，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時，四邊形面積最大，此時點(diǎn)橫坐標(biāo)是．


點(diǎn)到，距離相等，
點(diǎn)在的角平分線上，
設(shè)與軸交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，
，，
在中，，
，
在中，，
即，
解得：，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
，
聯(lián)立方程組，
解得：或，
．
 【解析】將已知點(diǎn)代入函數(shù)解析式直接求解即可；
四邊形面積最大即面積最大，割補(bǔ)法將分成兩部分，最大時，則面積最大，將長度表示出來，直接求函數(shù)最大值即可；
當(dāng)點(diǎn)到，距離相等時，即點(diǎn)在的角平分線上，求出角平分線解析式，直線和拋物線左側(cè)交點(diǎn)即所求點(diǎn)．
此題考查二次函數(shù)和幾何綜合，解題關(guān)鍵是通過割補(bǔ)法求出不規(guī)則圖形的面積，難點(diǎn)是將點(diǎn)到角兩邊距離相等的已知條件轉(zhuǎn)化成點(diǎn)在角平分線上，然后直接求出角平分線的函數(shù)解析式，角平分線和拋物線左側(cè)的交點(diǎn)即所求點(diǎn)．
 25.【答案】解：，，
∽，
，
，
，，
，
；
，
證明：連接，

，
，
，
，
又，
∽．
，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 【解析】通過證明相似得到邊的數(shù)量關(guān)系，直接求解即可；
先證明∽，再證明∽，接著證得是等腰直角三角形，最后通過三線合一直接得出即可．
此題考查相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線證明是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 

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