2023年浙江省金華市永康市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的相反數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  年我國(guó)新能源汽車銷售量約為輛，同比增長(zhǎng)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  由四個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，它的俯視圖是(    )A.
B.
C.
D. 4.  若二次根式有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 5.  方程經(jīng)過(guò)配方后，其結(jié)果正確的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  某果園實(shí)驗(yàn)基地種植了甲、乙兩個(gè)品種的葡萄樹(shù)，工作人員隨機(jī)從甲、乙兩品種的葡萄樹(shù)中采摘了棵，統(tǒng)計(jì)了每棵的產(chǎn)量下列關(guān)于兩品種每棵產(chǎn)量的平均數(shù)和方差的描述中，能說(shuō)明甲品種的葡萄產(chǎn)量較穩(wěn)定的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  一沙灘球網(wǎng)支架示意圖如圖所示，米，，則最高點(diǎn)離地面的高度為(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米8.  如圖，小明分別以點(diǎn)，為圓心，大于線段長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑作弧，相交于點(diǎn)，，作直線分別交弦和劣弧于點(diǎn)，小明量得，則劣弧所在圓的半徑長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 9.  如圖，已知正五邊形的邊長(zhǎng)為，連接對(duì)角線構(gòu)成另一個(gè)正五邊形，則正五邊形的邊長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 10.  我們知道訂書(shū)針的兩條短邊垂直長(zhǎng)邊如圖是由三枚完全相同的訂書(shū)針，，拼成的圖形，點(diǎn)，，，在同一條直線上，點(diǎn)，，分別在，，上，，當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，的長(zhǎng)度為(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  分解因式：          ．12.  不等式組的解集是______ ．13.  如圖所示，電路圖上有、、三個(gè)開(kāi)關(guān)和一個(gè)小燈泡，閉合開(kāi)關(guān)或者同事閉合開(kāi)關(guān)、，都可使小燈泡發(fā)光，現(xiàn)在任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于______．14.  水滸傳中關(guān)于神行太保戴宗有這樣一段描述：程途八百里，朝去暮還來(lái)某日，戴宗去里之外的地方打探情報(bào)，去時(shí)順風(fēng)，用了小時(shí)；回來(lái)時(shí)逆風(fēng)，用了小時(shí)，則戴宗的速度為______ 里小時(shí)．15.  如圖，已知和為等腰直角三角形，，，，連接、在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)， ______ ．
16.  如圖為一款折疊嬰兒車的演示過(guò)程點(diǎn)處有一卡扣，打開(kāi)卡扣，從手柄點(diǎn)處往下按壓，完成折疊已知支撐桿，，卡扣恰好為中點(diǎn)，推桿．

如圖，當(dāng)卡扣固定時(shí)，支撐桿與水平線呈角，手柄到水平線的距離約為______ ；
當(dāng)折疊完成時(shí)，如圖所示，支撐桿與水平線呈角，此時(shí)手柄約下降了______ ．
結(jié)果均精確到參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
以下是小亮同學(xué)在解分式方程的過(guò)程： 解：去分母得化簡(jiǎn)得
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解
所以原方程的解為，根據(jù)小亮的解題過(guò)程，回答下列問(wèn)題：
小亮的解題過(guò)程中第______ 步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤．
請(qǐng)你寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．19.  本小題分
如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，．
求證：≌；
連接，，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．
20.  本小題分
某校為提高九年級(jí)學(xué)生的體育成績(jī)，針對(duì)跳繩項(xiàng)目進(jìn)行了專門訓(xùn)練為了解訓(xùn)練效果，在訓(xùn)練前后各組織了一次測(cè)試，并從中抽取了名學(xué)生的數(shù)據(jù)制成了如下條形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
某校九年級(jí)名學(xué)生訓(xùn)練前后跳繩成績(jī)條形統(tǒng)計(jì)圖
訓(xùn)練前成績(jī)的中位數(shù)是______ 分，訓(xùn)練后成績(jī)的眾數(shù)是______ 分；
訓(xùn)練后比訓(xùn)練前平均分增加了多少分？
如果該校九年級(jí)有名學(xué)生，那么估計(jì)訓(xùn)練后成績(jī)?yōu)闈M分的人數(shù)有多少人？
21.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是反比例函數(shù)圖象的一部分把曲線關(guān)于軸對(duì)稱，再向下平移個(gè)單位得到曲線，且點(diǎn)恰好在直線上已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，，兩點(diǎn)間的水平距離為．
求曲線所在的反比例函數(shù)的解析式；
求的值．
22.  本小題分
如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接已知，，．
求證：為的切線；
求的邊上的高；
求的長(zhǎng)．
23.  本小題分
根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)． 運(yùn)用二次函數(shù)來(lái)研究植物幼苗葉片的生長(zhǎng)狀況素材在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘一片美麗的心形葉片、一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．問(wèn)題解決任務(wù)
 確定心形葉片的形狀如圖建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，且過(guò)原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．任務(wù)
 研究心形葉片的尺寸如圖，心形葉片的對(duì)稱軸直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)，，點(diǎn)，是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，交直線與點(diǎn)求葉片此處的寬度．任務(wù)
 探究幼苗葉片的生長(zhǎng)小李同學(xué)在觀察幼苗生長(zhǎng)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，如圖，幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)任務(wù)中的二次函數(shù)已知直線與水平線的夾角為三天后，點(diǎn)長(zhǎng)到與點(diǎn)同一水平位置的點(diǎn)時(shí)，葉尖落在射線上如圖所示求此時(shí)幼苗葉子的長(zhǎng)度和最大寬度． 24.  本小題分
如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在對(duì)角線，上，，連結(jié)．
求線段的長(zhǎng)和的度數(shù)；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，以為邊在右下方作等邊，連結(jié)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)若設(shè)線段長(zhǎng)為，線段長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的取值范圍；
若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊當(dāng)點(diǎn)恰好落在矩形的邊上時(shí)，求的長(zhǎng)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反數(shù)是．
故選：．
利用相反數(shù)的定義判斷．
本題考查了相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
故選：．
用移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的方法確定值，根據(jù)整數(shù)位數(shù)減一原則確定值，最后寫(xiě)成的形式即可．
本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，熟練掌握把小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在左邊第一個(gè)非零數(shù)字的后面確定，運(yùn)用整數(shù)位數(shù)減去確定值是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：俯視圖是
，
故選：．
根據(jù)俯視圖的意義畫(huà)圖即可．
本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的意義是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：由題意可知：，
，
故選：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．
本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
故選：．
利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得．
本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)方差越大，波動(dòng)性越大，方差越小，波動(dòng)性越小，
甲品種的葡萄產(chǎn)量較穩(wěn)定，所以，
故選：．
根據(jù)方差的意義即可得出答案．
本題考查了方差的意義，根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性，掌握方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小，反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性也越好是解答本題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：米，，
在中，，，
故選：．
根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：直線是的垂直平分線，
，
，，
設(shè)，
，，
在中，
，
，
圓的半徑為，
故答案為：．
故選：．

根據(jù)作圖即可得到直線是的垂直平分線，再利用垂徑定理及勾股定理即可解答．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：正五邊形的邊長(zhǎng)為，
，，
，，
，∽，，
，
，
解得舍去，
，
故選：．
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，得到，，得到，證明∽列式計(jì)算即可．
本題考查了正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解方程，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，

，
，，
四邊形是矩形，，
，∽，
，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，

解得，
，
故選：．
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明≌，∽，設(shè)，，利用全等，相似的性質(zhì)計(jì)算即可．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
符合平方差公式的特征，直接運(yùn)用平方差公式分解因式．平方差公式：．
【解答】
解：．
故答案為：．  12.【答案】 【解析】解：解不等式，得：，
又，
不等式組得解集為：，
故答案為：．
求出第一個(gè)不等式解集，根據(jù)“大小小大中間找“即可得不等式組的解集．
本題主要考查解不等式組的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：閉合開(kāi)關(guān)或者同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)、，都可使小燈泡發(fā)光，
任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)共有種等可能的結(jié)果，而小燈泡發(fā)光的只有選擇閉合，
小燈泡發(fā)光的概率等于：．
根據(jù)題意可得任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)共有種等可能的結(jié)果，而小燈泡發(fā)光的只有選擇閉合，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此題考查了概率公式的應(yīng)用．此題比較簡(jiǎn)單，注意概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 14.【答案】 【解析】解：戴宗順風(fēng)行走的速度為：里小時(shí)，
戴宗逆風(fēng)行走的速度為：里小時(shí)，
設(shè)戴宗的速度為里小時(shí)，風(fēng)速為里小時(shí)，
由題意得：，
解得：，
設(shè)戴宗的速度為里小時(shí)，
答：戴宗的速度為里小時(shí)．
故答案為：．
設(shè)戴宗的速度為里小時(shí)，風(fēng)速為里小時(shí)，根據(jù)順風(fēng)行走的速度等于戴宗的速度加上風(fēng)速，逆風(fēng)行走的速度等于戴宗的速度減去風(fēng)速，列出二元一次方程組，即可求解．
本題考查二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意找到相應(yīng)的等量關(guān)系．
 15.【答案】或 【解析】解：為等腰直角三角形，，
，
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖，

過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，
當(dāng)時(shí)，可證，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
．
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖，

同的方法得，，，
，
故答案為：或．
分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，，得出；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同的方法得，，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．
此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形和矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意進(jìn)行分情況討論．
 16.【答案】   【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

，，卡扣恰好為中點(diǎn)，

是等邊三角形，
，
恰好為中點(diǎn)，
，，
，
，
，
，，
在中，，，
，
在中，，
故答案為：．
如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則四邊形是矩形，

，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
下降了，
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，得出是等邊三角形，，在中，，，則，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，根據(jù)，得出，結(jié)合題意得出，，分別求得，，即可求解．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：

． 【解析】利用特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)計(jì)算．
本題考查了特殊角的函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：由題意可知，小亮的解題過(guò)程中第步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，
故答案為：；
，
去分母，得：，
去括號(hào)，得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得：，
檢驗(yàn)：把代入，
所以原方程的解為．
根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行分析即可得到答案；
先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，對(duì)方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
本題考查的是解分式方程，熟練掌握分式方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】證明：，
，
即，
，，
≌；
解：如圖，連接，，四邊形是平行四邊形，理由如下：

≌，
，，
，
四邊形是平行四邊形． 【解析】由得到，又由，即可證明≌；
由≌得到，，則，即可判斷四邊形是平行四邊形．
此題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知，，，
第個(gè)，第個(gè)數(shù)據(jù)是，則中位數(shù)為，
訓(xùn)練后成績(jī)中出現(xiàn)次數(shù)最多，則眾數(shù)是，
訓(xùn)練前成績(jī)的中位數(shù)是分，訓(xùn)練后成績(jī)的眾數(shù)是分．
故答案為：，．
訓(xùn)練前平均分：分，
訓(xùn)練后平均分：分，
分，
答：訓(xùn)練后平均分增加了分
人．
答：估計(jì)訓(xùn)練后成績(jī)?yōu)闈M分的人數(shù)有 人．
根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義即可求解；
分別求得訓(xùn)練前后的平均數(shù)即可求解；
根據(jù)樣本估計(jì)總體，用乘以分的人數(shù)的占比即可求解．
本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，樣本估計(jì)總體，從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：設(shè)：曲線所在的反比例函數(shù)的解析式，
將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得：，
解得：，
曲線所在的反比例函數(shù)的解析式為：；
，兩點(diǎn)間的水平距離為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，得：，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的關(guān)系式為：，
的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，
則，
解得，
直線的關(guān)系式為：，
把曲線關(guān)于軸對(duì)稱，

對(duì)稱后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
把曲線關(guān)于軸對(duì)稱，再向下平移個(gè)單位得到曲線，且點(diǎn)恰好在直線上．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，
得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
． 【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，即可求解；
先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再求出直線的關(guān)系式為：，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．
本題考查求反比例函數(shù)的關(guān)系式及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確求出關(guān)系式．
 22.【答案】證明：連接

，
，
，
，
為的直徑，
，
，
，
為的切線；
解：作于點(diǎn)．

，
，
，，
∽，
，即，
，
，，
的邊上的高是；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽
，，
，
，，
∽，
，
即，
，
． 【解析】連接，先證得，再證得，可得，即可證明為的切線；
作于點(diǎn)，先證明∽，可得，再求出，最后可得結(jié)果；
先求出，再證∽，可得，，然后再證明∽，可得出，，求出的長(zhǎng)，最后可求得結(jié)果．
本題考查了圓的切線性質(zhì)，圓的圓周角相等的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的切線的判定證明方法．
 23.【答案】解：任務(wù)一：把代入得：
，
拋物線解析式為
頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為；
任務(wù)二：直線的解析式為，
，，
，
，
在中，當(dāng)時(shí)，，
在中，當(dāng)時(shí)，，
，，
，
，
，
、是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，
，，
是等腰直角三角形，
，
；
任務(wù)三：直線與 軸成角，
可設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)代入得，．
直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或
，同理可求出直線的解析式為：，
，
把代入，
，
，
拋物線解析式為，
聯(lián)立，解得，．
幼苗是越長(zhǎng)越張開(kāi)，
不合題意，舍去
，
作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)和代入得，
直線的解析式為，
作軸交拋物線和直線分別于點(diǎn)，，
作交曲線于．
，
，
，


，
∽，

，，
葉片此時(shí)的長(zhǎng)度為，最大寬度為． 【解析】任務(wù)一：，頂點(diǎn) 的坐標(biāo)為；任務(wù)二：；任務(wù)三：葉片此時(shí)的長(zhǎng)度為，最大寬度為
【分析】任務(wù)一：利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再化為頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
任務(wù)二：先求出，得到，再求出，，得到，由對(duì)稱性可得，，證明是等腰直角三角形，求出，則；
任務(wù)三：先求出直線的解析式為，進(jìn)而求出，同理可求出直線的解析式為：，則，求出拋物線解析式為，進(jìn)而求出，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用勾股定理求出，再求出直線的解析式為，作軸交拋物線和直線分別于點(diǎn)，，作交曲線于則，即可得到，證明∽，求出，，則葉片此時(shí)的長(zhǎng)度為，最大寬度為．
本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．  24.【答案】解：在中，，

四邊形是矩形，

，
，

，
是等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn) 在線段上時(shí)，點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，如圖，即

當(dāng)點(diǎn) 在線段下方時(shí)，即時(shí)，如圖

，
∽，
也是等邊三角形
，
，
，，
≌，
，，
，
，

當(dāng)點(diǎn) 在線段上方時(shí)，即時(shí)，如圖

同理可得≌，
，，
，
，

當(dāng)點(diǎn) 在的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不存在符合條件的，所以點(diǎn) 在線段上
如圖，點(diǎn) 在邊上時(shí)

易證≌，
，

過(guò)點(diǎn) 作于點(diǎn)
在中，，

在中，，

如圖，點(diǎn) 在邊上時(shí)

由中≌得
，
，易得
過(guò)點(diǎn) 作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
在中，，

在中，，

如圖，點(diǎn) 在邊上時(shí)，

，
過(guò)點(diǎn) 作于點(diǎn)
在中，，

在中，，

法二：，即，此時(shí)，
得，

過(guò)點(diǎn) 作于點(diǎn)，如圖

在中，，

在中，，

如圖，點(diǎn) 在邊上時(shí)

過(guò)點(diǎn) 作分別交，于點(diǎn)， 并連結(jié)
易證≌，

在中，，，

在中，，，

在中，，

綜上所述，，，， 【解析】由勾股定理求得長(zhǎng)，結(jié)合已知和矩形的性質(zhì)可求得，的長(zhǎng)，進(jìn)而可證得為等邊三角形，即可得出的度數(shù)；
分類進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn) 在線段上時(shí)，點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，求得，當(dāng)點(diǎn) 在線段下方時(shí)，即時(shí)，利用三角形相似和全等得出，當(dāng)點(diǎn) 在線段上方時(shí)，即時(shí)，同理可求出；
分別討論點(diǎn)在不同的邊上時(shí)的情況，點(diǎn) 在邊上時(shí)，點(diǎn) 在邊上時(shí)，點(diǎn) 在邊上時(shí)，點(diǎn) 在邊上時(shí)，利用三角形的全等和勾股定理即可得到答案．
本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)，對(duì)各種情況合理分類討論是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵．
 

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