2023年廣東省廣州市荔灣區(qū)育才中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列各數(shù)中，無理數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列計(jì)算中，正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  廣州作為“志愿之城”，截至年底，全市實(shí)名注冊(cè)志愿者人數(shù)達(dá)人，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為(    )A.  B.  C.  D. 4.  為落實(shí)“雙減”政策，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的眠時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表，則這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(    ) 時(shí)間小時(shí)人數(shù) A. ， B. ， C. ， D. ，5.  下面幾何體是由個(gè)相同的小正方體搭成的，這個(gè)幾何體從左面看到的圖形是(    )A.
B.
C.
D. 6.  若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 7.  把半徑長(zhǎng)為的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，由邊長(zhǎng)為的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則(    )
 
 A.
B.
C.
D. 9.  若二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 10.  在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是(    )A.  B.
C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．12.  分解因式：          ．13.  曹老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形帽子接縫忽略不計(jì)，如果圓錐形帽子的半徑是，則這張扇形紙板的圓心角是          ．14.  菱形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是：，一邊上的高長(zhǎng)是，則菱形的面積是______．15.  如圖，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，以為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于點(diǎn)，若，則的值為______．
 16.  如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若將沿折疊，點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線上，則的長(zhǎng)為______．
 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共10.0分）17.  已知：關(guān)于的一元二次方程的兩根，滿足，雙曲線經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)，與直角邊交于如圖，求．
四、解答題（本大題共8小題，共62.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
解不等式：．19.  本小題分
已知．
化簡(jiǎn)；
如圖，在菱形中，，對(duì)角線，若的周長(zhǎng)為，求的值．
20.  本小題分
如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)度．
21.  本小題分
“中國夢(mèng)”關(guān)平每個(gè)人的幸福生活，為進(jìn)一步感知我們身邊的幸福，展現(xiàn)青年人追夢(mèng)的風(fēng)采，我市某校開展了以“夢(mèng)想中國，逐夢(mèng)青春”為主題的攝影大賽，要求參賽學(xué)生每人交一件作品現(xiàn)將參賽的件作品的成績(jī)單位：分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如下：
請(qǐng)根據(jù)上表提供的信息，解答下列問題： 等級(jí)成績(jī)用表示頻數(shù)頻率 表中的的值為______ ，的值為______ ；
將本次參賽作品獲得等級(jí)的學(xué)生一次用，，，表示，現(xiàn)該校決定從本次參賽作品中獲得等級(jí)學(xué)生中，隨機(jī)抽取兩名學(xué)生談?wù)勊麄兊膮①愺w會(huì)，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求恰好抽到學(xué)生和的概率．22.  本小題分
如圖，在等腰中，．
尺規(guī)作圖：過點(diǎn)作交于點(diǎn)再過、、三點(diǎn)作保留痕跡，不要求寫作法；
求證：是過、、三點(diǎn)的圓的切線．
23.  本小題分
端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗市場(chǎng)上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜元，某商家用元購進(jìn)的豬肉粽和用元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)元時(shí)，每天可售出盒；每盒售價(jià)提高元時(shí)，每天少售出盒．
求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；
設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)元，表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤單位：元，求關(guān)于的函數(shù)解析式并求最大利潤．24.  本小題分
已知拋物線，
若，，求該拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
若，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)求的取值范圍；
若，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有交點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．25.  本小題分
如圖已知正方形中，為對(duì)角線，邊長(zhǎng)為為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
如圖連結(jié)，求線段的長(zhǎng)；
保持不動(dòng)，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖的位置，連結(jié)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，探求與關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
保持不動(dòng)，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，求出的中點(diǎn)在這個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)及的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，這些都屬于有理數(shù)；
是無理數(shù)．
故選：．
無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可求解．
本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等有這樣規(guī)律的數(shù)．
 2.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、與不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故B不符合題意；
C、與不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：．
利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：．
故選：．

根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式進(jìn)行解答．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．
 4.【答案】 【解析】解：抽查學(xué)生的人數(shù)為：人，
這名學(xué)生的睡眠時(shí)間出現(xiàn)次數(shù)最多的是小時(shí)，共出現(xiàn)次，因此眾數(shù)是小時(shí)，
將這名學(xué)生的睡眠時(shí)間從小到大排列，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，因此中位數(shù)是小時(shí)．
故選：．
根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的意義求解即可．
本題考查中位數(shù)、眾數(shù)，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：從左面看第一層是個(gè)小正方形，第二層左邊是一個(gè)小正方形，
故選：。
根據(jù)從左面看得到的圖形是左視圖，可得答案。
本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左面看得到的圖形是左視圖是解題關(guān)鍵。
 6.【答案】 【解析】解：，
反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象位于一三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，
點(diǎn)在第三象限，，在第一象限，
，，
，
故選：．
根據(jù)的值確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，進(jìn)而明確函數(shù)的增減性，再根據(jù)點(diǎn)，，所在的象限，確定、、大小關(guān)系．
本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查當(dāng)時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小的性質(zhì)，利用圖象法比較直觀．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)球的平面投影圓心為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖所示：

則，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，，
故選：．
設(shè)球的平面投影圓心為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，再利用勾股定理可得，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．
本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：為直徑，
，
在中，，
，
．
故選：．
先利用圓周角定理得到，，再利用正切的定義得到，從而得到的值．
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角．也考查了正切的定義．
 9.【答案】 【解析】解：在，，開口向下，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，取得最大值，為，
，
．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷出開口方向和對(duì)稱軸，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得到在頂點(diǎn)處取得最大值，即可求出值．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)增減性判斷出在何處取得最值．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)、與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，本題屬于中等題型．
根據(jù)的圖象判斷、與的大小關(guān)系，進(jìn)一步確定函數(shù)的圖象即可作出判斷．
【解答】
解：、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則，即，，所以函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)位于直線的上方，由整理得，由于，則兩圖象有交點(diǎn)，
故A錯(cuò)誤；
B、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則，即，，所以函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，
故B錯(cuò)誤；
C、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則，即，，所以函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，
故C錯(cuò)誤；
D、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三，四象限，則，即，，所以函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，由整理得，由于，則兩圖象有交點(diǎn)，
故D正確；
故選：．  11.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
根據(jù)分式的分母不等于即可得出答案．
本題考查了分式有意義的條件，掌握分式的分母不等于是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用分解因式．
應(yīng)先提取公因式，再對(duì)其利用平方差公式分解即可．
【解答】解：，
，
．
故答案為：．  13.【答案】 【解析】解：設(shè)扇形紙板的圓心角是，
根據(jù)題意得：，
解得：，
所以扇形的圓心角為，
故答案為：．
根據(jù)底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)列式計(jì)算即可．
本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
 14.【答案】 【解析】解：如圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

菱形的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是：，
，，
，
則，
，
，
菱形的面積是．
故答案為：．
直接利用菱形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出菱形的邊長(zhǎng)，即可得出答案．
此題主要考查了菱形的性質(zhì)，正確求出菱形的內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：，，
，
，，
將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
故答案為：．
由銳角三角函數(shù)可求，通過證明∽，可求的長(zhǎng)，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】或 【解析】【分析】
本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是分兩種情況，正確作出圖形，難點(diǎn)在于利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出的長(zhǎng)．
分為點(diǎn)落在對(duì)角線和兩種情況，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，連接，，由矩形性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由折疊性質(zhì)可得，可得，由可得，從而可得∽，可得，即可求得，由可得∽，從而可得，即可求解，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接，由矩形性質(zhì)和勾股定理可得，由折疊性質(zhì)可得，，，可得，設(shè)，則，，由勾股定理即可求得，即可求解．
【解答】
解：如圖，連接交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)使得，連接，，

在矩形中，，，
，，
由折疊性質(zhì)可得，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
如圖，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接，

在矩形中，，，
，
，
由折疊性質(zhì)可得：
，，，
，，
設(shè)，則，，
由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，
綜上，的長(zhǎng)為或，
故答案為：或．  17.【答案】解：有兩根，
，
即．
由得：．
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，
解得：符合題意．
，
雙曲線的解析式為：．
過作于，則．
，，
，∽，
，，
． 【解析】首先由一元二次方程根的判別式得出的取值范圍，然后由得出或，再運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，由的幾何意義，可知如果過作于，則易證∽，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出，最后由，得出結(jié)果．
本題綜合考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．
 18.【答案】解：，
，
． 【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式．
本題考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：

；
四邊形是菱形，
，
的周長(zhǎng)為，，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，

． 【解析】先算括號(hào)里，再算括號(hào)外，即可解答；
根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)的周長(zhǎng)為，從而求出的值，然后利用的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，菱形的性質(zhì)，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：四邊形是矩形，
，．
，
．
，
，．
又，
，
∽，
，即，
，即的長(zhǎng)度為． 【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用“兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似”證出∽是解題的關(guān)鍵．
由矩形的性質(zhì)可得出的長(zhǎng)及，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，由垂直的定義可得出，利用同角的余角相等可得出，進(jìn)而可得出∽，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)度．
 21.【答案】   【解析】解：，，
故答案是：；；
獲得等級(jí)的學(xué)生有人，用，，，表示，：

共有種等可能結(jié)果，抽到學(xué)生和的有兩種結(jié)果，
獲得等級(jí)學(xué)生中，恰好到學(xué)生和的概率為：．
用減去等級(jí)與等級(jí)的學(xué)生人數(shù)，即可求出等級(jí)的學(xué)生人數(shù)的值，用除以即可得出等級(jí)的頻率即的值；
由可知獲得等級(jí)的學(xué)生有人，用，，，表示，畫出樹狀圖，通過圖確定恰好抽到學(xué)生和的概率．
本題考查讀頻數(shù)率分布表的能力和利用圖表獲取信息的能力．利用統(tǒng)計(jì)圖表獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問題．用到的知識(shí)點(diǎn)為：各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)；各小組頻率之和等于；頻率頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)；概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 22.【答案】解：如圖，先交于點(diǎn)，再作的垂直平分線交于點(diǎn)，接著以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，
則和為所作；

證明：連接，如圖，
，
，
，
，
，
，
為的半徑，
為的切線，
即是過、、三點(diǎn)的圓的切線． 【解析】先過點(diǎn)作交于點(diǎn)，再作的垂直平分線得到的中點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓；
連接，如圖，先利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到，所以，則，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷為的切線．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和切線的判定．
 23.【答案】解：設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元，
則，
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
豬肉每盒進(jìn)價(jià)元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元，
答：豬肉每盒進(jìn)價(jià)元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元；
由題意得，當(dāng)時(shí)，每天可售出盒，
當(dāng)豬肉粽每盒售價(jià)元時(shí)，每天可售盒，
，
配方，得：，
時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為：元．
答：關(guān)于的函數(shù)解析式為，且最大利潤為元． 【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤與豬肉粽每盒售價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式．
設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)元，根據(jù)商家用元購進(jìn)的豬肉粽和用元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；
由題意得，當(dāng)時(shí)，，每天可售出盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價(jià)元時(shí)，每天可售盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤與豬肉粽每盒售價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及的取值范圍求利潤的最大值．
 24.【答案】解：當(dāng)，時(shí)，拋物線為，
方程的兩個(gè)根為，，
該拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是和；

當(dāng)時(shí)，拋物線為，且與軸有交點(diǎn)．
對(duì)于方程，判別式，有．
當(dāng)時(shí)，由方程，解得．
此時(shí)拋物線為與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
時(shí)，．
由已知時(shí)，該拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，
應(yīng)有，即，
解得．
綜上，或；

當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有交點(diǎn)，理由如下：
對(duì)于二次函數(shù)，
由已知時(shí)，；
時(shí)，，
又，
．
．
，
，即．
．
關(guān)于的一元二次方程的判別式，
拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸下方．
又該拋物線的對(duì)稱軸，
由，，，
得，
．
對(duì)稱軸大于小于
又由已知當(dāng)時(shí)，；
時(shí)，，
在范圍內(nèi)，即在到有兩個(gè)交點(diǎn)． 【解析】把，，的值代入可得拋物線的解析式，求出兩根即可；
把，代入解析式可得，等于時(shí)可直接求得的值；求出的相應(yīng)的值后可得的取值范圍；
拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是一元二次方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，因此，本題的解答就是研究在不同的條件下一元二次方程根的判別式的符號(hào)，依據(jù)判別式的符號(hào)得出相應(yīng)的結(jié)論．
本題考查二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是二元一次方程根的個(gè)數(shù)．
 25.【答案】解：如圖，作于點(diǎn)，連接，

在正方形中，為對(duì)角線，邊長(zhǎng)為，
，，，
，
，，
，
，
線段的長(zhǎng)為；
與關(guān)系為，，
證明如下：如圖，連接，，

由正方形的性質(zhì)可得，，，
，，
，
∽，
，，
是中點(diǎn)，
，
，
，
如圖，連接，，
由正方形的性質(zhì)可得，，，
，，，
，
，
∽，
，，
，
，
如圖，過作于點(diǎn)，令，則，
在中，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
與的關(guān)系為，；
如圖，取線段中點(diǎn)記為，連接，，

是的中位線，
，目，
為定點(diǎn)，為定長(zhǎng)，
在以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑長(zhǎng)即為圓的周長(zhǎng)，
由可知，，
最小時(shí)，最小，
由題意知點(diǎn)在以為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，

在中，，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，有，
，
最小時(shí)為，且，
最小的的值為：，
中點(diǎn)在這個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，的最小值為． 【解析】如圖，作于，連接，由正方形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)求出的值，在中，根據(jù)股定理計(jì)算的值即可；
如圖，連接，，由正方形的性質(zhì)可得，，證∽，證明∽，過作于點(diǎn)，令則，在中，，，可得，在中，由股定理得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可證，進(jìn)而結(jié)論得證；
如圖，找線段中點(diǎn)記為，連接，，可得是的中位線，為定點(diǎn)，為定長(zhǎng)，在以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的路徑長(zhǎng)即為圓的周長(zhǎng)計(jì)算求解即可，由可知，最小時(shí)，最小，由題意知點(diǎn)在以為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，延長(zhǎng)交圓點(diǎn)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得在中，，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，有，則，求出最小時(shí)為的值，然后求出最小的值即可．
本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線，圓的定義，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的靈活綜合運(yùn)用．
 

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