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13. 如圖，矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)，若，則的最小值為______ ．
三、解答題（本大題共13小題，共81.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）14. 本小題分
計(jì)算：．15. 本小題分
解不等式組：．16. 本小題分
解分式方程：．17. 本小題分
如圖，在中，，，在邊上求作一點(diǎn)，使得要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡
18. 本小題分
如圖，，，求證：≌．
19. 本小題分
袁隆平，“共和國(guó)勛章”獲得者，中國(guó)科學(xué)院院士，“中國(guó)雜交水稻之父”，一生致力于對(duì)水稻的研究，現(xiàn)有、兩塊試驗(yàn)田各畝，塊試驗(yàn)田種植普通水稻，塊試驗(yàn)田種植雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的倍，兩塊試驗(yàn)田單次共收獲水稻千克，求雜交水稻的畝產(chǎn)量是多少千克？20. 本小題分
古城西安歷史文化悠久，旅游資源豐富，共有十六個(gè)朝代在這里建都，這也使西安成為世界著名的文化旅游城市寒假期間，小欣邀請(qǐng)她的好友小穎來(lái)西安游玩，她為好友推薦了四個(gè)游覽地，分別是：大雁塔，鐘樓，陜西省歷史博物館，西安城墻，小欣將、、、這四個(gè)字母分別寫(xiě)在張完全相同的不透明卡片的正面上，把這張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上小穎先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的內(nèi)容，放回后洗勻，再由小欣從中隨機(jī)抽取一張卡片．
小穎抽到卡片的概率是______ ；
請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求小欣和小穎兩人抽取到同一個(gè)景點(diǎn)的概率．21. 本小題分
如圖，小明想測(cè)量建筑物的高度，已知斜坡米，斜坡的坡度為，建筑物底端和斜坡的底端在同一水平線上，小明從坡頂處沿水平方向前行若干米后至點(diǎn)處，在點(diǎn)處用儀器測(cè)得該建筑物的頂端的仰角為，建筑物底端的俯角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，你能幫小明計(jì)算出建筑物的高度嗎？結(jié)果保留根號(hào)
22. 本小題分
甲、乙兩個(gè)商場(chǎng)出售相同品牌的運(yùn)動(dòng)衣，每件售價(jià)均為元，并且多買(mǎi)都有一定的優(yōu)惠甲商場(chǎng)的優(yōu)惠條件是：第一件按原售價(jià)收費(fèi)，其余每件優(yōu)惠；乙商場(chǎng)的優(yōu)惠條件是：每件優(yōu)惠某學(xué)校運(yùn)動(dòng)隊(duì)需要購(gòu)買(mǎi)運(yùn)動(dòng)衣件，甲商場(chǎng)收費(fèi)元乙商場(chǎng)收費(fèi)元
分別求出、與之間的關(guān)系式；
當(dāng)購(gòu)買(mǎi)件運(yùn)動(dòng)衣時(shí)，應(yīng)選擇哪個(gè)商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．23. 本小題分
為進(jìn)一步推進(jìn)“雙減”政策，提升學(xué)校課后服務(wù)水平，某校增設(shè)以下拓展課程豐富學(xué)生的課余生活分別有編程，廚藝，園藝，禮儀，學(xué)校就“我最喜歡的拓展課程”從以上、、、四個(gè)類別進(jìn)行了抽樣調(diào)查每位同學(xué)只選一類，并將調(diào)查情況制成了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖請(qǐng)根據(jù)圖中信息，回答下列問(wèn)題：
共調(diào)查了______ 名學(xué)生；選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為______ ；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
請(qǐng)你估計(jì)該校名學(xué)生中，有多少名學(xué)生喜歡廚藝拓展課程．24. 本小題分
如圖，是的直徑，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接交于，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．
求證：是的切線；
連接、、，若，，求的半徑．
25. 本小題分
有一張軸對(duì)稱紙片，曲線部分為拋物線，如圖，以拋物線對(duì)稱軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)，在軸上，點(diǎn)在軸上，且．
求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
在紙片中裁剪出一個(gè)正方形，如圖，其中點(diǎn)，在該拋物線上，點(diǎn)，在軸上求點(diǎn)的坐標(biāo)．26. 本小題分
現(xiàn)有一個(gè)三角形廣場(chǎng)，如圖所示，經(jīng)測(cè)量，的長(zhǎng)度為米，點(diǎn)到線段的距離為米，，均為銳角點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合，且．
當(dāng)的長(zhǎng)為米時(shí)，的面積為______ 平方米；
設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，與四邊形的重疊部分的面積記為平方米，現(xiàn)準(zhǔn)備在該重疊部分內(nèi)種花請(qǐng)問(wèn)重疊部分的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出的最大值及此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題考查的是倒數(shù)的定義，乘積是的兩數(shù)互為倒數(shù)．
根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可．
【解答】
解：的倒數(shù)是．
故選：． 2.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故選：．
先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義即可得出結(jié)論．
此題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．
3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【解答】
解：：，故A不符合題意；
：，故B不符合題意；
：，故C符合題意；
：，故D不符合題意．
故選：． 4.【答案】 【解析】解：、，
，
平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、，
平行四邊形為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、，
平行四邊形為菱形，故選項(xiàng)C符合題意；
D、由，不能判定平行四邊形為菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：．
由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
此題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定．熟記菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】 【解析】解：，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
，
，
是等邊三角形，
于點(diǎn)，
．
故選：．
由直角三角形的性質(zhì)，得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，因此是等邊三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．
本題考查含角的直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】 【解析】解：把代入得，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線與相交于點(diǎn)，
關(guān)于，的方程組的解．
故選：．
先利用直線確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)解決問(wèn)題．
本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程：方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
7.【答案】 【解析】解：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，即可解答．
本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)為常數(shù)，且，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)與的函數(shù)值相同，
即拋物線經(jīng)過(guò)，
，
．
故選：．
先求得拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，然后利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性解答即可．
本題主要考查了拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)解決此題．
本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解決本題的關(guān)鍵．
10.【答案】 【解析】解：設(shè)這個(gè)正邊形的一個(gè)外角為，則其內(nèi)角為，
此正邊形的一個(gè)內(nèi)角是它的外角的倍，
，
解得：，
它的外角為：，
．
故答案為：．
首先設(shè)這個(gè)正邊形的一個(gè)外角為，則其內(nèi)角為，由一個(gè)正邊形的一個(gè)內(nèi)角是它的外角的倍，即可得方程，解此方程求出它的外角的度數(shù)，繼而求得答案．
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角的性質(zhì)．注意方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
11.【答案】 【解析】解：根據(jù)“滿五進(jìn)一”得：
．
故答案為：．
根據(jù)滿五進(jìn)一，仿照十進(jìn)制求解．
本題主要考查了進(jìn)位制，解題的關(guān)鍵是會(huì)將五進(jìn)制轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制．
12.【答案】 【解析】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
點(diǎn)在的圖象上，
，
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得結(jié)論．
本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用三角形中位線定理解決問(wèn)題．
13.【答案】 【解析】解：如圖：作交于，
作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
在矩形中，有，
四邊形為平行四邊形，
，
則，
，
即：的最小值為：．
先根據(jù)軸對(duì)稱找出最短路徑，再根據(jù)勾股定理求解．
本題考查了最短路徑問(wèn)題，理解轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】解：
． 【解析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】解：，
解不等式得：，
，
，
解不等式得：，
，
，
，
，
原不等式組的解集為：． 【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：，
，
解得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原方程的根． 【解析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．
17.【答案】解：如圖：點(diǎn)即為所求．
【解析】作的垂直平分線與的交點(diǎn)即為所求．
本題考查了復(fù)雜作圖，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】證明：，
，
，
在和中，
，
≌． 【解析】由，得到，由即可證明≌．
本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．
19.【答案】解：設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量是千克，則雜交水稻的畝產(chǎn)量是千克，
根據(jù)題意得：，
即，
解得：，
．
答：雜交水稻的畝產(chǎn)量是千克． 【解析】設(shè)普通水稻的畝產(chǎn)量是千克，則雜交水稻的畝產(chǎn)量是千克，根據(jù)兩塊試驗(yàn)田單次共收獲水稻千克，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值，再將其代入中，即可求出結(jié)論．
本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】 【解析】解：小穎抽到卡片的概率是，
故答案為：；
畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果，其中小欣和小穎兩人抽取到同一景點(diǎn)的結(jié)果有種，
小欣和小穎兩人抽取到同一個(gè)景點(diǎn)．
直接由概率公式求解即可；
畫(huà)樹(shù)狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中小欣和小穎兩人抽取到同一景點(diǎn)的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21.【答案】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由題意得：，
四邊形為矩形，
，
斜坡的坡度為，
，
設(shè)米，米
在中，米，
米，
，
，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
答：建筑物的高度為． 【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，從而可得四邊形為矩形，進(jìn)而可得，然后根據(jù)已知斜坡的坡度為，設(shè)米，米，在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
22.【答案】解：，
．
當(dāng)時(shí)，；．
，
當(dāng)購(gòu)買(mǎi)件運(yùn)動(dòng)衣時(shí)，應(yīng)選乙商場(chǎng)更優(yōu)惠． 【解析】根據(jù)兩家商場(chǎng)的優(yōu)惠方案分別列式整理即可；
根據(jù)函數(shù)解析式分別求出時(shí)的函數(shù)值，即可得解．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解兩家商場(chǎng)的優(yōu)惠方案是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】 【解析】解：由題意得，樣本容量為：，
故B的人數(shù)為：，
的人數(shù)為：，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：；
故答案為：；；
名，
答：大約有名學(xué)生喜歡廚藝拓展課程．
用等級(jí)的人數(shù)除以占比得出總?cè)藬?shù)，用樣本容量乘可得的人數(shù)，進(jìn)而得出的人數(shù)，并補(bǔ)充統(tǒng)計(jì)圖；用乘所占比例可得選項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
用樣本估計(jì)總體，用乘以的人數(shù)的占比即可求解．
本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，樣本估計(jì)總體，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?/span>
24.【答案】證明：連接，，如圖，
點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，
，
．
，
．
，
，
．
，
，
，
即，
．
為的半徑，
是的切線；
解：，，
，
是的直徑，
，
，
．
，，
∽，
，
，
．
設(shè)的半徑為，則，
，
，
解得：．
的半徑為． 【解析】連接，，利用圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和等量代換求得，再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；
利用圓周角定理得到，則，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得到的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．
本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，弦切角定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線．
25.【答案】解：由題意得，，，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
將代入得：
，
解得，
，
拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，
點(diǎn)在拋物線上，
，
解得或，
，
，
【解析】設(shè)拋物線的表達(dá)式為，用待定系數(shù)法可得答案；
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，代入可解得或，又，故F
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，正方形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
26.【答案】 【解析】解：不妨設(shè)點(diǎn)到線段，的距離分別為，，
，
∽，
，
，
解得，
，
故答案為：；
存在．由題意得，
設(shè)的長(zhǎng)度為米，
，
，，
∽，
，即，
，
分兩種情況討論：
當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，
如右圖，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為；
當(dāng)落在四邊形外時(shí)，，
如圖，連接，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
連接，與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，最大，最大值為．
不妨設(shè)點(diǎn)到線段的距離分別為，，根據(jù)，得到，求出，即可求解；
由題意得，設(shè)的長(zhǎng)度為米，證明出∽，得到，再進(jìn)行分類討論當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)或邊上時(shí)，；當(dāng)落在四邊形外時(shí)，．
本題考查了三角形的相似，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進(jìn)行求解．
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