黑龍江省雙鴨山市第一中學2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題（考試時間：120分鐘     滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設(shè)，則復數(shù)的實部和虛部之和為（    ）A．3 B． C．1 D．2．中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（    ）A． B． C． D．3．向量在向量上的投影向量的坐標為（    ）A．            B．         C．        D．4．已知直線和平面，下列說法正確的是（    ）A．若//，//，則// B．若//，，則//C．若，則 D．若//，//，則//5．如圖，在△ABC中，，，設(shè)，，則（    ）A． B．C． D．6．一個水平放置的三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形如圖所示，若，那么原的面積是（    ）A．  B．             C．           D．7．空間四邊形中，，，分別是，的中點，，則異面直線，所成的角為（    ）A．30°        B．60°        C．90° D．120°8．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D．現(xiàn)測得，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高（    ）A． B．C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知兩點，，則與向量垂直的單位向量（    ）A．        B．        C． D．10．，是三個平面，是兩條直線，下列四個命題中錯誤的是（    ）A．若則 B．若則C．若，則 D．若，則11．在中，設(shè)所對的邊分別為,則以下結(jié)論正確的是（    ）A．若，則為等腰三角形.  B．若，則C．若則是銳角三角形.D．若，則一定是一個鈍角三角形.12．在正四面體中，若，為的中點，下列結(jié)論正確的是（    ）A．正四面體的體積為B．正四面體外接球的表面積為C．如果點在線段上，則的最小值為D．正四面體內(nèi)接一個圓柱，使圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個公共點，則圓柱的側(cè)面積的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知復數(shù)為純虛數(shù)，則________.14．若一個圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個圓錐的表面積為________.15．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，則點A到平面A1BC的距離為________。16．已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別，角．若是的平分線，交于，且，則的最小值為________；若的外接圓的圓心是，半徑是1，則的取值范圍是________．四、解答題：本題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）如圖為長方體與半球拼接的組合體，已知長方體的長、寬、高分別為10，8，15（單位：cm），球的直徑為5 cm，（1）求該組合體的體積；（2）求該組合體的表面積.18．（12分）已知向量.（1）若，求；（2）若向量與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍.19．（12分）如圖，四邊形ABCD為長方形，平面ABCD，，，點E、F分別為AD、PC的中點．設(shè)平面平面．（1）證明：平面PBE；（2）證明：；20．（12分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別是、、，且.（1）求；（2）若，求的面積的最大值.21．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，，∠BAC＝90°，D為BC中點．（1）求證：⊥平面；（2）求直線與平面所成的角．22.（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大?。?/span>（2）求的取值范圍；（3）若D是AC邊上的一點，且，，當取最大值時，求的面積.數(shù)學參考答案1．B【分析】利用復數(shù)的乘法可得，從而可得其實部和虛部之和.【詳解】，故其實部為，虛部為，兩者的和為，2．C【解析】由余弦定理可直接求出.【詳解】由余弦定理得，.3.C【分析】利用坐標求得與同向的單位向量，由可知所求向量為.【詳解】，與同向的單位向量，又，所求投影向量為.4．C【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：若//，//，則//或，故錯誤；對：若//，，則//或，故錯誤；對：若//，，，則//，故正確；對：若//，//，則可以平行，可以相交，也可以是異面直線，故錯誤；5．D【分析】根據(jù)向量的加法法則，即可求解.【詳解】解：由題意得：，6．B【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原三角形的底邊及高，進而可求原三角形的面積.【詳解】因為三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形，所以的底．斜邊，則為直角三角形，高．所以直角三角形的面積是．7．B【詳解】取AC中點G，連接EG、FG，由三角形中位線的知識可知：EGBC，FGAD，∴∠EGF或其補角即為異面直線AD，BC所成的角，在△EFG中，cos∠EGF，∴∠EGF＝120°，由異面直線所成角的范圍可知應(yīng)取其補角60°，8．A【分析】運用正弦定理和銳角三角函數(shù)定義進行求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，9．  AB10．BD11.BD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)正弦定理及大邊對大角的性質(zhì)可判斷哪B，由向量夾角確定三角形內(nèi)角判斷C，根據(jù)所給性質(zhì)及余弦定理判斷D.【詳解】，，或，為等腰或直角三角形，故A錯誤；，由正弦定理可知，，故B正確；設(shè)，則解得，則，因為，所以是鈍角，故D正確.12.BCD【詳解】由正四面體各棱都相等，即各面都為正三角形，故棱長為2，如下圖示，為底面中心，則共線，為體高，故，所以，故正四面體的體積為，A錯誤；由題設(shè)，外接球球心在上，且半徑，所以，則，故外接球的表面積為，B正確；由題意知：將面與面沿翻折，使它們在同一個平面，如下圖示，所以且，，又，而，要使最小，只需共線，則，所以，C正確；如下圖，棱錐中一個平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當時，，D正確.故選：BCD13．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以且，解得.故答案為：14．【分析】求出底面半徑，代入公式即可.【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為的半圓，所以圓錐的母線長為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積為.故答案為：.15．【詳解】試題分析：設(shè)點A到平面A1BC的距離為h，則三棱錐的體積為即考點：點、線、面間的距離計算16.（1）；（2）.【詳解】（1）由是的平分線，得，又，即，化簡得，當且僅當，即，時，取．（2），=，銳角，，，．17．體積為1200＋（cm3），表面積700＋（cm2）．【詳解】根據(jù)該組合體是由一個長方體和一個半球組合而成．由已知可得V長方體＝10×8×15＝1200（cm3），又V半球＝，所以所求幾何體體積為：V＝V長方體＋V半球＝1200＋（cm3）．因為S長方體全＝2×（10×8＋8×15＋10×15）＝700（cm2），故所求幾何體的表面積S表面積＝S長方體全＋S半球－S半球底＝700＋＝700＋（cm2）．18．（1）；（2）且.【詳解】（1）∵，∴，解得，∴.（2）∵與的夾角是鈍角，∴，且與不反向，即且，∴且.19．（1）證明見解析（2）證明見解析【詳解】（1）取PB中點，連接FG，EG，因為點E、F分別為AD、PC的中點所以，，因為四邊形ABCD為長方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因為平面PBE，平面PBE，平面PBE（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以20．（1）；（2）.【詳解】（1）在中，，由及正弦定理得：，即，，于是得，又，即，則，因，所以.（2），由余弦定理得：，當且僅當時取“=”，因此，，于是得，當且僅當時取“=”，所以的面積的最大值為.21．（1）C1A⊥A1C，因為∠BAC＝90°，所以，又因為側(cè)面ABB1A1是正方形，所以，因為平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，而C1A?平面ACC1A1，則AB⊥C1A，而A1B1∥AB∴A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1，平面A1B1C，∴C1A⊥平面A1B1C，（2）連接OB1，∵ACC1A1為正方形，∠BAC＝90°，∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1，而平面A1B1C，∴AC1⊥平面A1B1C，∴∠C1B1O為直線B1C1與平面A1B1C所成的角，∵，∴∠C1B1O＝30°．22．（1）；（2）；（3）（1）由，，則，由正弦定理得，化簡得，故，又，故；（2）由（1）知，，故，又，則，，故；（3）易得，由，可得，整理得，又，整理可得，令，則，其中，當，即時，取最大值，此時，解得，的面積為
 

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