2022-2023學年山東省青島市萊西市七年級（下）期中數學試卷（五四學制）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列方程是二元一次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  一個事件發(fā)生的概率不可能是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列成語描述的事件是必然事件的是(    )A. 守株待兔 B. 甕中捉鱉 C. 畫餅充饑 D. 水中撈月4.  下列命題是真命題的是(    )A. 相等的角是對頂角
B. 若實數，滿足，則
C. 同旁內角互補
D. 三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角5.  如圖，，下列結論正確的是(    )A.
B.
C.
D. 6.  某商場開業(yè)舉行慶?；顒?，凡是到商場的人均可參加“意外驚喜”的游戲，游戲規(guī)則為：一個袋中裝有白球和紅球共個這些小球除顏色外都相同，任意摸出一個球，如果摸到紅球就可獲得商場免費提供的一份禮品．據統計，當天參加活動的人數約人，商場發(fā)放了份禮品，試估計袋中紅球的個數為(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知方程組，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 8.  我國古代數學名著張邱建算經中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現在一斗清酒價值斗谷子，一斗醑酒價值斗谷子，現在拿斗谷子，共換了斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設清酒斗，醑酒斗，那么可列方程組為(    )A.  B.
C.  D. 9.  小明、小穎、小亮玩飛鏢游戲，他們每人投靶次，中靶情況如圖所示．規(guī)定投中同一圓環(huán)得分相同，若小明得分分，小亮得分分，則小穎得分為(    )
 A. 分 B. 分 C. 分 D. 分10.  已知關于、的二元一次方程組無解，則一次函數的圖象經過的象限是(    )A. 一、二、四 B. 二、三、四 C. 一、三、四 D. 一、二、三二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  有長度分別為，，，的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是______ ．12.  將命題“同角的補角相等”改寫成“如果那么”形式為          ．13.  已知某首歌曲的歌詞的字數是一個兩位數，十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個位數字大，則這首歌的歌詞的字數是______ ．14.  如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則的度數是          ．
 15.  如圖，將沿著翻折，若，，則 ______ ．
 16.  已知二元一次方程組的解為，則圖中三角形的面積為______ ．
 三、解答題（本大題共10小題，共80.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
解方程組：
；
．18.  本小題分
如圖，，，，平分，求的度數．
 19.  本小題分
如圖是一個可以自由轉動的轉盤，被平均分成個扇形，利用這個轉盤，甲、乙兩人進行游戲，規(guī)則如下：
甲自由轉動轉盤，若指針指向大于的數，則甲勝，否則乙勝；
甲自由轉動轉盤，若指針指向質數，則甲勝，否則乙勝；
乙自由轉動轉盤，若指針指向大于的偶數，則乙勝，否則甲勝；
乙自由轉動轉盤，若指針指向的倍數，則甲勝，否則乙勝．
在上面四個游戲規(guī)則中：
對甲、乙雙方公平的游戲規(guī)則是______ ；填序號
對甲、乙雙方不公平的游戲規(guī)則是______ ；填序號
選擇對甲有利的規(guī)則，用你所學的概率知識進行分析說明．
20.  本小題分
在解方程組時，由于粗心，甲看錯了方程組中的，而得解為，乙看錯了方程組中的，而得解為．
甲把看成了什么，乙把看成了什么？
求出原方程組的正確解．21.  本小題分
“六一”期間，利客來商廈為吸引顧客，對一次購物超過元的顧客進行抽獎贈券活動．
方案一：如圖所示一個可以自由轉動的轉盤轉盤被等分成個扇形，轉動轉盤停止后，根據指針指向參照下表獲得贈券指針指向黃色區(qū)域不獲獎． 轉盤顏色紅藍黑獎券金額元方案二：尊重顧客意愿，可以不經過抽獎，直接領取元贈券．
請根據以上活動方案解決下列問題：
方案一中，顧客獲得元、元和元贈券的概率分別是多少？
如果你獲得了一次贈券的機會，你會選擇兩種方案中的哪種？試通過計算給出合理理由．
22.  本小題分
如圖，已知，，求證：．
下面是小明同學不完整的證明過程，請你在橫線上補充完整，并在括號里填上每一步的推理依據．
證明：已知，
______ ．
______ ，
______
______
______ 兩直線平行，同旁內角互補．
______ ，
______
23.  本小題分
學校組織學生乘汽車去自然保護區(qū)野營，前三分之二路段為平路，其余路段為坡路，已知汽車在平路上行駛的平均速度為，在上坡路上行駛的平均速度為汽車從學校到自然保護區(qū)走平路和上坡路，一共行駛了．
求汽車在平路和上坡路上各行駛多少時間？
第二天原路返回，發(fā)現回程比去時用時少了，問汽車在下坡路上的行駛的平均速度是多少？24.  本小題分
已知實數，滿足，且，求的值三位同學分別提出了以下三種不同的解題思路：
甲同學：先解關于，的方程組，再求的值．
乙同學：將原方程組中的兩個方程相加，再求的值．
丙同學：先解方程組，再求的值．
試選擇其中一名同學的思路，解答此題．
試說明在關于不、的方程組中，不論取什么實數，的值始終不變．25.  本小題分
直線在同一平面內有平行和相交兩種位置關系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧
【問題探究】

如圖，若，點在，內部，，，則 ______ ；
如圖，若，將點在，外部，則，，之間數量關系：______ 不需證明；
如圖，寫出，，，之間的數量關系：______ 不需證明．
【變式拓展】
如圖，五角星，請直接寫出 ______ ．
如圖，將五角星去掉一個角后，是多少？請證明你的結論．26.  本小題分
閱讀材料，回答以下問題：
我們知道，二元一次方程有無數個解．在平面直角坐標系中，我們標出以這個方程的解為坐標的點，就會發(fā)現這些點在同一條直線上．
例如：是方程的一個解，對應點如圖所示，我們在平面直角坐標系中將其標出，另外方程的解還對應點、將這些點連起來正是一條直線，反過來，在這條直線上任取一點，這個點的坐標也是方程的解，所以，我們就把這條直線就叫做方程的圖象．
一般的，任意二元一次方程解的對應點連成的直線就叫這個方程的圖象．請問：
已知、、，則點______填“或或”在方程的圖象上．
求方程和方程圖象的交點坐標．
已知以關于、的方程組的解為坐標的點在方程的圖象上，當時，化簡．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、該方程中含有個未知數，不是二元一次方程，故本選項不符合題意．
B、該方程中未知數的最高次數是，不是二元一次方程，故本選項不符合題意．
C、該方程中含有個未知數，不是二元一次方程，故本選項不符合題意．
D、該方程符合二元一次方程的定義，故本選項符合題意．
故選：．
根據二元一次方程的定義進行判斷．
本題主要考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：
方程中只含有個未知數；
含未知數項的最高次數為一次；
方程是整式方程．
 2.【答案】 【解析】解：、任何事件的概率不能大于小于零，故A錯誤；
B、任何事件的概率不能大于小于零，故B正確；
C、任何事件的概率不能大于小于零，故C正確；
D、任何事件的概率不能大于小于零，故D正確；
故選：．
根據隨機事件發(fā)生的概率在和之間，不可能事件的概率是，必然事件的概率是，可得答案．
本題考查了概率的意義，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．注意隨機事件發(fā)生的概率在和之間，不可能事件的概率是，必然事件的概率是．
 3.【答案】 【解析】解：、守株待兔，是隨機事件；
B、甕中捉鱉，是必然事件；
C、畫餅充饑，是不可能事件；
D、水中撈月，是不可能事件；
故選：．
根據事件發(fā)生的可能性大小判斷．
本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
 4.【答案】 【解析】解：、相等的角不一定是對頂角，故錯誤，是假命題，不符合題意；
B、若實數，滿足，則，故錯誤，是假命題，不符合題意；
C、兩直線平行，同旁內角互補，故原命題錯誤，不符合題意；
D、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，正確，是真命題，符合題意．
故選：．
利用對頂角的定義、實數的性質、平行線的性質及三角形的外角的性質分別判斷后即可確定正確的選項．
本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解有關的定義及性質，難度不大．
 5.【答案】 【解析】解：如圖，，
內錯角相等，兩直線平行．
故選：．
根據平行線的判定定理進行判斷．
本題主要考查了平行線的判定，解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內錯角和同旁內角．
 6.【答案】 【解析】解：設袋中紅球的個數為，根據題意得：
，
解得：，
答：估計袋中紅球的個數為個；
故選：．
設袋中紅球的個數為，根據概率公式列出算式，求出的值即可得出答案．
此題考查了概率公式，用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．
 7.【答案】 【解析】解：，
得：，
，
故選：．
方程組兩方程相減求出的值，進而即可求得的值．
此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
 8.【答案】 【解析】解：設清酒斗，醑酒斗，
依題意得：．
故選：．
設清酒斗，醑酒斗，根據“拿斗谷子，共換了斗酒”，即可得出關于，的二元一次方程組，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：設投中內環(huán)得分，投中外環(huán)得分，
依題意，得：，
解得：，
．
故選：．
設投中內環(huán)得分，投中外環(huán)得分，根據“小明得分分，小亮得分分”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，再將其代入中即可得出小穎的得分．
本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
 10.【答案】 【解析】解：關于，的二元一次方程組無解，
直線與直線無交點，即兩直線平行，
，
解得：，
當時，一次函數，
其函數圖象經過第一、二、四象限，
故選：．
根據方程組無解可知兩條直線無交點，即兩直線平行，從而列方程求得的值，然后再根據一次函數圖象性質作出判斷．
本題考查了一次函數與二元一次方程組的關系，一次函數的性質，根據題意得到關于的方程是解題的關鍵．
 11.【答案】 【解析】解：長度為、、、的四條線段，從中任取三條線段共有，，，四種情況，
而能組成三角形的有、、；共有種情況，
所以能組成三角形的概率是．
故答案為：．
根據三角形的三邊關系求出共有幾種情況，根據概率的求法，找準兩點：全部情況的總數；符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．
本題考查的是概率的求法．如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現種結果，那么事件的概率．
 12.【答案】如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等 【解析】【分析】
本題考查了命題的敘述，正確分清命題的條件和結論是把命題寫成“如果那么”的形式的關鍵．
“同角的補角相等”的條件是：兩個角是同一個角的補角，結論是：這兩個角相等．據此即可寫成所要求的形式．
【解答】
解：“同角的補角相等”的條件是：兩個角是同一個角的補角，結論是：這兩個角相等．
則將命題“同角的補角相等”改寫成“如果那么”形式為：如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等．
故答案是如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等．  13.【答案】 【解析】解：設這首歌的歌詞的字數的十位數字為，個位數字為，
由題意得：，
解得：，
即這首歌的歌詞的字數為，
故答案為：．
設這首歌的歌詞的字數的十位數字為，個位數字為，由題意：十位數字是個位數字的兩倍，且十位數字比個位數字大，列出二元一次方程組，解方程組即可．
本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，過點作，

，
，
，
，
而，
，
．
故答案為．
過點作，利用平行線的性質得，所以，，加上，易得．
本題考查了平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
首先根據折疊可知，，再根據三角形的內角和即可得解．
【解答】
解：沿著翻折，
，，
．
故答案為．  16.【答案】 【解析】解：二元一次方程組的解為，
，
把分別代入和得
，
，
解得，，
兩直線的解析式分別為，，
當時，，
解得，
，
當時，，
解得，
，
三角形的面積．
故答案為：．
根據方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標得到，再把點坐標分別代入和求出和的值得到兩直線的解析式分別為，，接著求出，，然后根據三角形面積公式求解．
本題考查了一次函數與二元一次方程：方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標．也考查了三角形面積公式．
 17.【答案】解：，
得 ；
把代入得，
解得；
原方程組的解為；
，
得，
解得，
把代入得，
解得，
原方程組的解是 ． 【解析】利用加減消元法，進行計算即可解答；
利用加減消元法，進行計算即可解答．
本題考查了解二元一次方程組，關鍵是掌握加減消元或代入消元的方法．
 18.【答案】解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
． 【解析】本題考查了平行線性質定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．根據平行線的性質，先由得到，再由可計算出，直接利用角平分線的定義得到，然后利用求出的度數．
 19.【答案】   【解析】解：轉盤被平均分成個扇形，指針指向大于的數分別有、、、，共個數，
甲勝的概率是，乙勝的概率是，
這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平；
轉盤被平均分成個扇形，指針指向質數的有個，
甲勝乙勝，
這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平；
轉盤被平均分成個扇形，指針指向大于的偶數有和，共個數，
乙勝的概率是，
甲勝的概率是，
這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平；
轉盤被平均分成個扇形，指針指向的倍數的有、，共個數，
甲勝的概率是，
乙勝的概率是，
這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方不公平；
對甲、乙雙方公平的游戲規(guī)則是；
故答案為：；

對甲、乙雙方不公平的游戲規(guī)則是；
故答案為：；

對甲有利的規(guī)則是共有個數，大于的偶數有，，共個，
所以乙勝，甲勝，
即甲勝乙勝．
所以規(guī)則對甲有利．
根據概率公式分別求出甲和乙分別勝的概率，即可得出游戲規(guī)則對甲、乙雙方是否公平；
先求出乙和甲獲勝的概率，再進行比較，即可得出答案．
本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．
 20.【答案】解：把代入方程組，
得
解得：．
把代入方程組，
得，
解得：．
甲把看成；乙把看成；

正確的是，是，
方程組為，
解得：，．
則原方程組的解是． 【解析】把甲乙求得方程組的解分別代入原方程組即可；
把甲乙所求的解分別代入方程和，求出正確的、，然后用適當的方法解方程組．
此題難度較大，需同學們仔細閱讀，弄清題意再解答．
 21.【答案】解：由題意可知，每轉動一次轉盤，共有種等可能的結果，其中是紅色的有種，是藍色的有種，是黑色的有種，
指針指向紅色的概率為，
指針指向藍色的概率為，
指針指向黑色的概率為，
顧客獲得元贈券的概率為，
顧客獲得元贈券的概率為，
顧客獲得元贈券的概率．
方案一中，每轉動一次轉盤，獲得贈券的平均值為元，
方案二中，直接領取元贈券，
，
選擇方案一． 【解析】直接利用概率公式計算即可．
求出方案一中獲得贈券的平均值，再與方案二中獲得的元贈券作比較，可得答案．
本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵．
 22.【答案】  已知  等量代換  同位角相等，兩直線平行    對頂角相等  等量代換 【解析】證明：已知，
兩直線平行，內錯角相等，
已知，
等量代換，
同位角相等，兩直線平行，
兩直線平行，同旁內角互補，
對頂角相等，
等量代換．
故答案為：；已知；等量代換；同位角相等，兩直線平行；；對頂角相等；等量代換．
由平行線的性質可得，從而有，則可判斷，根據平行線的性質有，即可得證．
本題主要考查平行線的判定與性質，解答的關鍵是結合圖形分析清楚角與角之間的關系．
 23.【答案】解：設汽車在平路行駛了，在上坡路行駛了，
依題意，得：，
解得：．
答：汽車在平路行駛了，在上坡路行駛了．
．
答：汽車在下坡路上的行駛的平均速度是． 【解析】設汽車在平路行駛了，在上坡路行駛了，根據“汽車從學校到自然保護區(qū)走平路和上坡路，一共行駛了，且平路長度為上坡路的倍”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
利用速度路程時間，即可求出結論．
本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
 24.【答案】解：選擇乙同學方法，
原式，
得到，，
，
，
，
．
原式，
得，
代入得，
，
不論取什么實數，的值始終不變． 【解析】可得，因為，整體代入求出即可；
得，則根據即可判斷．
本題考查二元一次方程組，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用整體的思想考慮問題，屬于中考?？碱}型．
 25.【答案】       【解析】解：如圖，過點作，
，
，
，，


，
故答案為：；
如圖，
，
，
又，
，
故答案為：；
如圖，延長交于點，
，，
，
即，
故答案為：；
如圖，
，，
又，
，
故答案為：；
證明：如圖，連接，
，，
，
，
．
根據平行線的性質即可得出答案；
利用平行線的性質以及三角形的內角和定理可得答案；
利用三角形的外角的性質可得答案；
利用三角形內角和定理以及外角的性質進行計算即可；
利用三角形的內角和定理以及四邊形的內角和是進行計算即可．
本題考查平行線的性質，三角形內角和定理以及三角形的外角，掌握平行線的性質以及三角形內角和定理是正確解答的前提．
 26.【答案】 【解析】解：如圖觀察圖象可知：點在方程的圖象上，

故答案為．

由，
解得，
方程和方程圖象的交點坐標為．

由，解得，
，
，
，
當時，．
利用圖象法即可解決問題；
方程組的解即為兩個方程的圖象的交點坐標；
解方程組求出的值，根據絕對值的性質分段化簡即可；
本題考查一次函數的應用，一次函數與二元一次方程的關系等知識，解題的關鍵是學會利用圖象法解決問題，體現了數形結合的思想，屬于中考常考題型．
 

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