2023屆河南省新未來高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得中函數(shù)的定義域，再利用交集運(yùn)算即可求解．【詳解】由，則，所以．故選：B．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先對(duì)已知的化簡，然后利用的周期性即可求解.【詳解】依題意，，∴．故選：C.3．在中，角所對(duì)的邊分別為 ，，且的面積為，若，則（    ）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積可推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由于,，故有，解得，又，則,故選：A．4．如圖為近一年我國商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（    ）A．2023年1—2月份，商品零售總額同比增長9.2%B．2022年3—12月份，餐飲收入總額同比增速都降低C．2022年6—10月份，商品零售總額同比增速都增加D．2022年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為-14.1%【答案】C【分析】根據(jù)折線圖數(shù)據(jù)，結(jié)合同比與環(huán)比概念與數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的關(guān)系進(jìn)行辨析即可.【詳解】對(duì)于A，2023年1—2月份，商品零售總額同比增長2.9%，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2022年8月份，餐飲收入總額同比增速增加，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2022年6—10月份，商品零售總額同比增速都增加，故C正確；對(duì)于D，2022年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯(cuò)誤．故選C．5．已知向量，滿足，，，則（    ）A． B． C．12 D．24【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解．【詳解】由，所以．故選：C．6．一個(gè)球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的面積，其中R為球的半徑，H為球缺的高．如圖，若一個(gè)半徑為R的球體被平面所截獲得兩個(gè)球缺，其高之比為，則表面積（包括底面）之比（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑，從而求出表面積，可解此題.【詳解】∵，，∴，，∴．故選：B7．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，滿足軸．若，則（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質(zhì)可得到為等邊三角形，進(jìn)而即可求得的值．【詳解】依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的程序框圖，依次各次循環(huán)的值，確定退出循環(huán)時(shí)值表達(dá)式，再利用二倍角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，，…，第6次循環(huán)：，，所以.故選：A9．已知，，，則的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡得到，，，即可求解.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，，，所以．故選：D．10．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（    ）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【分析】由遞推式得出，兩式相減根據(jù)，可得是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由題意，，，兩式相減，得，．，．當(dāng)時(shí)，，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B11．已知函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸，則的最小值為（    ）A．0 B． C．1 D．【答案】B【分析】由，則，再根據(jù)題意得到，從而求得的范圍，進(jìn)而得到的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】由，又，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸，所以，解得，則，所以，故則的最小值為．故選：B．12．已知斜率為的直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線，得到兩根之和，兩根之積，由得到，結(jié)合兩根之和，兩根之積，列出方程，求出離心率.【詳解】設(shè)，，直線l的方程為，其中，聯(lián)立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴離心率．故選：C． 二、填空題13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值為 ______．【答案】3【分析】作出可行域，通過平移直線即可求解.【詳解】如圖，由約束條件可得可行域?yàn)殛幱安糠郑?/span>由得，作出直線，由得交點(diǎn)坐標(biāo)為，平移直線知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，∴．故答案為：3.14．如圖，矩形長為，寬為3，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為10.2，則______．【答案】5【分析】欲估計(jì)出的值，可利用概率模擬，只要利用落在橢圓內(nèi)的概率和平面圖形的面積比即可求出.【詳解】因?yàn)榫匦蔚拿娣e為3a，則，解得．故答案為：15．定義在上的函數(shù)滿足，則______．【答案】1012【分析】先根據(jù)題意可得到，從而可得到函數(shù)的周期性，再通過賦值和得到和，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，則，所以，即，所以是以4為周期的周期函數(shù)．令，得，所以，令，則，所以，所以．故答案為：1012．16．已知正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)P在內(nèi)，滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為______．【答案】/【分析】確定正方體對(duì)角線與的交點(diǎn)E，求出確定軌跡形狀，再求出軌跡長度作答.【詳解】在正方體中，如圖，平面，平面，則，而，平面，于是平面，又平面，則，同理，而平面，因此平面，令交平面于點(diǎn)E，由，得，即，解得，而，于是，因?yàn)辄c(diǎn)P在內(nèi)，滿足，則，因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓在內(nèi)的圓弧，而為正三角形，則三棱錐必為正三棱錐，為正的中心，于是正的內(nèi)切圓半徑，則，即，，所以圓在內(nèi)的圓弧為圓周長的，即點(diǎn)P的軌跡長度為．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動(dòng)點(diǎn)在某個(gè)平面內(nèi)，利用給定條件，借助線面、面面平行、垂直等性質(zhì)，確定動(dòng)點(diǎn)與所在平面內(nèi)的定點(diǎn)或定直線關(guān)系，結(jié)合有關(guān)平面軌跡定義判斷求解. 三、解答題17．清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng)．某社區(qū)進(jìn)行流動(dòng)人口統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列聯(lián)表： 回老家不回老家總計(jì)50周歲及以下 55 50周歲以上15 40總計(jì)  100(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)完成以上列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)該社區(qū)流動(dòng)人口中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率；(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為回老家祭祖與年齡有關(guān)？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)列聯(lián)表見解析；所求概率為(2)有99.9%的把握認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān) 【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)補(bǔ)全列聯(lián)表后，由古典概型概率公式計(jì)算概率；（2）計(jì)算出后可得結(jié)論．【詳解】（1）補(bǔ)全表格如下： 回老家不回老家總計(jì)50周歲及以下5556050周歲以上152540總計(jì)2080100該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為；（2）∵，∴有99.9%的把握認(rèn)為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)．18．已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用遞推式得出是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出，進(jìn)而求解即可.（2）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）由，得，又，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，①得，②①－②得，故．19．如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面ABC，且為邊長為4的等邊三角形，，，D為PA的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取AC中點(diǎn)E，連接DE，BE，由側(cè)面底面，證得平面，得到，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）由（1）求得，過點(diǎn)P作，求得，進(jìn)而得到，結(jié)合，求得點(diǎn)到平面的距離，即可求得點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）證明：如圖所示，取中點(diǎn)，連接DE，BE，因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，又由側(cè)面底面，底面，側(cè)面底面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>D，E分別為PA，AC中點(diǎn)，可得，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，且DE，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以；（2）解：由（1）可知，，且，在中，由余弦定理得，即，解得，過點(diǎn)P作，垂足為H，可得，，則，，所以，因?yàn)橛蓚?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面，所以點(diǎn)P到平面的距離為，又因?yàn)?/span>，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，解得，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)2(2)或 【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出極值和最小值；（2）變形得到的零點(diǎn)問題，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出極小值，結(jié)合，，，分，，和分類討論，得到零點(diǎn)情況，求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，同時(shí)也是最小值，∴函數(shù)的最小值為；（2）令，得，令，則函數(shù)在上的零點(diǎn)即為函數(shù)在上的零點(diǎn)，，∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取極小值，①當(dāng)時(shí)，，故在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，故在上有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，∵，，，∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方21．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A，B，試問：的內(nèi)心是否在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)的內(nèi)心在定直線上 【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于，的方程組，再求解即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理證明，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，消整理得，則，，所以，所以，所以，又，所以恒成立，則的平分線總垂直于x軸，所以的內(nèi)心在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解答小問（2）時(shí)，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理得到，進(jìn)而得到的內(nèi)心在定直線上．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），求線段AB的長度．【答案】(1)曲線；曲線(2) 【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而化為極坐標(biāo)方程即可；（2）直線過原點(diǎn)，所以化為極坐標(biāo)方程后與曲線，的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用的幾何意義求解即可.【詳解】（1）曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)得，將代入，得曲線的極坐標(biāo)方程為，由得，∴，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）易知直線l的極坐標(biāo)方程為，代入曲線，的極坐標(biāo)方程得，，∴．23．已知，函數(shù)的最小值為2，證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式，得到的最小值為，進(jìn)而化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）證明：由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).（2）解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)． 

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