2023屆上海市敬業(yè)中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．設(shè)集合，，則________【答案】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再由交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是方程（、均為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則___【答案】【分析】先由題意，得到，化簡(jiǎn)整理，再由復(fù)數(shù)相等，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是方程（、均為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，所以，整理得：，因此，解得.所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，熟記復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可，屬于?？碱}型.3．在等比數(shù)列中，若公比q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式（ ）【答案】【分析】利用等比數(shù)列求和公式列方程求出數(shù)列的首項(xiàng)，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楣?/span>q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，所以，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，意在考查對(duì)基本公式的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 4．若直線的傾斜角為α，則sin2α的值為___________.【答案】/0.6【分析】根據(jù)直線斜率為傾斜角的正切值，結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.【詳解】由題可知，，則.故答案為：.5．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因此．故答案為：． 6．一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為____________．【答案】【分析】由題意可知正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)的計(jì)算公式可求得四棱柱的高.【詳解】由題意可知正四棱柱的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，因?yàn)樵撉虻谋砻娣e為，所以球的半徑，正四棱柱的底面積為1，則底面邊長(zhǎng)為1，設(shè)正四棱柱的高為h，則 ，即 解得 ，故答案為： .7．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于64，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值等于_________．【答案】60【分析】首先根據(jù)條件求出，然后寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后可得答案.【詳解】因?yàn)樗卸?xiàng)式系數(shù)的和等于64，所以，所以，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，所以該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值等于.故答案為：60.8．一個(gè)袋中裝有大小相同的5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個(gè)球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則是________【答案】【分析】先計(jì)算， ，然后根據(jù)條件概率的定義，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，掌握條件概率公式，審清題意，簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.9．已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為___________.【答案】/【分析】根據(jù)所截弦長(zhǎng)與半徑求出圓心到漸近線距離，從而解出的值，最后得到離心率.【詳解】由題意可知雙曲線的一漸近線方程為，圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為，即（負(fù)舍），，雙曲線的離心率為.故答案為：.10．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】分類討論，先由求出的取值范圍，再結(jié)合時(shí)二次函數(shù)的單調(diào)性求解值域即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，，要滿足，此時(shí)應(yīng)滿足 ，即故答案為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)值域求解參數(shù)問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于確定在臨界點(diǎn)處的取值范圍，屬于中檔題11．已知函數(shù)的圖像在處的切線與在處的切線相互垂直，那么的最小值是___________.【答案】【分析】求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，根據(jù)余弦函數(shù)的最值可得且，或且，分兩種情況求出，然后求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，依題意可得，所以,所以且，或且，當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.當(dāng)且時(shí)，，，，，所以，，，所以，，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.綜上所述：的最小值是.故答案為：.12．在數(shù)列中，對(duì)任意的都有，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于任意的，都有；②對(duì)于任意，數(shù)列不可能為常數(shù)列；③若，則數(shù)列為遞增數(shù)列；④若，則當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_____________.【答案】③④【分析】對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系變形得到，得到與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，推導(dǎo)出此時(shí)為常數(shù)列，②錯(cuò)誤；作差法結(jié)合時(shí)，，求出數(shù)列為遞增數(shù)列，③正確；由與同號(hào)，得到當(dāng)，有，結(jié)合作差法得到為遞減數(shù)列，④正確.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)槿我獾?/span>都有，所以，所以與同號(hào)，當(dāng)，則時(shí)，都有，①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，同理得：，此時(shí)為常數(shù)列，②錯(cuò)誤；，由A選項(xiàng)知：若，則，所以，則數(shù)列為遞增數(shù)列，③正確；由與同號(hào)，當(dāng)，則時(shí)，都有，且此時(shí)，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，綜上：若，則當(dāng)時(shí)，，④正確.故答案為：③④ 二、單選題13．已知兩條直線“”是“直線與直線的夾角為”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線夾角公式可以求出當(dāng)兩條直線夾角為時(shí)的值,然后根據(jù)充分性、必要性的定義,選出正確答案.【詳解】兩條直線的斜率分別是.當(dāng)兩條直線的夾角為時(shí),則有：或.因此“”是“直線與直線的夾角為”的充分不必要條件.故選B【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,掌握兩直線夾角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.14．要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（    ）A．每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵椎?/span>2倍 B．每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍C．向左平移個(gè)單位 D．向上平移個(gè)單位【答案】D【分析】根據(jù)圖象平移結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)A：所得函數(shù)為，A錯(cuò)誤；對(duì)B：所得函數(shù)為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：所得函數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：所得函數(shù)為，D正確；故選：D.15．如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線【答案】B【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】如圖所示， 作于，連接，過(guò)作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，．，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力， 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．16．在中，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則給出下面四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后表示出的坐標(biāo)，由題意可得，再逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?/span>，所以設(shè)，則，，所以，所以，即（為任意角），所以（其中），所以的最大值為，最小值為，所以①③錯(cuò)誤，因?yàn)?/span>，所以（其中）因?yàn)?/span>，所以，所以，所以的最小值為，最大值為14，所以②正確，④錯(cuò)誤，故選：A 三、解答題17．已知，正三棱柱中，，延長(zhǎng)至，使.(1)求證：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）通過(guò)底面的邊角關(guān)系可得，，進(jìn)而可證得平面，從而得證；（2）法一：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，可證得為二面角的平面角，從而得解.法二：建立空間直角坐標(biāo)系用向量的方法求解.【詳解】（1）因?yàn)槭钦庵?/span>，所以，，且，從而又，所以，，即，又，、，平面，又，（2）解法一：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).所以，又，故，因?yàn)?/span>平面，，所以，又，、，所以平面，又，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?/span>所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.解法二：以直線為軸，直線為軸，直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，又平面的一個(gè)方向量，設(shè)二面角的大小為，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.18．已知向量，其中，若函數(shù)的最小正周期為.(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再由函數(shù)周期即可求得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）中函數(shù)的解析式可得，再由正弦定理可得，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）的最小正周期為.故，令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（2）設(shè)中角所對(duì)的邊分別是.，即，解得.，，.19．某超市每天以4元/千克購(gòu)進(jìn)某種有機(jī)蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6點(diǎn)以前所購(gòu)進(jìn)的有機(jī)蔬菜沒(méi)有全部銷售完，則對(duì)未售出的有機(jī)蔬菜降價(jià)處理，以2元/千克出售，并且降價(jià)后能夠把剩余所有的有機(jī)蔬菜全部處理完畢，且當(dāng)天不再進(jìn)貨.該超市整理了過(guò)去兩個(gè)月（按60天計(jì)算）每天下午6點(diǎn)前這種有機(jī)蔬菜的日銷售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).（注：視頻率為概率，）.每天下午6點(diǎn)前的銷售量/千克250300350400450天數(shù)10105(1)求1天下午6點(diǎn)前的銷售量不少于350千克的概率；(2)在接下來(lái)的2天中，設(shè)為下午6點(diǎn)前的銷售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若該超市以當(dāng)天的利潤(rùn)期望值為決策依據(jù)，當(dāng)購(gòu)進(jìn)350千克的期望值比購(gòu)進(jìn)400千克的期望值大時(shí)，求的最小值.【答案】(1)(2)分布答案見(jiàn)解析，(3) 【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能值為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；（3）分別求得購(gòu)進(jìn)350千克和400千克時(shí)利潤(rùn)的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得1天下午6點(diǎn)前的銷售量不小于350千克的概率為.（2）解：依題意，1天下午6點(diǎn)前的銷售量不少于350千克的概率，隨機(jī)變量的可能值為，可得，所以隨機(jī)變量的分布為：012所以的數(shù)學(xué)期望.（3）解：購(gòu)進(jìn)350千克時(shí)利潤(rùn)的期望值：，購(gòu)進(jìn)400千克時(shí)利潤(rùn)的期望值：，由，解得，因?yàn)?/span>且，因此，所以的最小值是.20．已知雙曲線的焦距為4，直線l：與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)D?E，且時(shí)直線l與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.(1)求雙曲線的方程；(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)A?B分別是的左?右兩頂點(diǎn)，線段BD的垂直平分線交直線BD于點(diǎn)P，交直線AD于點(diǎn)Q，求證：線段PQ在x軸上的射影長(zhǎng)為定值.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）列方程求得a、b，即可得到雙曲線的方程；（2）把坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓的內(nèi)部，轉(zhuǎn)化為，解不等式可得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）求得P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，即可證明線段PQ在x軸上的射影長(zhǎng)為定值.【詳解】（1）當(dāng)直線l：與C的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，又雙曲線的漸近線為，則又焦距為4，則，解得，，則所求雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，則，由，得，則，，，，又坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段DE為直徑的圓內(nèi)，則，即，即，即，則，即，則或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍.（3），設(shè)，則，直線BD的斜率為， 又，則直線PQ的方程為，即，直線AD的斜率為，直線AD的方程為，由，得，即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則.故線段PQ在x軸上的射影長(zhǎng)為定值.21．定義：如果函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有C關(guān)系．(1)判斷函數(shù)和是否具有C關(guān)系；(2)若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)是(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)C關(guān)系的理解，令，解得，從而得以判斷；（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到在上恒成立，分類討論與，利用基本不等式即可求得a的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上存在零點(diǎn)，分類討論與，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系證得時(shí)，在上有零點(diǎn)，從而得解.【詳解】（1）與是具有C關(guān)系，理由如下：根據(jù)定義，若與具有C關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在，使得，因?yàn)?/span>，，，所以，令，即，解得，所以與具有C關(guān)系.（2）令，因?yàn)?/span>，，所以，令，則，故，因?yàn)?/span>與不具有C關(guān)系，所以在上恒為負(fù)或恒為正，又因?yàn)?/span>開(kāi)口向下，所以在上恒為負(fù)，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，綜上：，即.（3）因?yàn)?/span>和，令，則，因?yàn)?/span>與在上具有C關(guān)系，所以在上存在零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，當(dāng)且時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，此時(shí)在上不存在零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，故在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，則，所以當(dāng)；當(dāng)；又當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上存在唯一極小值點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)與在上具有C關(guān)系，綜上：，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解新定義，得到與具有C關(guān)系，則在定義域上存在，使得，從而得解. 

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